1、 直线、平面垂直的判定与性质【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性 质1 直线与平面垂直（1）定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作 ，直线 叫做l l ll平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面。如 图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。l（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于 这个平面， 记作 . /ab（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即 .,/aba由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。2 直线与平面所成的角
2、平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直 线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是 的角。03 二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为 ，那么两个面分别为 的二面角记作 .在二面角的棱上任取一点，以 该点为垂足，l、 l在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围： . 0018二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交
3、，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂 线， 则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作.l3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作 .lml【经典例题】【例 1】（2012 浙江文）设 是直线,a, 是两个不同的平面 （ ）lA若 a, ,则 a B若 a, ,则 a l lC若 a, a,则 D若 a, a,则 l【答案】B 【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的, a, ,则 a .如选项 A: a, 时, a 或 a;选项 C:若 a,l l a, 或 ;选项 D:若若 a , a, 或
4、. lll【例 2】（2012 四川文）下列命题正确的是 （ ）A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 ,则这两个平面平行C若一条直 线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【答案】C 【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故 B 错; 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错;故 选项 C 正确. 【例 3】（201
5、2 山东）已知直线 m、n 及平面 ，其中 m n，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：一条直线；一个平面；一个点；空集其中正确的是 （ ）A BC D【答案】C【解析】如图 1，当直线 m 或直线 n 在平面 内时有可能没有符合 题意的点；如图 2，直 线 m、n 到已知平面 的距离相等且所在平面与已知平面 垂直， 则已知平面 为符合题意的点；如图 3，直线 m、n 所在平面与已知平面 平行，则符合题意的点为一条直线，从而 选 C. 【例 4】（2012 四川理）如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，1ABCDMNCD1则异面直线 与 所成的角的大小是_.1A
6、MN【答案】90 【解析】方法一:连接 D1M,易得 DNA 1D1 ,DND 1M, 所以,DN平面 A1MD1, 又 A1M 平面 A1MD1,所以,DNA 1D1,故夹角为 90 方法二:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方体边长为 2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, ），（） ，（ 2,20N所以,cos = 0,故 DND 1M,所以夹角为 90 |MA|N11，【例 5】（2012 大纲理）三棱柱 中,底面边长和侧棱长都相等, ,则异面直线BC1160BAC NMB
7、 1A1 C1D1 BD CA与 所成角的余弦值为_.1ABC【答案】 6【解析】设该三棱柱的边长为 1,依题意有 ,111,ABCAB则 22211|() cos603AB 2111| 22CCA而 11()()AAB11122AB AB11 6cos,|23ABC【例 6】（2011福建）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF 平面AB1C，则线段 EF 的长度等于_ 【答案】 2【解析】EF 面 AB1C，EF AC.又 E 是 AD 的中点，F 是 DC 的中点EF AC . 12 2【例 7】（2012 年山东文
8、）如图,几何体 是四棱锥, 为正三角形, .EABCDAB,CBDE（1）求证: ;BD（2）若 ,M 为线段 AE 的中点,10C求证: 平面 .【解析】（1）设 中点为 O,连 接 OC,OE,则由 知 , BDBCDOB又已知 ,所以 平面 OCE. CE所以 ,即 OE 是 BD 的垂直平分线,所以 . E（2）取 AB 中点 N,连接 ,M 是 AE 的中点, , DMNBE 是等边三角形, .由BCD=120 知,CBD=30, ABDAB所以ABC=60 +30=90,即 ,所以 NDBC, C所以平面 MND平面 BEC,又 DM 平面 MND,故 DM平面 BEC. 另证:延
