1、 数学（四） （导数及其应用）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，则 （ ）6)(,)(3xff 0A B C D 22212.若 的定义域为 ， 恒成立， ，则 解集为（ ）)(xfR)(xf 2)(f 42)(xfA B C D 1,1,3.设 为实数，函数 的导数是 ，且 是偶函数，则曲线axaxf )()(23)(xf)(f在原点处的切线方程为（ ）)(xfyA B C D 2xy3xy3xy44. 已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则（ ）aafln)( )(,21A B 21(,0)(1
2、xff )(,0)(21xffC D)5.已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件： ；xxfcos(22,21,x21x； .其中能使 恒成立的条件序号是（ ）21x21| )(1xffA B C D6.已知函数 ，下列结论中错误的是（ ）cbaxf23)(A B函数 的图象是中心对称图形 0,0Rx )(xfyC若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减 )(ff,0D若 是 的极小值点，则 0x)(0x7.正项等比数列 中的 是函数 的极值点，则na431, 364312xxf（ ）2016logaA1 B2 C D218. （理）一辆汽车在高速公路上行使，由于遇到紧急情况而刹车，以速度已
3、知集合（ 的单位： ， 的单位： ）行使至停止，在此期间汽车继续行使的ttv1537)( svsm/距离（单位： ）是（ ）mA B C Dln2ln485ln242ln54（文）函数 的导数为（ ）xysi2A B xcoxxycossi2C Dxysin42in429. 设函数 的定义域为 ， 是 的极大值点，以下结论一定正确的是（ )(xfR)0(xf）A B 是 的极小值点 )(,0ffR0)(fC 是 的极小值点 D 是 的极小值点 0xx10. 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）Pxey21Q)2ln(y|PQA B C D2ln1)ln(1)2ln1(11.设函
4、数 .若存在 的极值点 满足 ，则 的取值mxxfsi3)(xf002mxf范围是（ ）A B C D),6(),(),4(),(),(),(112. 已知 为自然对数的底数，设函数 ，则（ ）e )2,1()1()kxexfA当 时， 在 处取得极小值 B当 时， 在 处取得极大值 2k)(xf1xfC当 时， 在 处取得极小值 D当 时， 在 处取得极大值1 k)(二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. （理）曲线 与直线 在第一象限内所围成的图形的面积为 .3xyxy4（文）设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 .)1ln()(xaxfy)0,(xy2a14.
5、 若 在 上是减函数，则 的取值范围是 .221)(bf b15. 设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，xex)(a0x0)(xf则 的取值范围是 .a16.（理）设 ，则函数 中 的系数是 . 56)1()(f)(xf3（文）已知函数 是定义在 上的奇函数， ， （ ） ，则不xR010)(2xffx等式 的解集是 . 0)(2fx三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设 为曲线 ： 在点 处的切线.LCxyln），（ 01（1）求 的方程；（2）证明：除切点 之外，曲线 在直线 的下方.），（ 01CL18. 已知函数
6、 和 .其中 且 .axf2)( ag)(R0a（1）若函数 与 图象的一个公共点恰好在 轴上，求 的值；xx（2）若 和 是方程 的两根，且满足 ，证明：当 时，pq0)(xf aqp1),0(px.axfg)(19.设函数 ， .xesin2)(g（1）求证：函数 在 上单调递增；fy,0（2）设 ， （ ， ） ，若直线 轴，求 两点间的)(,1xP)(2xQ012xxPQ/,最短距离.20.设函数 .)()(2Rkefx（1）当 时，求函数 的单调区间；kf（2）当 时，求函数 在 上的最大值 .1,()(x,0kM21.已知函数 （ ）.1ln)(xaf0（1）当 时，求证： ；0x
7、)1()(xaf（2）在区间 上 恒成立，求实数 的范围.),(ex22. （理）已知函数 （ ）.)(2kefk0（1）求 的单调区间；)(xf（2）是否存在实数 ，使得函数 的极大值等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，k)(xf23ek请说明理由.（文）已知 （ ） ， （ ）.1ln)(xf R1)(mxg0（1）判断函数 的单调性，给出你的结论；y（2）讨论函数 的图象与直线 （ ）公共点的个数.)(xf)(x参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B A D B C A C D B C
