1、安徽省池州市 2017 届高三下学期教学质量检测数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）|316,xAN2|40Bx()RACBA1 B3 C4 D72. 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 （ ）iz ()zizA B C D1i1i13. 若 展开式的常数项为（ ）61(2)xA120 B160 C200 D240 4. 若 ， ， ，则 大小关系为（ ）10()2a12()5b15log0c,abcA B C. Dcab
2、bac5. 如图，网格线上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C. D93129712105210926. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前 300 年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法” ，执行该程序框图（图中“ ”表示 除以 的余数） ，若输入的aMObab分别为 675,125，则输出的 （ ）,abaA0 B25 C. 50 D757. 将函数 的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数为2()3cosincos3fxxx(0)t奇函数，则 的最小值为（ ）tA B C. D23268. 某
3、学校有 2500 名学生，其中高一 1000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高二抽取样本数分别为 ，且直线,ab与以 为圆心的圆交于 两点，且 ，则圆 的方程为（ ）80axby(1,)A,BC120ACA B 22(1)22(1)()xyC. D8()17xy 159. 已知 满足约束条件 ，目标函数 的最大值是 2，则实数 （ ）,2043xya23zxyaA B1 C. D42210. 已知正三棱锥 的外接球半径 ， 分别是 上的点，且满足 ，AC2R,PQ,ABC5APCQB，则该正三棱锥
4、的高为（ ）DPQA B C. D32332311. 已知抛物线 ，直线 倾斜角是 且过抛物线 的焦点，直线 被抛物线 截得21:8(0)Cyaxl451Cl1C的线段长是 16，双曲线 ： 的一个焦点在抛物线 的准线上，则直线 与 轴的交点 到双221yb1lyP曲线 的一条渐近线的距离是（ ）2A2 B C. D13212. 已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，则命题 “ ，且 ，()fxR()fx:P12,xR12x”是命题 ：“ ， ”的（ ）12()|017fxQxR|2017fA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也必要条件第卷（共 90 分
5、）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若向量 与 的夹角为 ，则实数 的值为 (1,)am(0,1)bab3m14. 已知 ，则 sin32sin()615. 在区间 上随机地取两个数 ，则事件“ ”发生的概率为 0,xy5yx16. 已知在平面四边形 中， ， ， ， ，则四边形 面ABCD2BCADCABCD积的最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知各项均不相等的等差数列 满足 ，且 成等比数列na1125,a（）求 的通项公式；na（）若 ，求数列 的前 项和 *
6、1()()nnbNnbnS18. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示） ，规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为 100 分） 晋级成功 晋级失败 合计男 16女 50合计（）求图中 的值；a（）根据已知条件完成下面 列联表，并判断能否有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？2（）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失败的人数为 ，求 的分布列与数学期望 X()EX（参考公式： ，其中 ）22()()nadbcknabcd20(PK040 025 015 010
7、 005 0025k0780 1323 2072 2706 3841 502419. 如图 1，四边形 中， ， ，将四边形 沿着ABCDB2CEABDEABCD折叠，得到图 2 所示的三棱锥 ，其中 BD（）证明：平面 平面 ；ACDB（）若 为 中点，求二面角 的余弦值FAF20. 设点 到坐标原点的距离和它到直线 的距离之比是一个常数 M:(0)lxm2（）求点 的轨迹；（）若 时得到的曲线是 ，将曲线 向左平移一个单位长度后得到曲线 ，过点 的直线1mCE(2,0)P与曲线 交于不同的两点 ，过 的直线 分别交曲线 于点 ，设1lE12(,)(,)AxyB(1,0)F,ABFDQ， ，
8、 ，求 的取值范围AFDBFQ,R21. 设函数 ()ln()()fxax（）若 ，求曲线 在 处的切线方程；2017af2（）若当 时， ，求 的取值范围x()0x请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程是 （ 是参数） ，圆 的极坐标方程为 l24xtytC4cos()（）求圆心 的直角坐标；C（）由直线 上的点向圆 引切线，求切线长的最小值l23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()|2|fxa（）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；6|23xa（）在（1）的条件下，若存在实数 使 成立，求实
9、数 的取值范围n()()fmfnm试卷答案一、选择题1-5: BCBDC 6-10: BDCAA 11、12：DB1.B 【解析】因为 ， ，316,xAN0,122540Bx14x故 ，故 ，故 的真子集个数为 3，故选 B.14BxR或RIRAI2.C【解析】设 ， ，则 ，又 ，zabi(,)zabi2zi， 故 .故选 C.221ab,13.B 【解析】 ，展开式中的第 项为 ，61(2)x1r6261 6()2rrrrrTCxCx令 可得 ，故展开式中的常数项为 160260r3r4.D 【解析】 ，即 ，同理 ，而 ，因此 10()0ab0cbac5. C 【解析】该几何体由一个三
