1、2017 届江西省莲塘一中、临川二中高三下学期联考数学（理）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 2,|146xyA， (,)|3xBy，则 AB的子集的个数是：（ ）A4 B3 C 2 D12已知复数 ， 是 z 的共轭复数，则 =（ ）1izzA. B. C.1 D.24123. 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ）A 命题“如果 ，则 ”的否命题是“如果 ，则 ”；2pqpq 2pq2pqB 命 题 ， 命 题 则 为 假 ;:0,1xe2:,10,xRC “若 则 ”的 逆 命 题 为
2、真 命 题 ;2ambaD. 若 的展开式中第四项为常数项，则 =3()nxn54. 已知 ， ，则曲线 为椭圆的概率是（ ）2,01a,2b21axbyA. B. C. D. 7471385. 定义 矩阵 ，若 ，则21214233=aacosin3()(2)cosinxf x()fxA. 图象关于 中心对称 B. 图象关于直线 对称,0C.在区间 上单调递增 D. 周期为 的奇函数66. 如图所示的流程图,若输出的结果是 9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（ ）A17 B16 C15 D147. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为( )第 6 题图A B3 C 4
3、 D14438. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3 种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）A150 B180 C200 D2809.已知 都是定义在 上的函数， ， ，且(),fxgR()0gx()()fxgfx，且 ， 若数列 的前 项和大于 ，则 的最小a01)a152fn62n值为（ ） A5 B6 C7 D810.对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为优函数， 对任意 ，恒有0,1 ()fx0,1x； 当 时，总有 1212()ffx成立，则下列函数不是优()fx212,0,xx函数
4、的是（ ）A B C D2()f()xf2()ln)fx2()f11. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 ，若函数 在点210,xyab(0yxPyx处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是（ ）P()FA B C D512532123212. 已知函数 ，则方程 的根的个数不04)(,)( 23 xxgxf 0)(axfg可能为（ ）A6 个 B5 个 C4 个 D3 个二、填空题（20 分）13已知数列 na的前 项和为 2nS，某三角形三边之比为 234:a，则该三角形最大角为 .14. 设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的l,0()21xfDx()yfx(1,
5、0)封闭区域，则 在 上的最小值为 . zy15已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ，若 ，则()x:Cxy42BA, ),(mMBA_.m16已知数列 的前 项和为 ，对任意 ， 且nanSN1()32nnnSa恒成立，则实数 的取值范围是 1()()0ttt三、解答题（70 分）17(12 分)已知 中， 为角 所对的边，且 .ABCcba,ABC(3)cosbACB（）求 的值；cos（）若 的面积为 ，并且边 上的中线 的长为 ，求 的长.2M217,b18(12 分)时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过 2 天按照 300 元计
6、算；超过两天的部分每天收费标准为 100 元（不足 1 天的部分按 1 天计算）有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次） ，设甲、乙不超过 2 天还车的概率分别为；2 天以上且不超过 3 天还车的概率分别 ；两人租车时间都不会超过 4 天1,3 1,23（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E19(12 分)如图（1） ，在等腰梯形 中， 是梯形的高， ， , 现将CDEF,BA2EBFA梯形沿 折起，使 且 ，得一简单组合体 如图（2）示，已知,CBDAA2CD分别为 的中点,MNF（）求证：
7、平面 ； /C（）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，则求平面 与平面 所成的锐二面角EAB2CEFA大小. 20(12 分)已知椭圆 ，直线 经过 的右顶点和上顶点.2:10xyEab21xyE第 19 题图（1 ） AB EF DC 第 19 题图（2 ）（1）求椭圆 的方程；E（2）设椭圆 的右焦点为 ，过点 作斜率不为 的F2,0G0直线交椭圆 于 两点. 设直线 和 的斜率为 .,MNFN12,k求证: 为定值；求 的面积 的最大值 .12kS21(12 分)已知函数2()ennxaf，其中 ,NRae是自然对数的底数.（1 ）求函数 12()gxf的零点；（2 ）若对任意 ,Nnn