9、长 相交于点 ,连接 EF.因为 CB=CD, . ,F09AC因为 为正三角形,所以 ,则 , ABD00,6BAD3FB所以 ,又 , 21所以 D 是线段 AF 的中点,连接 DM, 又由点 M 是线段 AE 的中点知 , EFM/而 平面 BEC, 平面 BEC,故 DM平面 BEC. 【例 8】（2011 天津）如图，在四棱 锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形ADC45，ADAC1， O 为 AC 的中点，PO 平面 ABCD，PO 2，M 为 PD 的中点（1）证明：PB 平面 ACM； （2）证明：AD平面 PAC；（3）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切
10、值【解析】（1）证明：连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点又 M 为 PD的中点，所以 PB MO.因为 PB平面 ACM，MO平面 ACM，所以 PB 平面 ACM.（2）证明：因为ADC45，且 ADAC1，所以 DAC 90，即 ADAC，又 PO平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以 POAD .而 ACPOO，所以 AD平面 PAC.（3）取 DO 中点 N，连接 MN，AN.因为 M 为 PD 的中点，所以 MN PO，且 MN PO1.由 PO平面 ABCD，得12MN平面 ABCD，所以MAN 是直线 AM 与平
11、面 ABCD 所成的角，在 RtDAO 中， AD1，AO ，所以 DO ，12 52从而 AN DO .在 RtANM 中，12 54tanMAN ，即直 线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .MNAN 154 455 455【例 9】（2012 湖南文）如图，在四棱 锥 P-ABCD 中,PA 平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,ADBC,ACBD.（1）证明:BDPC;（2）若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30,求四棱锥 P-ABCD 的体积.PEA DCB【解析】（1）因为 ,.PABCDABCPD平 面 平 面 所 以又 是平面 PA
12、C 内的两条相较直线,所以 BD 平面 PAC, ,C而 平面 PAC,所以 . P（2）设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由() 知,BD 平面 PAC, 所以 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 . DPODPO30由 BD 平面 PAC, 平面 PAC,知 . B在 中,由 ,得 PD=2OD. RtA30因为四边形 ABCD 为等腰梯形, ,所以 均为等腰直角三角形, AC,ABC从而梯形 ABCD 的高为 于是梯形 ABCD 面积 11(42)32DB1(4)39.2S在等腰三角形 AOD 中, ,2,OA所以 24, 4.PDPD故四棱锥 的体积为 . ABC
13、19123VSP【例 10】（2012 新课标理）如图,直三棱柱 中, , 是棱 的中点,1ABC1ABCD1ABDC1（1）证明: 1（2）求二面角 的大小.1BDA【解析】（1）在 中, RtC得: 45同理: 1190得: 面 111,DCBDC1BDC（2） 面 1AA取 的中点 ,过点 作 于点 ,连接 1ABOH1,OH,面 面 面 11CB1CBD1B得:点 与点 重合 HD且 是二面角 的平面角 1O11A设 ,则 , ACa12a111230CDOCD既二面角 的大小为 11B30【课堂练习】1.（2012 浙江理）已知矩形 ABCD,AB=1,BC= .将 ABD 沿矩形的
14、对角线 BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中2（ ）A存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直2.（2012 四川理）下列命题正确的是 （ ）A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 ,则这两个平面平行C若一条直 线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3（2011 重庆）到两
15、互相垂直的异面直 线的距离相等的点( )A只有 1 个 B恰有 3 个C恰有 4 个 D有无穷多个4（2012 上海）已知空间三条直 线 l，m，n 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则 （ ）Am 与 n 异面. Bm 与 n 相交.Cm 与 n 平行. Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能.5（2011 烟台）已知 m，n 是两条不同的直 线， ， 为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m ，n，mn，则； 若 m ，n ，mn ，则 ；若 m， n ，mn，则 ；若 m， n ， ，则 mn.其中正确命题的个数为( )A1 B2ABC3 D46（2011 潍坊）已知 m、n
16、是两条不同的直 线， 、 是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 ， ，则 B若 m n，m，n，则 C若 m n，m ，则 n D若 n，n，则 7.（2010 全国卷文）直三棱柱 中，若 ， ，则异面直线 与 所成的1ABC90BAC1AC1BAC角等于（ ）A30 B45 C60 D908.（2010 全国卷）正方体 ABCD- 中，B 与平面 AC 所成角的余弦值为（ ）1D11A B C D23323639.（2010 全国卷理）已知正四棱锥 中， ，那么当 该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）SASA1 B C2 D3310.（2010 全国卷）已知在半径为 2 的球面上有
