1、2017 届湖南省衡阳市高三下学期第三次联考数学（理）试题第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1 i是虚数单位，复数 2(,)1abiRi，则 ab=A0 B2 C1 D 22设集合 (,)46xy， (,)3xy，则 AB的子集的个数是A2 B4 C8 D163已知 3sin()si,0352，则 2cos()3A 45 B C 45 D 54为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派 5 名教师对数学卷的迸择题、填空题和解答题这 3 种题型进行改编。则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为A150 B180C2
2、00 D2805执行如右图所示的程序框图，输出的 s 值为 4时，则判断框内应填写A 3?i B 5?iC 4 D6直三棱柱 1BAC中，底面是正三角形，三棱柱的高为 3,三棱柱的体积为 9，则 PA 与平面 ABC 所成的角大小是A 6 B 4 C 3 D 237函数 1()2sin(),2,fxx的所有零点之和为A B C 6 D 88如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为A 43 B 42C 6 D 59已知对于任意平面向量 (,)Axy，把 B绕其起点沿逆时针旋转 角得到向量(cosin,scosAPxy，叫做把点 A绕逆时针旋转角
3、得到点 P，设平面内曲线 C上的每一点绕原点逆时针旋转 4后得到点的轨迹是曲线 2,xy，则原来曲线 C的方程是A 1xy B 1xy C D 21yx10已知 1F、 2分别为双曲线2:45C的左、右焦点，为 P双曲线右支上的一点，且12P，则 12P外接圆的面积为A 45 B 65 C 61 D 111如图在 中，D 是 BC 的中点，E、F 是 AD 上的两个三等分点， 4,BACA，则 BEA的值是A 4 B 8 C 78 D 312 数学统综) 有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”意思是说 “在凹(或凸) 函数( 函数值为正) 图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小
4、数之和大于最大的数。则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数 2()fx，在 21,3m上任取三个不同的点 (,)af、 (,)bf、 (,)cf，均存在以 a、 fb、 ()fc为三边长的三角形，则实数 m的取值范围为A 0,1 B 20,) C 20, D 2,第卷本卷包括必做题与选做题两部分，第 1321 题为必做题。每个试题考生都必须作答2223 题为选做题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分13在 62()x展开式中第三项为 _14设函数 ln,01xf，D 是由 x轴和曲线 ()yfx及该曲线在点 (1,0)处切线所围成的封闭区域，则 2
5、zy在 D 上的最小值为_。15已知 0(1),()naxdN，数列 1na的前 项和为 nS，数列 nb的通项公式为 8nb，则 nbS的最小值为_16已知函数21()()logxef，则使得 (1)(2)fxf成立 x的范围是_。三、解答题(本大题含 6 个小题共 70 分。解答应写出文字说明或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知数列 na的首项 14，当 n时， 1140nna，数列 nb满足 1()2nnN(1)求证：数列 是等差数列并求 nb的通项公式；（2）若 4(6)nbcaA，如果对任意 都有 21nct，求实数 t的取值范围18(本小题满分 12 分)据某市地产数据研究
6、的数据显示， 2016 年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从 8 月开始采取宏观调控措施，10 月开始房价得到很好的抑制(1)地产数据研究院发现3 月至 7 月的各月均价 y (万元平方米)与月份 x之间具有较强的线性相关关系，试建立 y关于 x的回归方程( 系数精确到 (系数精确到 0.01)；政府若不调控，依照此相关关系预测第 12 月份该市新建住宅销售均价；(2)地产数据研究院在 2016 年的 12 个月份中，随机抽取三个月的数据做样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为 x，求 的分布列与数学期望。参考数据及公式：19(本小题满分 12
7、分)如图，在四棱柱 1ABCD中，底面 ABCD 和侧面 1BC都是矩形，E 是 CD 的中点， 1ECD，4B=2BC=2(1)求证： 1D；(2)若平面 1BC与平面 1ED所成的锐二面角的大小为 3求线段 的长度20(本小题满分 12 分)已知椭圆 E：21(0)xyab的左焦点 1(5,0)F，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 1DF相切于线段 1的中点(1)求椭圆 E 的方程；(2)过坐标原点 O 的直线交椭圆294:xyWab于 P、A 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作 x轴的垂线，垂足为 C，连结 AC 并延长交椭圆 W 于 H，求证： AB21(本小题
8、满分 12 分)已知函数 21()ln)fxax (a为常数， 0)(1)若 12x是函数 (f的一个极值点，求 的值；(2)求证：当 0a时， )fx在 ,)2上是增函数；(3)若对任意的 (1,，总存在 01，使不等式 20()1)fxma成立，求实数m 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目如果多做则按所做的第一个题计分作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知直线 l的陂坐标方程为 2sin()，圆 C的参数方程为： 2cosinxy (其中 为参数)(1)判断直线 l与圆