8、均有两个极值点，一个在区间 (1,4)内，另一个在区间 4外，求 a的取值范围；请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(10 分)在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以 为极点， 轴非xOyCsinco1yxOx负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 的极坐标方程；C（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 ： 与圆 的交点为 ，与直线 的l 3)sin(2OM3CP,l交点为 ，求线段 的长. QP23 (10 分)已知函数 .()1fx（1）解不等式 ；48
9、（2）若 ， ，且 ，求证： .a1b0a()bfaf数学（理科）答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D D C B C A B D A D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 14. 15 16. 236231,417解：（）由题意得： 2 分(3)cossbAab由正弦定理得： sinin)cinscoBCABC 4 分si0, i 6 分1co3A（）由题意得： ，即： 8 分sin2ABCSbc6bc由余弦定理得： ， 即： 10 分174o32 245联立上述两式
10、,解得： 或 . 12 分,bc,bc18 【答案】 （1） ；（2）分布列见解析， 78750E【解析】 （1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，当乙租车 2 天内时，则甲租车 3 或 4 天，其概率为 ；1123P当乙租车 3 天时，则甲租车 4 天，其概率为 ；238则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为 5 分1271P（2）设甲，乙两个所付的费用之和为 可为 600，700，800，900，1000， 6 分,1 360,70326326118159023236PP 8 分1P故 的分布列为600 700 800 900 1000P1635613 10 分故 的期望为 121
11、510780907506363E19. （）证明：连 ，四边形 是矩形， 为 中点，ACBDNB 为 中点 . N在 中， 为 中点，故 .FM/CF 平面 ， 平面 ， 平面 . 4 分CB（）依题意知 且,DEA 平面 ， 在面 上的射影是 .ABE就是 与平面 所成的角.E故在 中 Rt2tanDAE. 6 分2,6AD设 且 ，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系PEF,BP,xyz则 (0,)(,),(20)(32,0)EF设2, ,(2,0)ADADDC分别是平面 与平面 的法向量(,)(,)mxyznrst CE令 ，0,CAE即 220,2zxxyyz取 (1,0)(,1
12、)mn则 10 分cos,2A平面 与平面 所成锐二面角的大小为 . 12 分DECF320.答案：21xy；(2)见解析； 24【解析】(1) 在方程 中，令 ，则 ，所以上顶点的坐标为 0,1，所以 b；令12xy0x1y0y，则 2x，所以右顶点的坐标为 2,0，所以 2a，所以，椭圆 的方程为21xy. 4 分E(2) 设直线 的方程为 .代入椭圆方程得 22180kxk.设MN20kx12,xy，则2 2121122 18,yk21212801 1kkxxkkx ，所以 为定值. 8 分120k因为 直线过点 ，设直线 的方程为 ，即 代入椭圆方程得MN2,GMN2ykx20ky28
13、0kxk.由判别式 28418解得 21k.点 1,0F到直线 的距离为 ，则h221122 21. 4kk khSNhkxx AAA，22 28141kkA 2281kk令 ，则 ，所以 26时， S的最大值为 24.2t2231346tSt. 12 分21. 【解析】：（1）22212 ()(e1()()eexxxaagxf ，4a. 2 分 当 时， 0,函数 ()有 1 个零点： 10. . 3 分 当 1时， 函数 gx有 2 个零点： 2,.x . 4 分 当 a时， ,函数 ()有两个零点： 1 . 5 分 当 ,0时， ,函数 x有三个零点：1230,1,1.xaxa . 6
14、分 （2 ）22()e()e(1)2) .ennxnx nxaf 设 2(1)ngxa， ()ng的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意 ,N0ngx有两个不等实数根 12,x，且 12,4.x则对任意 ,n(1)40ng,即 6(1)(8)0nan, . 9 分 又任意 ,N68关于 递增, 68,故 min1()12.aa所以 的取值范围是 ,2. . 12 分 22.【 答案】 （1） ；（2） .cos|PQ【解析】 （1）圆 的普通方程为 ，又 ， ，C1)(2yxcosxsiny圆 的极坐标方程为 . . 4 分 cs（2）设 ，则由 解得 .),(1P3o231设 ，则由 解得 .),(2Q)cs(sin2 . . 10 分 |P23.【答案】 （1） ；（2）证明见解析.|53x或【解析】 （1） 2,3,()4)141,.xfx当 时，则 ，解得 ；3x28x5当 时，则 不成立；()f当 时，由 ，解得 . 13x所以原不等式的解集为 . . 5 分 |53x或（2） 即 . ()bfaf1ab因为 , ,1所以 ,222222110abababab所以 .故所证不等式成立. . 10 分
