2017年安徽省池州市高三4月联考数学（理）试题.doc

1、2017 届安徽省池州市高三 4 月联考数学（理）试题一、选择题1 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 （ i z 2ziz）A. B. C. D. i1ii1i【答案】C【解析】设 ,由 有,zabiR2zi,解得 ,所以 ,选 C.2abii1ab2 若 展开式的常数项为（ ）61xA. 120 B. 160 C. 200 D. 240【答案】B【解析】 展开式的通项为 ,令612x 62612kkkTCxC,得 ,所以展开式的常数项为 ,选 B.20k3k3603 若 ， ， ，则 大小关系为（ ）1a125b15logc,abcA. B. C. D. cb【答案】D【解析】

2、因为 , 102a,所以大小关系为 .1021155,logl05bc bac4 如图，网格线上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 9312971205120912【答案】C【解析】从三视图得到,该几何体上面是一个底边为等腰直角三角形,直角边为 3,高为4 的直三棱柱,下面是一个棱长为 4 的正方体,算出直三棱柱底面斜边长为 ,故该3几何体的表面积为 ,2 213354105+2S选 C.5 已知集合 ， ，则 的|6,xAN2|BxRACB真子集个数为（ ）A. 1 B. 3 C. 4 D. 7【答案】B【解析】集合 ,

3、集合=|16,012AxN,所以 或2|540|4xx|1RBx,真子集有 ,共 3 个,选 B.,RB6 某学校有 2500 名学生，其中高一 1000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高三抽取样本数分别为 ，且直线 与以 为圆,ab80axby1,A心的圆交于 两点，且 ，则圆 的方程为（ ）,BC120BACA. B. 2211xy2xyC. D. 8715【答案】C【解析】按照分层抽样的特点,高一高二高三抽取的人数分别为 .所以40,362,直线方程为 ,即 ,圆心 到直40,2ab402+

4、8=xy5310xy1,A线的距离 ,由于 ,所以圆的半径 ,2531d02BAC6234rd故圆的方程为 ,选 C.287xy7 将函数 的图象向左平移 个单位，所3cosincs3fxx(0)t得图象对应的函数为奇函数，则 的最小值为（ ）tA. B. C. D. 2326【答案】D【解析】 2 1cos2cosincs3in32cos6xfxxx x,平移后函数 为奇函数,所以 ,解得6yt+,6tkZ,所以当 时, 有最小值 .,26ktZ0kt8 “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前 300 年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法” ，执行该程序框图

5、（图中“ ”表示 除以 的余数） ，若输入的 分别为 675,125，则输出aMODbab,ab的 （ ）A. 0 B. 25 C. 50 D. 75【答案】B【解析】当 此时 否, 675,12,10,25,10,abcaMODbab0c否, 125025,10,25,cMODab是,输出 ,选 B.c25a9 已知 满足约束条件 ，目标函数 的最大值是 2，,xy4230xya3zxy则实数 （ ）aA. B. 1 C. D. 423【答案】A【解析】当 时,画出可行域如下图三角形 ABC 边界及内部,目标函数 ,写0a 23zxy成直线的斜截式有 ,当 有最大值时,这条直线的纵截距最小,

6、所以目标23zyx函数在 A 点取得最大值.联立 ,求得 ,符合;420ayx1a当 时,画出可行域,红色区域,由于可行域是一个向 轴负方向敞开的图形,所以0a y不能取到最大值,不合题意,综上所述, ,选 A.23zxy 12a10 已知正三棱锥 的外接球半径 ， 分别是 上的ABCD32R,PQ,ABC点，且满足 ， ，则该正三棱锥的高为（ ）5PQPA. B. C. D. 3232【答案】A【解析】设正三棱锥的底边边长为 , 侧棱长为 ,其外接球的球心 在该正三棱锥abO高上,且到四个顶点的距离相等.在正三角形 中, BCD,在 中,由余弦定理求出1606BQCaDBQ， Q,故 ,在

