1、2017 届江西省新余市第四中学、宜春中学高三下学期开学联考数学（理）试题一.选择题(60 分)1设集合 2,|146xyA， (,)|3xBy，则 AB的子集的个数是：（ ）A4 B3 C 2 D12已知复数 1iz， z是 z 的共轭复数，则 z=（ ）A. 4 B. 2 C.1 D.23. 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ）A 命题“如果 2pq，则 2pq ”的否命题是“如果 2pq，则 2pq”；B 命 题 :0,1xe， 命 题 2:,10,xR则 为 假 ;C “若 2amb则 a”的 逆 命 题 为 真 命 题 ;D. 若 3()nx的展开式中第四项为常数项，则 n=54.
2、 已知 2,01a， ,2b，则曲线 21axby为椭圆的概率是（ ）A. 7 B. 47 C. 1 D. 385.定义 2矩阵 1214233=aa，若cosin3()(2)cosinxf x，则 ()fxA. 图象关于 ,0中心对称 B. 图象关于直线 对称C.在区间 6上单调递增 D. 周期为 的奇函数6.如图所示的流程图,若输出的结果是 9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（ ）A17 B16 C15 D147.如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为( )第 6 题图A 14 B3 C 4 D 438.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派 5 名教师对数学
3、卷的选择题、填空题和解答题这 3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）A150 B180 C 200 D2809.已知 (),fxg都是定义在 R上的函数， ()0gx， ()()fxgfx，且a0，且 1)a， 152f若数列 n的前 项和大于 62，则 n的最小值为（ ） A5 B6 C7 D810.对定义在 0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数 ()fx称为优函数， 对任意 0,1x，恒有()fx； 当 212,0,xx时，总有 1212()ffx成立，则下列函数不是优函数的是（ ）A 2()f B ()xf C 2()ln)fx D 2()f11. 已
4、知双曲线210,xyab与函数 (0)yx的图象交于点 P，若函数 yx在点P处的切线过双曲线左焦点 (,)F，则双曲线的离心率是（ ）A 512B 532C12D3212. 已知函数 04)(,)( 23 xxgxf ，则方程 0)(axfg 的根的个数不可能为（ ）A6 个 B5 个 C4 个 D3 个二、填空题（20 分）13已知数列 na的前 项和为 2nS，某三角形三边之比为 234:a，则该三角形最大角为 .14. 设函数 ln,0()21xf， D是由 x轴和曲线 ()yfx及该曲线在点 (1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 2zy在 上的最小值为 . 15已知直线 2(1)y
5、x与抛物线 :Cxy42交于 BA,两点，点 ),1(mM，若 0BA，则m_.16已知数列 na的前 项和为 nS，对任意 N，(1)32nnnSa且1()()0tt恒成立，则实数 t的取值范围是 三、解答题（70 分）17(12 分)已知 ABC中， cba,为角 ,ABC所对的边，且 (3)cosbACB.（）求 cos的值；（）若 的面积为 2，并且边 上的中线 M的长为 217，求 ,bc的长.18(12 分)时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过 2 天按照 300 元计算；超过两天的部分每天收费标准为 100 元（不足 1 天
6、的部分按 1 天计算）有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次） ，设甲、乙不超过 2 天还车的概率分别为1,3；2 天以上且不超过 3 天还车的概率分别 1,23；两人租车时间都不会超过 4 天（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E19(12 分)如图（1） ，在等腰梯形 CDEF中， ,BA是梯形的高， 2EBF， A , 现将梯形沿 ,CBDA折起，使 EF AB且 2，得一简单组合体 ABCDEF如图（2）示，已知,MN分别为 的中点（）求证： /平面 ； （）若直线 DE与平面 ABF所
7、成角的正切值为 2，则求平面 CDEF与平面 A所成的锐二面角大小. 20(12 分)已知椭圆 2:10xyEab，直线 21xy经过 E的右顶点和上顶点.（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆 E的右焦点为 F，过点 2,0G作斜率不为 0的直线交椭圆 于 ,MN两点. 设直线 和 FN的斜率为 12,k.求证: 12k为定值；求 的面积 S的最大值.21(12 分)已知函数2()ennxaf，其中 ,NRae是自然对数的底数.（1）求函数 12()gxf的零点；第 19 题图（1）AB EFDC第 19 题图（2）（2）若对任意 ,Nn()nfx均有两个极值点，一个在区间 (1,4)内，另一个