17、ABCD 四点，若 AB=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（ ）A B C D 2343238311.（2010 江西理）过正方体 的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱 ， ， 所成的角都相等，这1ADAB1样的直线 L 可以作（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条12.（2012 大纲）已知正方形 中, 分别为 , 的中点,那么异面直线 与 所成角的1EF1CE1DF余弦值为_ _.13.（2010 上海文）已知四棱椎 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 底面 ，且 ，则该四PADPABC8P棱椎的体积是 .14.（2010 四川卷）如图，二面角 的大小是 60，线 段
18、.lAB， 与 所成的角为 30.则 与平面 所成的角的正弦值是 . BlAlAB15.（江西卷文）长方体 的顶点均在同一个球面上， ，1CD 1A，则 ， 两点间的球面距离为 2C16.（2010 湖南理）如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中， E 是棱 DD1 的中点。（1）求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值；（2）在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F/平面 A1BE？证明你的结论。A DB CA1 D1B1 C1 E17.（2012 四川文）如图,在三棱锥 中, , , ,点 在平面 内的PABC9060PABCAPBC射影 在 上 .OAB（1
19、）求直线 与平面 所成的角的大小 ;C（2）求二面角 的大小.18.（2012 陕西文）直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A 1 , =CB2（1）证明 ;1BC（2）已知 AB=2,BC= ,求三棱锥 的体积. 51119.（2012 课标文）如图,三棱柱 中,侧棱垂直底面,ACB=90,1ABCAC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点.12（1）证明:平面 平面D（2）平面 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.1BC20.（2012 福建文）如图,在长方体 中, 为棱1ABCD1,2,ABDM上的一点.1D（1）求三棱锥 的体积;1M（2）当 取得最小值时,求证: 平
20、面 .AC1BACA BCP【课后作业】1.（2012 大纲全国）已知正四棱柱 中， 为 的中点， 则直线 与1ABCD12,ABCE1C1AC平面 的距离为（ ）BEDA2 B. C. D. 1322.（2010 湖北文）用 、 、 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：abcy若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ；abca若 ， ，则 ； 若 ， ，则 .yyb其中正确的是（ ）A B C D3（2011 日照）若 l、m、n 为直线， 、 为平面， 则下列命题中为真命题的是( )A若 m ，m ，则 B若 m，n，则 m nC若 ， ，则 D若 ，l，则 l4（2011 山东）正方体
21、 ABCDA 1B1C1D1 中， E、F 分别是 AA1、AB 的中点，则 EF 与对角面 BDD1B1 所成角的度数是( )A30 B45C60 D1505.（2010 全国卷）已知三棱锥 中，底面 为边长等于 2 的等边三角形， 垂直于底面 ， =3，SASACSA那么直线 与平面 所成角的正弦 值为（ ）BA B C D345474346.（2010 重庆卷理）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A直线 B椭圆 C抛物 线 D双曲线7.（2009 四川）如图，已知六棱 锥 AEFP的底面是正六 边形，CP2,平 面则下列结论正确
22、的是（ ）A. DB. AB平 面 平 面C. 直线 PE平 面D. 直线 C与 平 面 所成的角 为 458.（2008 海南宁夏）已知平面 平面 ，= l，点 A，A l，直 线 ABl，直线 ACl，直 线 m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. ABm B. ACm C. AB D. AC9.（2007 江苏）已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题： ,n, /,n/,/nmn /,/其中正确命题的序号是（ ）A B C D10.（2011 全国）已知直二面角 ，点 C 为垂足， 为垂足，若l,Al,Bl，则 D 到平面 ABC 的距离等于 （ ）2,1BCA B
23、. C. D. 1336311.（2009 浙江）设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是（ ）,lA若 ，则 B若 ，则 ll/,/llC若 ，则 D若 ，则 ,/ 12.（2010 上海）各棱长为 1 的正四棱锥的体积 V=_。13下面给出四个命题：若平面 平面 ，AB，CD 是夹在 ， 间的线段，若 AB CD，则 ABCD；a，b 是异面直线，b，c 是异面直 线，则 a，c 一定是异面直线过空间任一点，可以做两条直 线和已知平面 垂直；平面 平面 ，P，PQ ，则 PQ；其中正确的命题是_( 只填命题号) .14.（2009 江苏）设 和 为不重合的两个平面， 给出下列命