7、中,22 231cos6Da31=6aABD求出 ,又 ,由勾股定理有25163PabPACb，,求得 ,设顶点 在底边 上射影为 ,在22Q2BM中, ,而RtBOM22OBM,算出 ,所以该23,aAA， ,1ab正三棱锥的高 .选 A.23B点睛:本题考查了利用外接球的半径求正三棱锥的高,属于中档题. 本题思路: 由已知条件分别求出 的表达式,解出 之间的关系,再利用外接球的球心到各,PQDab顶点距离相等,求出 的值,再求出正三棱锥的高.ab11 已知抛物线 ，直线 倾斜角是 且过抛物线 的焦点，21:8(0)Cyxl451C直线 被抛物线 截得的线段长是 16，双曲线 ： 的一个焦点

8、在l1 2C2xyab抛物线 的准线上，则直线 与 轴的交点 到双曲线 的一条渐近线的距离1lyP2是（ ）A. 2 B. C. D. 132【答案】D【解析】抛物线的焦点为 ,由弦长计算公式有 ,所以0a20816,sin45aa抛物线的标线方程为 ,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为28yxx,即 ,所以 ,渐近线方程为 ,直线204c2413bc 3yx方程为 ,所以点 ,点 P 到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选l2yx02-213D.点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出 的值,根据双曲线中 的关系求出 ,

9、渐近线a,abcb方程等,由点到直线距离公式求出点 P 到双曲线的一条渐近线的距离.12 已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，则命题 fxRfx:P“ ，且 ， ”是命题 ：“ ， 12,xR1212017fxfQR”的（ ）07fA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件【答案】B【解析】构造函数 ,则32017fxx,31 212 211212 071fxf xx所以 ,但 ,所以命题 P 不能推1207ffx207fx出命题 Q;由导数的定义, ,所以当 有12120limxffxf2017fx,故命题不能推出命题 P,P 是 Q

10、的必要不充分条件.选 B.12017fxf点睛: 本题主要考查了充分必要条件, 涉及导数的定义与曲线 上割线的斜率,属yfx于中档题. 注意当判断命题为假时,可以举出反例.二、填空题13 已知向量 ， ，若向量 与 的夹角为 ，则实数 的1,am0,1bab3m值为_【答案】 3【解析】 ,显然 ,所以 .21cosabm03m14 已知 ，则 _1sin(0)32sin6【答案】 2【解析】因为 ,且 ,所以 ,且0sin033,所以2cos1sin33.2inicos62315 在区间 上随机地取两个数 ，则事件“ ”发生的概率为0,1,xy5yx_【答案】 6【解析】由题意画出事件“ ”

11、所表示的图象,如图阴影部分,阴影部分的面积为5yx,由几何概型概率公式有事件“ ”的概率为15601|0Sxd 5yx.126P16 已知在平面四边形 中， ， ， ， ABCD22BCACD，则四边形 面积的最大值为_ ACD【答案】 310【解析】设 ,则在 中,由余弦定理有xA,所以四边形 面积242cos642cosxBBCD,所以当11inin3s10in3S 时, 四边形 面积有最大值 .siACD点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在 中中,已知ABC长,想到用余弦定理求出另一边 的表达式,把 四边形 面积写成ABCACD这两个三角形面积之和,用辅助角公式化

12、为 ,当D 10sin时, 四边形 面积有最大值 .sin1BD3三、解答题17 已知各项均不相等的等差数列 满足 ，且 成等比数列na1125,a（1）求 的通项公式；na（2）若 ，求数列 的前 项和 *1nnbNnbnS【答案】 （） ;（）当 为偶数时， .当 为奇数时，2na 21n.1nS【解析】试题分析: (1)设等差数列的公差为 ,由 展开求出公差0d215a,再写出数列 的通项公式 ; (2)将 化简,分 为奇偶,利用裂项相消求出数dnanb列 的前 项和.nb试题解析:（）设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，即nd215a，214d解得 或 （舍） ，所以 . 021na（