8、在区间 14外，求 a的取值范围；请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(10 分)在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 sinco1yx（ 为参数） ，以 O为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆 C的极坐标方程；（2）直线 l的极坐标方程是 3)sin(2，射线 OM： 3与圆 C的交点为 P,，与直线l的交点为 Q，求线段 P的长. 23(10 分)已知函数 ()1fx.（1）解不等式 48；（2）若 a， 1b，且 0a，求证： ()bfaf
9、.数学（理科）答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D D C B C A B D A D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 23 14. 6 15 2 16. 31,4 17解：（）由题意得： (3)cossbAabC 2 分由正弦定理得： inin)cinscoBABCsi0, i 4 分1co3A 6 分（）由题意得： sin2ABCSbc，即： 6bc 8 分由余弦定理得：174os32cb， 即： 245 10 分联立上述两式,解得： ,或 ,. 12 分18 【
10、答案】 （1） 78；（2）分布列见解析， 750E【解析】 （1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，当乙租车 2 天内时，则甲租车 3 或 4 天，其概率为 1123P；当乙租车 3 天时，则甲租车 4 天，其概率为 238；则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为 1271P 5 分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为 ,可为 600，700，800，900，1000， 6 分111360,7032632681159023236PPP 8 分故 的分布列为600 700 800 900 1000P1635613 10 分故 的期望为 1510780907506363E 1219. （）
11、证明：连 AC，四边形 BD是矩形， N为 B中点， N为 中点. 在 F中， M为 中点，故 /CF. C平面 B， 平面 ， M平面 . 4 分（）依题意知 ,DAE 且 AB 平面 F， 在面 F上的射影是 E.E就是 与平面 所成的角.故在 RtA中 2tanDAE2,6D. 6 分设 PEF且 ，分别以 ,BP所在的直线为 ,xyz轴建立空间直角坐标系则 (0,)(,),(20)(32,0)AEF2, ,(2,0)DDDC设(,)(,)mxyznrst分别是平面 A与平面 CE的法向量令 0,ACE，即 2020,2zxxyyz取 (1,)(,1)mn则 cos,2A 10 分平面
12、DE与平面 CF所成锐二面角的大小为 3. 12 分20.答案：21xy；(2)见解析； 24【解析】(1) 在方程 2xy中，令 0x，则 1y，所以上顶点的坐标为 0,1，所以 b；令0y，则 x，所以右顶点的坐标为 2,，所以 2a，所以，椭圆 E的方程为21xy. 4 分(2) 设直线 MN的方程为 20kx.代入椭圆方程得 22180kxk.设12,xy，则2 2121122 18,yk21212801 1kkxxkkx ，所以 120k为定值. 8 分因为 MN直线过点 2,G，设直线 MN的方程为 2ykx，即 20ky代入椭圆方程得280kxk.由判别式 28418解得 21k
13、.点 1,0F到直线 的距离为 h ，则221122 21. 4kk khSNhkxx AAA222 28141kkAA22811kk，令 2tk，则2233416tSt，所以 26k时， S的最大值为 24. 12 分21. 【解析】：（1）22212 ()(e1()()eexxxaagxf，4a. 2 分 当 时， 0,函数 ()x有 1 个零点： 10.x . 3 分 当 1时， 函数 g有 2 个零点： 2, . 4 分 当 a时， ,函数 ()x有两个零点： 1.x . 5 分 当 ,0时， ,函数 有三个零点：1231.xxa. 6 分 （2）22()e()e(1)2) .ennx
14、nx nxaf 设 2(1)ngxa， ()ng的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意 ,N0ngx有两个不等实数根 12,x，且 12,4.x则对任意 ,n(1)40ng,即 6(1)(8)0nan, . 9 分 又任意 ,N68关于 递增, 68,故 min1()12.aa所以 的取值范围是 ,2. . 12 分 22.【答案】 （1） cos；（2） |PQ.【解析】 （1）圆 C的普通方程为 1)(2yx，又 cosx， siny，圆 的极坐标方程为 cs. . 4 分 （2）设 ),(1P，则由 3cos2解得 31.设 ),(2Q，则由 )cs(sin解得 2. |P. . 10 分 23.【答案】 （1） |53x或 ；（2）证明见解析 .【解析】 （1）2,3,()4)141,.xfx当 3x时，则 28x，解得 5；当 1时，则 ()f不成立；当 时，由 ，解得 3x. 所以原不等式的解集为 |5或 . . 5 分 （2） ()bfaf即 1ab. 因为 1, ,所以 222222110abababab,所以 .故所证不等式成立. . 10 分
