1、2018 届江西省南昌市高三第一轮复习训练题数学（六） （解析版）审题人：南昌外国语 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在 中，若 ，则边的长度等于 ( )A. B. C. 或 D. 以上都不对【答案】C【解析】a= ，b= ，A=30，即 c23 c+10=0，解得：c=2 或 c= ，则 c=2 或 故答案为：C. 2. 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据余弦定理得到 故答案为：C。3. 给出以下结论：在四边形 中，若 ，则四边形 是平行四边形
2、；已知三角形 中， ， ， ，则 ；已知正方形 的边长为 1，则 ；已知 ， ， ，则 三点共线其中正确结论的个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】根据题意得到：是向量中的平行四边形法则，是正确的。已知三角形 中， ， ， ，则 ，故是错误的。已知正方形 的边长为 1，则 是正确的。已知 ， ， ， 是正确的。故只有一个是错误的.故答案为：C。4. 在平行四边形 中， 与 相交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ，若 ，则 等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示ABCD 中，DEF BEA ， 再由 AB=CD 可得 又 =， =
3、 ， = = = ， = ； 又 = = = + ， = + = + + = 故选：B 5. 在 中，| |5，| |4， 10，则 的面积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据向量点积得 10 ，故得到 故三角形的面积为 故答案为：C。6. 一艘海警船从港口 出发，以每小时 海里的速度沿南偏东 方向直线航行， 分钟后到达 处，这时候接到从 处发出的一求救信号，已知 在 的北偏东 ，港口 的东偏南 处，那么 ， 两点的距离是( )A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里【答案】A【解析】如图由已知可得，BAC=30， ABC=105，AB=20，从而ACB=45在ABC
4、中，由正弦定理可得 BC= sin30=10 故答案为：A。7. 已知向量 ，则“ ”是“与 夹角为锐角”的( )A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若与 夹角为锐角，则 ，且与 不平行，所以 ，得 ，且 ，所以“ ”是“ ，且 ”的必要不充分条件。故选 C。8. 已知向量 若 ，则 ( )A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】根据题意，向量=（1，x）， =（1，x1），则2 =（1，2x），若（2 ），则（2 ） =1+x（2x）=0，解可得 x=1，则2 =（1，2x）=（1，1）；故|2 |= ；故答案为：A。9
5、. 已知向量， 满足 ，且 ，则向量 在方向上的投影为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由=（ 1，2） ，可得|= ， （ +）=2，可得 + =2， =3，向量 在方向上的投影为 。故答案为：D。10. 设 是 的外心(三角形外接圆的圆心)若 ，则 的度数等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】O 为ABC 的外心，同理同理， 故 cos BAC=BAC=60 ，故答案为：C。点睛:这个题目考查了向量在三角形的四心中以及向量的三角形法则，求模运算以及数量积的运用，属于中档题. 对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.11.
6、 在 中，已知 ， ，则 为( )A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 锐角非等边三角形 D. 钝角三角形【答案】B【解析】试题分析：由已知 及正弦定理，得 ， 由，得 为等腰直角三角形，故选 B考点：综合应用正余弦定理及三角恒等变换判断三角形的形状12. 若向量与向量 的夹角为钝角， ，且当 时， ( )取最小值 ，向量满足 ，则当 取最大值时， 等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设= ， = ， = ，如图：向量 ， 的夹角为钝角，当与 垂直时， 取最小值 ，即 过点 B 作 BDAM 交 AM 延长线于 D，则 BD= ，| |=MB=2，MD=1，AMB=12
7、0，即与 夹角为 120 =0，| |cos120+ |2=0，|=2，即 MA=2， ，c 的终点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，O 是 AB 中点， =2 ，当 M， O，C 三点共线时， 取最大值，AB=2 ，OB=0C= ，MA=MB=2，O 是 AB 中点， MOAB，BOC=MOA=90，| |=BC= OB= 故答案选：A点睛:这个题目考查了向量加法的三角形法则,向量垂直的坐标表示,向量模长的求法等知识方法,有一定的计算量.对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.二填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已
8、知向量 ， 与 垂直，则 _【答案】即 故答案为： .14. 如图，在 中，D 是 BC 的中点，E， F 是 AD 上的两个三等分点， ， ，则 的值是_【答案】【解析】因为 ，因此 ，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解15. 若满足 ， ， 的 恰有一解，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】ABC= ，AC=3，BC=m，由正弦定理得：sinBAC= sinABC= =