9、C 的位置关系；(2)若椭圆的参数方程为2cos3inxy( 为参数) ，过圆 C 的圆心且与直线 l垂直的直线 l与 椭圆相交于 A，B 两点求 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 (2fxa(1)若不等式 )6的解集为 23x，求实数 a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数 使 ()()fnmf成立，求实数 m 的取值范围衡阳市第三次联考理科数学参考答案一、选择题二、填空题13 60； 14 -5； 15-4； 16 02x3、解答题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C A D C D C A D C A1111122,24
10、240,()- 12)(4), .41 nnnnnnnnn nabaabbcnNcyct 7、 （ ） 证 明 ： 当 时 是 等 差 数 列 。(6分 ）根 据 单 调 性 可 知 ：令 , =100-12442ttt是 关 于 的 一 次 函 数 ， 单 调 递 增 ， 当 时 ，即 可 ， 或 （ 分 ）18、解：（1）计算可得： 5x， 1.072y， 5210iix，所以 0.64.1b， .645.72ab，所以从 3 月份至 6 月份 y关于 x的回归方程为 0yx.将 2016 年的 12 月份 12代入回归方程得： .0612.754，所以预测 12 月份该市新建住宅销售均价
11、约为 1.47 万元/平方米.-6 分（2）根据题意， X的可能取值为 1,2,331245PC， 341275CP，所以 X的分布列为因此， X的数学期望 12713655EX.-12 分19、解： (1)证明: 因为底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 是矩形,所以 BCCD, BC CC 1,又因为 CDCC1=C,所以 BC平面 DCC1D1,因为 D1E平面 DCC1D1,所以 BCD 1E.-5 分(2)由(1)可知 BCD 1E,又因为 D1ECD,且 BCCD=C,所以 D1E平面 ABCD.设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点 ,EG,EC,ED1 所在直线分别为 x 轴
12、,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图.则E(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G(1,0,0).设 D1E=a,则 D1(0,0,a),B1(1,2,a).设平面 BED1 的一个法向量为 n=(x,y,z),因为 EB=(1,1,0),ED1=(0,0,a),令 x=1,得 n=(1,-1,0).设平面 BCC1B1 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),因为 CB=(1,0,0),BC1=(-1,1,a),令 z1=1,得 m=(0,-a,1).由平面 BCC1B1 与平面 BED1 所成的锐二面角的大小为 3,得|cos|=cos 3,解得 a=1.所以 D1E=
13、1.-12 分20、解：（）连接 FO2(为原点, 2为右焦点） ，由题意知：椭圆的右焦点为 )0,5(2F因为 FO是 1D的中位线，且 1,所以 bFO22所以 ba2，故 aD1在 1Rt中， 212OF即 5)(22cba,又 ,解得 4,92b所求椭圆 E的方程为 1492yx-6 分()法一：由（）得椭圆 W的方程为 12yx根据题意可设 ),(nmP，则 )0,(,(mCnA则直线 AC的方程为 2xy过点 且与 垂直的直线方程为 )(xny并整理得： 22mx又 P在椭圆 W上，所以 12n所以 12yx即、 两直线的交点 B在椭圆 上,所以 PBA -12 分法二：由（）得椭
14、圆 W的方程为 12yx根据题意可设 ),(nmP，则 )0,(,(mCnA， PAnk， 2ACm所以直线 :2ACyx2()1yx，化简得22(1)0nnxm所以2ABxn因为 m,所以32x,则32Bnnyxm所以32PBmnk，则 1PABk,即 PB-12 分21、解：21()2() ,()1axafx xax（）由已知，得 1()02f即2a，20,.aa经检验， 2满足条件.-3 分（）当 2时，221(2)10,aaa21,a当 x时，20a.又 1xa， (),fx故 ()fx在 ,)2上是增函数-6 分（）当 (1,)a时，由（）知， ()fx在 1,2上的最大值为 1()
15、ln),2fa于是问题等价于：对任意的 (1,)a，不等式 ln()1()0am恒成立.记 21()ln)(),2)2gama则 1()2(12),agamm当 0时，有 2(1)2(1)0maa，且0,()1在区间（1， 2）上递减，且 ()g，则 不可能使 ()0g恒成立，故必有 .m当 ，且 1()().agm若 12m，可知 ()在区间 1(,in2,)D上递减，在此区间 D上有 ()10ga，与()0ga恒成立矛盾，故 12，这时 ()0ga，即 ()ga在（1，2）上递增，恒有 ()满足题设要求. 012m，即 14，所以，实数 的取值范围为 ,).-12 分22、解： (1)将直
16、线 l 的极坐标方程 2sin()4，化为直角坐标方程:x+y-1=0.将圆 C 的参数方程化为普通方程 :x2+(y+2)2=4,圆心为 C(0,-2),半径 r=2.圆心 C 到直线 l 的距离为 d= 3r=2,直线 l 与圆 C 相离.(5 分)(2)将椭圆的参数方程化为普通方程为2143xy,直线 l:x+y-1=0 的斜率为 k1=-1,直线 l的斜率为 k2=1,即倾斜角为 ,则直线 l的参数方程为 cos42inxty(t 为参数),即2xty(t 为参数),把直线 l的参数方程2xty代入2143xy,整理得 7t2-16 t+8=0.(*)由于 =(-16 )2-4780,故可设 t1,t2 是方程(*) 的两个不等实根,则有 t1t2= 87, 216t|AB 21147tt.(10 分)23 解：（）由 26xa得 26xa， 26xa，即 3ax， 3a， 1. 5 分（）由（）知 1f,令 nffn，则， 124 221, 124, n2nn n的最小值为 4，故实数 m的取值范围是 ,.10 分