13、）由 ，可得21na，141212n nnnb 当 为偶数时，.2135711n nS n 当 为奇数时， 为偶数，于是1n.22n n18 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示） ，规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为 100 分） （1）求图中 的值；a（2）根据已知条件完成下面 列联表，并判断能否有 85%的把握认为“晋级2成功”与性别有关？晋级成功 晋级失败 合计男 16女 50合计（参考公式： ，其中 ）22nadbckdnabcd20PK040 025 015 010 005 00250k0780 1

14、323 2072 2706 3841 5024（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失败的人数为 ，求 的分布列与数学期望 XEX【答案】() ;()见解析;（III）见解析.0.5a【解析】试题分析: (1)利用所有矩形的面积和为 1,求出 ;(2)由频率分布0.5a直方图求出晋级成功的人数,填表,计算 的值,与临界值表中 比较,得出结论; 2K27(3)求出晋级失败的概率,4 人中晋级失败的人数为 ,则 服从二项分布, 再求出分X布列和数学期望. 试题解析：()由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知，故 .2030.41a05a(

15、)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，2.故晋级成功的人数为 （人） ，.25故填表如下晋级成功 晋级失败 合计男 16 34 50女 9 41 50合计 25 75 100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得 ，22106439.613.072570K所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关（III）由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，将频率视为概率，则.5.从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 ，.5故 可视为服从二项分布，X即 ， ， 34,B4430,123kkPXkC故 ， ，041256PX1464PXC， ，243

16、4C3140825，0418256PX故 的分布列为0 1 2 3 4PXk256345461082561256或（ .34E103425EX19 如图 1，四边形 中， ， ，将ABCDB22CEABDE四边形 沿着 折叠，得到图 2 所示的三棱锥 ，其中 AB（1）证明：平面 平面 ；ACDB（2）若 为 中点，求二面角 的余弦值FAF【答案】 （）见解析;（） . 15【解析】试题分析: (1)由面面垂直的判定定理得出证明; (2)以 E 为原点,建立空间直角坐标系,写出各点坐标,设 ,由 ,求出 ,求出平面 AGhBCD32hABF的一个法向量,由已知条件找出平面 的一个法向量,利用公

17、式求出二面角的余弦值.CABF试题解析:（）因为 且 ，可得 为等腰直角三角形，EEA则 ，又 ，且 平面 ， ，DC、 CD故 平面 ，又 平面 ，ABD所以平面 平面 . （）以 为原点，以 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，建立如xy图所示的空间直角坐标系.过 点作平面 的垂线，垂足为 ，根据对称性，显然 点在 轴上，设ABCDGGx.由题设条件可得下列坐标： ， ， ， Gh0,E2,0C,10B， ， . ， 0,121,Ah1,F2,Ah，由于 ，所以 ，解得 ，2,DCBCD20Ah 3则 点坐标为 . 由于 ， ，设平面A13,0213,1,BF的法向量 ，BF,uab

18、c由 及 得0A130,2,cab令 ，由此可得 .9a9,63u由于 ， ，则 为平面 的一个法向量，ADBAC21,3DABC则 ，291235cos, 08uDA因为二面角 为锐角，CBF则二面角 的余弦值为 . 1520 设点 到坐标原点的距离和它到直线 的距离之比是一个M:(0)lxm常数 2（1）求点 的轨迹；（2）若 时得到的曲线是 ，将曲线 向左平移一个单位长度后得到曲线mC，过点 的直线 与曲线 交于不同的两点 ，过E2,0P1lE12,AxyB的直线 分别交曲线 于点 ，设 ， 1,FAFB,DQFD， ，求 的取值范围BQ,R【答案】 （）见解析;（） . 6,10【解析

19、】试题分析: (1)设 ，直接法求出点 的轨迹方程，由轨迹方程判MxyM断出轨迹; (2)由已知条件求出曲线 E 的方程,利用向量坐标运算求出,设直线 的斜率为 ,联立直线 的方程和曲线 E 的方程,1232,x1lk1l利用韦达定理求出 ,再求出 的范围.1x试题解析:（）过点 作 ， 为垂足，Hl设点 的坐标为 ，则 ，M,y2,OMxyxm又 ，所以 ，2O2故点 的轨迹方程为 .22110xym可化为 ，显然点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆. 2xmMx（） 时，得到的曲线 的方程是 ，1C21xy故曲线 的方程是 .E21xy设 , ，则 ，12,AxyB3,D13,1,AFxyFDx