9、 ，0BAC ，若 =1，即 m= 时，BAC 为直角，只有一解；若 1，即 3m 2 时，BAC 有两种情况为 arcsin（ ）或 arcsin（ ） ，三角形就有两解；若 0 ，即 0m 3 时，BAC 只有一种情形为 arcsin（ ），综上，m 的范围为（0，3 2 故答案为：（0，32 16. 在 中， ， ， 是 边上一点， ， 的面积为 ，为锐角，则 =_【答案】【解析】在ABC 中， B= ，AC= ，D 是 AB 边上一点，CD=2，ACD 的面积为 2，ACD 为锐角，S ACD = sinACD=2，解得 sinACD= ，cos ACD= ，由余弦定理得到AD= ，由
10、正弦定理,又因为 故答案为： 点睛: 本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦.三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设向量 满足 ，且 （）求 的值；（）求 与 夹角【答案】 （） （）【解析】试题分析(1)将已知的模长平方得到 ,根据 得到要求的模长.(2)根据向量夹角的运算公式得到 ,由点积公式得到结果.解析:（） ， ，（） ， 18. 已知
11、平行四边形 中, ， ,对角线 交 于点 ， 上一点 满足 ， 为上任意一点（）求 值；（）若 ，求 的最小值【答案】 （） （）【解析】试题分析：（I）将 转化为 ，代入 ，可得 .（II）利用 ，可求得 ，由此求得 ，令，由（ I）得 ，解得 .设 ，由此求得 的表达式，利用二次函数配方法可求得最小值.试题解析：（）由平行四边形 知 ， ， 而 ， ， ， （）方法一：若 ， ， ，设 ，由（ ） ，得 ，即再设 ， ，显然 ，当 时， 有最小值为 方法二（坐标法）：若 ， ， ，又 ，如图建立平面直角坐标系：则 , , ， ，设 ,得又设 ， ， ，得 ， 由（） ，得 显然 ，当 时，
12、 有最小值为 点睛：本题主要考查向量的线性运算，考查向量的坐标运算和数量积的求解，考查化归与转化的数学思想方法. 有关向量运算的小题，往往都化成同起点的向量来进行，求解数量积的取值范围，着重考查了平面向量平行、二次函数配方法的化简、向量的线性运算和数量积，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题.19. 已知 分别为 三个内角 的对边，且 （）求 ；（）若 为 边上的中线， ， ，求 的面积【答案】 （） （）【解析】试题分析: （1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出 A；（2）由题意和平方关系求出 sinB，由内角
13、和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出 sinC，由正弦定理求出 a 和 c 关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出 a、c，由三角形的面积公式求出答案解析:（） ，由正弦定理得：，即，化简得： ， 在 中， ，得 （）在 中， ，得 ，则 ，由正弦定理得 设 ，在 中，由余弦定理得： ，则 ，解得 ，即 ， 故 点睛: 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力注意当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦较多.20. 已知 的面积为 ，且 , （）若 的图象
14、与直线 相邻两个交点间的最短距离为 ，且 ，求的面积 ；（）求 的最大值【答案】 （） （）【解析】试题分析: （1）由条件利用余弦函数的图象特征求出 ，可得 f（x）的解析式，再根据 f（ ）=1 求得 B，再利用条件求得 A，从而ABC 是直角三角形，从而计算 ABC 的面积 S （2）利用正弦定理求得ABC 的外接圆半径 R，再化减 从而求得它的最大值解析:（）依题意 的周期为 2， ， ， 又 ， ， ，设 的三边长分别为 ， ， ，从而 是直角三角形由 得 ，从而 ， （）由 ）知 ， ，设 的外接圆为 ，则 ， ， ，故当 时，所求最大值为 点睛: 本题主要考查余弦函数的图象特征，
15、正弦定理，两个向量的数量积的运算，属于中档题.一般出现关于边的齐次式或者角的齐次式,可以联想正弦定理.和正弦定理相关的还可以想到面积公式.再者就是球有关三角函数的值域时,多数是通过角的化一公式得到.21. 如图所示，正三角形 的边长为 2， 分别在三边 和 上， 为 的中点，（）当 时，求的大小；（）求 的面积 的最小值及使得 取最小值时的值【答案】 （） （）当 时， 取最小值【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，在中， ，而在 中，利用正弦定理，用表示
16、 ，在 中，利用正弦定理，用表示 ，代入到式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出 ，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的 和 代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定 的最小值试题解析：在 中，由正弦定理得 ，在 中，由正弦定理得由 ，得 ，整理得 ，所以 （2） 当 时， 取最小值 考点：1正弦定理；2两角和的正弦公式；3倍角公式【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起
17、来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“ 变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式22. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 与小岛 、小岛 相距都为 ，与小岛相距为 小岛 对小岛 与 的视角为钝角，且 （）求小岛 与小岛 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（）记小岛 对小岛 与 的视角为 ，小岛 对小岛 与 的视角为 ，求 的值【答案】 （） （）【解析】试题分析：（1）利用余弦定理求出， 即可求 与小岛 之间的距离；（2）求出 ，利用和角的三角函数公式求 的值.试题解析：（1） ，且角 为钝角， .在 中，由余弦定理得， ，4 分， ，解得 或 （舍） ，小岛 与小岛 之间的距离为（2）在 中，由正弦定理， ，即 ，解得为锐角， ，又 , ，考点：解三角形的实际应用