10、棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为，故选 C.3426512S6. B【 解析】开始 ， ;第一次循环： , , ；第二次循环： , 7ab50c12a75b50c, ；第三次循环： , ；第四次循环： .退出循环，75a0bc,2ab02,ca输出 .27. D 【解析】 图象向左平移 个单位得到()3os2incos()6fxxx()t为奇函数，所以 最小值 , .选 D.()cos6fxtt3t8.C【解析】由分层抽样方法知抽样比例为 25:1，故从高一、高三抽取 40,24，故 , 直线40a2b为 ，化简为 ，圆心 到直线 的距离为80aby4280xy510xy(1,
11、)Al，所求的半径为 ，所求的圆的方程为 .2531d243R2218()7xy9.A 【解析】不等式组 表示的平面区域如图中直线 与直线 所夹230xy 30y0的点 的左边部分，由于目标函数 的最大值是 2，作出直线 见图中虚线，可知Azxy2x点 是直线 与 的交点，从而知点 是不等式组 表示的平面区C20xy32C430yax 域的最下方的一个点，直线 过定点 又过点 ，所以得 .4axy(0,)B(4,2)1210.A 【解析】易知正三棱锥 中对棱互相垂直，则有 ，因为 ，所以ABCDACBD5APCQB，而 ，所以 ，所以 平面 ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以/PQACDPQPA
12、CABD正三棱锥 的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥 补成一个正方体，则正方体的体对B C角线就是其外接球直径，故 ，由正方体的性质可知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥23R的高，所以高为 .311D 【解析】由题意得直线 的方程是 ，由 得 ，又由直线l 2yxa28yxa22140xa被抛物线 截得的线段长是 16，得 ，得 ，从而知抛物线 的准线方程是 ，l1C8161C2x由题意可以得双曲线的一个焦点是 ，即有 ， ，双曲线 的渐近(2,0)2c243bca线方程是 .又知点 ，从而有 ，故选 D.3yxP|13d12.B 【解析】因为 ，且 ，所以不妨设 ，则由 可得12,
13、R12x12x12()|017fxf，于是 ，1221|()|07fxfx122112()07ffxx即 .构造函数 ，则由单调性的定义可知 在1122()()ff ()gf()gx上单调递增，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，同理可R()017gxfR()2017fxR证 在 上恒成立，所以 等价于“ ， ”，显然 是 的真子集，所()2017fxRPx|QP以 推不出 ，而 可以推出 ，所以 是 的必要不充分条件.PQQ二、填空题13. 14. 15. 16. 3231631013. 【解析】由 ，得 ，从而解得 或 （舍cos,|ab2cos3m3m去）.14. 【解析】因为 ，且
14、为锐角，所以23 1cos()cos()sin()6233.21sin()()6315.【解析】在区 间上随机地取两个数 、 构成的区域的面积为 1，事件“ ”发生构成10, xy 5yx的区域的面积为 ，所以所求概率为 15610|xd 1616. 【解析】设 ，则在 中，由余弦定理可得3,(0,)ABCABC，从而四边形 的面积22cos642cosACBABCD，化简得1(in)CDS D ，其中 ，当1(2sin642cs)3(sics)310sin()tan2时， 取得最大值 .si)S10三、解答题17.【解析】 （）设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，即 ，nad215a2()1
15、4d解得 或 （舍） ，所以 . 2d021（）由 ，可得1na，141()()(1)21(2nnnnb 当 为偶数时，.2()()()()35711n nS n当 为奇数时， 为偶数，于是1n.()()()()22n n18.【解析】 ()由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知，故 .(20.30.4)1a05a()由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，.故晋级成功的人数为 （人） ，.25故填表如下晋级成功 晋级失败 合计男 16 34 50女 9 41 50合计 25 75 100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，2210(6439).613.072570K
16、所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关（）由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，将频率视为概率，则从本次考试的所有人1.2.5员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 ，07故 可视为服从二项分布，X即 ， ， 3(4,)B:4431()()(,23)kkPXC故 ， ，0125614(64PXC， ，24()()PX308()25，038C故 的分布列为 X0 1 2 3 4()Pk256345461085126或（ .34E()03EX19.【解析】 （）因为 且 ，可得 为等腰直角三角形，ABDEABD则 ，又 ，且 平面 ， ，ABDC、 C故 平面 ，又 平面
17、 ，所以平面 平面 . BA（）以 为原点，以 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐ExEDy标系.过 点作平面 的垂线，垂足为 ，根据对称性，显然 点在 轴上，设 .由题设条件可得下ABCDGGxAGh列坐标： ， ， ， ， ， .(0,)E(2,0)(,10)B(,)D2(1,0)Ah1(,0)2F， ，由于 ，所以 ，解得21,h,C2BD，则 点坐标为 . 由于 ， ，设平面 的法向量32hA13(,0)213(,)2BA(1,0)2BFABF，(,)uabc由 及 得0BAuF130,2abc令 ，由此可得 .9a(9,63)由于 ， ，则 为平面 的
18、一个法向量，ADBAC2(1,3)DABC则 ，()5cos,208u因为二面角 为锐角，F则二面角 的余弦值为 .CAB1520.【解析】 （）过点 作 ， 为垂足，MHl设点 的坐标为 ，则 ，(,)xy2|,|OxyMxm又 ，所以 ，2|O2|故点 的轨迹方程为 .22110xym可化为 ，显然点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆. 2()xmMx（） 时，得到的曲线 的方程是 ，1C2()1y故曲线 的方程是 .E21xy设 , ，则 ，12(,)()AxyB3()D13(,)(1,)AFxyFDxy由 ，得 ，即 . F1y3y当 与 轴不垂直时，直线 的方程为 ，即 ，代入曲线 的方程并注意x 1()x11()yE到 ，21y整理可得 ，22111(3)()0xyxy则 ，即 ，于是 .131y13 13x