24、 题： （1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 l与 内的一条直线平行， 则 l和 平行；（3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 l与 垂直的充分必要条件是 l与 内的两条直线 垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号） . w.15已知 ， 是三个不同的平面，命题“ ，且 ”是真命题，如果把 ， 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命 题中，真命 题有_ 个 16（2012 重庆文）已知直三棱柱 中, , , 为 的中1ABC4AB3CDAB点.（1）求异面直线 和 的距离;
25、1C（2）若 ,求二面角 的平面角的余弦值.1AB11D17. （2009 山东）如图，在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，1AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E、E 分别是棱 AD、AA 的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 1EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F11 设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE /平面 FCC ；112 证明:平面 D1AC平面 BB1C1C.18（2008 山东）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三角形，已知PABDPABCDA PD， 28BA245（
26、）设 是 上的一点， 证明：平面 平面 ；MPCM（）求四棱锥 的体积19（2011 北京）如图，在四面体 PABC 中，PCAB，PA BC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中点（1）求证：DE 平面 BCP；（2）求证：四边形 DEFG 为矩形；（3）是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由20（2012 天津理）如图,在四棱 锥 中, 丄平面 , 丄 , 丄 , ,PABCDABCDABC0=45, .=2PAD1C（1）证明 丄 ;（2）求二面角 的正弦值;（3）设 E 为棱 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 ,求 A
27、E 的长.03【参考答案】【课堂练习】1-11、BCDDB DCDABD 12、90 13、96D CBAPA BCMPD14、3415、16、2,3存 在17、 ,91arctn18、 2319、(1)设知 BC ,BCAC, , 面 , 又 面 , , 1C1ACB1AC1DC1A1DCB由题设知 , = ,即 , 045AD1D09又 , 面 , 面 , B111面 面 ; C1(2) 1:20、(1) 3(2) 将侧面 绕 逆时针转动 90展开,与侧面 共面.当 ,M,C 共线时, 1D1 1AD1+MC 取得最小 值 AD=CD=1 , =2 得 M 为 的中点连接 M 在 中, =
28、MC= , =2, 1AM1AC1A1C21 = + , =90,CM , 21C21C1C 平面 , CM AM MC=C B1DBCM平面 ,同理可证 AM 平面 MAC M11BM【课后作业】1-11、DCBAD DDDCCC 12、2613、14、(1)(2)15、216、 15,317、（1）在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，取 A1B1 的中点 F1，11连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD，所以 CDA1F1为平行四边形， 所以 CF1/A1D，又因为 E、E 分 别是棱 AD、AA 的中点， 所以 EE1/A1D，所以 CF1/EE
29、1，又因为 平面 FCC ， 平面 FCC ，11CF所以直线 EE /平面 FCC .（2）连接 AC,在直棱柱中，CC 1平面 ABCD,AC 平面 ABCD,所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2,F 是棱 AB 的中点 ,所以 CF=CB=BF，BCF 为正三角形，,ACF 为等腰三角形，且60BC 30ACF所以 ACBC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C,所以 AC平面 BB1C1C,而 平面 D1AC,所以平面 D1AC平面 BB1C1C.18、（1）在 中，A由于 ， ， ，48B45所以 22故 又平面 平面
30、，平面 平面 ，PADCPADBCAD平面 ，B所以 平面 ，又 平面 ，M故平面 平面 （2） 124316PABCDV19、（1）证明：因为 D，E 分别为 AP、AC 的中点，所以 DE PC.又因为 DE平面 BCP，EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 所以 DE 平面 BCP.（2）证明：因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点，所以 DE PC FG，DG AB EF，来源:学+科+网 Z+X+X+K所以四边形 DEFG 为平行四边形又因为 PCAB，所以 DEDG .所以四边形 DEFG 为矩形（3）存在点 Q 满足条件，理由如下：连接 DF，
31、EG，设 Q 为 EG 的中点由(2)知，DF EGQ，且 QDQEQF QG EG，12分别取 PC，AB 的中点 M，N，连接 ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线交点为 EG 的中点 Q，且 QMQN EG.12所以 Q 为满足条件的点20、（1）以 ,ADCP为 ,xyz正半轴方向，建立空 间直角左 边系 Axyz则 1(20)()(,0)(,2)2BP,CAD（2）36（3）10AE您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去， 让我们共同进步。