8、 A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （理） ；（文） ； 14 ； 15 ； 16 （理） ；31,()1,23e40（文） . ),1(0,三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分17解：（1）设 ，则 . ， 的方程为 .xfln)(2ln1)(xf1)(fL1xy（2 ）令 ，则除切点之外，曲线 在直线 的下方等价于1)(xgC（ ， ） .0满足 ，且 .)(xg)1(2ln1)(1)( xfxg当 时， ， ， ，故 单调递减；10x02lnx0)(xg)(xg当 时， ， ， ，故 单调递增. （ ， ）.)(gxx1除切点 之外，曲线 在直线
9、 的下方.），（ 01CL ， .aqpx100)(qxp当 时， ，即 .),()(gxf )(xgf又 ，)1)( aqxpaxxf，且 ， ， ，0p01aqa 0()f pf综上， .pxfg)(19 （ 1）证明：当 时， ，0cos1s)( xexf函数 在 上单调递增.)(xfy,（2）解： ， ，)(21g2sin11xex 两点间的距离等于 ，QP, | 11设 （ ） ，则 （ ） ，sin)(xexh0cos)(xexh0记 （ ） ，则 ，col sini xl ， 在 上单调递增， ，1)0(x)(x),3)(h ，即 两点间的最短距离等于 .3|12QP, 320解
10、：（1）当 时，k )2()1()( xxx eef令 得 ， .0)(xf12lnx函数 的单调递增区间为： 和 ，递减区间为 .)(xf )0,(),2(ln)2ln,0(（2） ，2)1( kexkxekex 令 得 ， ，0)(xf )ln(令 ， ，kkgln,2则 ， 在 上单调递增.01)( )(kg1, ，从而 ， .ln2lek k)2ln),0(2lnk当 时， ；当 时， ；)n(,0x)(xf ,(xf .)1,ma,a3kekfM令 ，则 ，1)(3ekh(kh令 ，则 ， 在 上单调递减，03)( e)(k1,2而 32()12(e存在 ，使得 ，且当 时， ；当
11、时，,0x)(0x),21(0xk0)(k)1,(0x.)(k 在 上单调递增，在 上单调递减.),210x)1,(0x ， ，87)(ehh 在 上恒成立，当且仅当 时取“ ”.k1,(k综上，函数 在 上的最大值 .)xf0k3)1(keM21解：（1）证明：设 ，)0(1ln)( xaxaxfg则 ，令 ，则 ，易知 在 处取得最小值，故2)(xag )(g，即 .0x)1()(xf（2 ）由 得 ，即 .xf)(xa1lnxaln1令 ，则 .)(l1)(exh2)(l)h令 ，则 ，故 在 上单调递增，所以nx 012x)(x,1e.因为 ，所以 ，即 在 上单调递增，则0)1(x0
12、)()(hh,，即 ，所以 的取值范围为 .eh1lnexa）e22.解：（1）函数 的定义域为 ，)(fR，2)()2()( 22 xkekkxf kxxx即 ，令 ，解得 或 .0)1( e 0(f1当 时， ，故 的单调递增区间是 .2k 22xef )x),(当 时， ， 随 的变化情况如下：0)(f所以，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .)(xf )2,(k),1()1,2(k当 时， ， 随 的变化情况如下：2k)(fx所以，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .)(xf )1,(),2(k)2,1(k（2 ）当 时， 的极大值等于 .理由如下：1kf3e当
13、 时， 无极大值.)(当 时， 的极大值为 ，0xf )14()2(2kkf令 ，即 ，解得 或 （舍）.223)14(eke3143当 时， 的极大值为 .2k)(xf kef)1(因为 ， ，所以 .ek210k2因为 ，所以 的极大值不可能等于 .231)(xf 23e综上所述，当 时， 的极大值等于 .1k22.（文）解：（1）求导 ，由 得 .xxf1)( 0)(f1x当 时， ；当 时， ，所以 在 上是增函数，),0(x0f ),)(fy,0在 是减函数.（2 ）当 时，函数 的图象与直线 公共点的个数等价于曲线)(xfy)(1)(mxg与直线 公共点的个数.1lnxy0m令 ，则 ，所以 .2l)(h21ln)(xh0)(eh当 时， ， 则 上是增函数；1,0ex0x),当 时， ， 则 上是减函数；).()(h(x,1e所以 在 上的最大值为 ，且 ， ，xh,00)01)(2eh014)(2eh如图， 于是当 时，函数 的图象与直线 有 2 个公共点；10em)(xf )0(1)(mxg当 时，函数 的图象与直线 有 1 个公共点；当 时，函数 的图象与直线 有 0 个公共点.)(f )()(