20、y由 ，得 ，即 . AFD13y13y当 与 轴不垂直时，直线 的方程为 ，即 ，xA1x11xy代入曲线 的方程并注意到 ，E21xy整理可得 ，2211130xy则 ，即 ，于是 .131y13x13x当 与 轴垂直时，A 点的横坐标为 ， ，显然 也成立.Dx1132x同理可得 . 2设直线 的方程为 ，联立 ，1lykx21ykx消去 y 整理得 ，2280k由 及 ，解得 .0k241k21k又 ，2128x则 .1212283646,10xxk故求 的取值范围是 . ,0点睛:本题考查了轨迹方程的求法以及直线与椭圆相交时相关问题,属于中档题.在(1)中,求轨迹与求轨迹方程不一样,

21、把轨迹方程求出来后,再判断是什么类型的曲线;在(2)中,注意向量坐标运算求出 的表达式,再联立直线 的方程和椭圆方程求出 ,进1l 12x而求出 的范围. 21 设函数 ln12fxax（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；207af（2）若当 时， ，求 的取值范围x0x【答案】 （） ;（） . 1543y,2【解析】试题分析: (1)由已知条件求出 ,由点斜式求出切线方程; (2)构造函数2f,由 ,通过转化为证明 在2ln1axgx0ggx上为增函数,求出 的范围.2+，试题解析:（）当 时， ，2017aln1207fxx则 ，所以 ，lnxfx 15又 ，所以曲线 在 处的切线方程

22、为 .20fx20yx，即 . 15430xy（）由 得 ，而 ，fln120xa2x所以 ，设函数 ，2ln10axln12agx于是问题 转化为 ，对任意的 恒成立. g2x注意到 ，所以若 ，则 单调递增，200g从而 .而 ，gx22211axxagx所以 等价于 ，020分离参数得 ，121xax由均值不等式可得 ，2当且仅当 时等号成立，于是 . x2a当 时，设 ，a21hx因为 ，又抛物线 开口向上，240a21hxax所以函数 有两个零点，2xx设两个零点为 ，则 ，12,12于是当 时， ，故 ，所以 单调递减，故x0hx0gxgx，这与题设矛盾，不合题意.0g综上， 的取

23、值范围是 . a,2点睛:本题主要考查了导数的几何意义及恒成立问题转化为求函数的最小值,属于中档题.在(1)中,导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率,所以本题求切线方程是容易题;在(2)中,注意等价转化,转化为求函数 在 上2ln1axgx+，为增函数,分离出参数 ,求 的最大值.得到 的范围.a21x22 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程是 （ 是参数） ，圆 的极坐标方程为l24xtyC4cos（1）求圆心 的直角坐标；C（2）由直线 上的点向圆 引切线，求切线长的最小值l【答案】 （） ;（） . 2,42【解析】试题分析: (1)由 ,将极坐标方程转化为直角坐标方

24、程; cos,inxy(2)求出直线 上的点与圆心之间的距离, 由勾股定理求出切线长,再求出最小值.l（） ，4cos2s2i ，2in圆 的直角坐标方程为 ，即C220xyxy224xy圆心的直角坐标为 . ,（）直线 上的点向圆 引切线，则切线长为lC22 2248434tt tt，直线 上的点向圆 引的切线长的最小值为 . lC23 选修 4-5：不等式选讲已知函数 2fxa（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；6|23xa（2）在（1）的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的nfmfnm取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由题意得， ，解得 ，再由已知不等式的解集为 ，可得到 的值；（2）在（ 1）的条件下，|3xa，即 ，即 ，求得的最小值为 ，可得 的范围.试题解析：（1）由 ，得 ， ，26xa26xa62axa即 ， ， 3a1（2 ）由（1 ）知 ，令 ，2fxnffn则 14,2212,14,.2nnn 的最小值为 4，故实数 的取值范围是 n,【考点】1.绝对值不等式的解法；2.函数最值的应用.