1、2015-2016 学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1设集合 A=1，2，3，B=4，5 ，M=x|x=a+b，a A，bB，则 M 中元素的个数为( )A3 B4 C5 D62设复数 Z 满足（ i）Z=2i ，则|Z|=( )A B C1 D23已知向量 =（+1 ，1） ， =（ +2，2） ，若（ + ）（ ） ，则 =( )A4 B3 C 2 D14已知函数 f（x）的定义域为（ 1，0） ，则函数 f（2x1）的定义域为( )A （1， 1） B
2、（0， ） C （ 1，0） D （ ，1）5为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A简单的随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样6已知数列a n满足 3an+1+an=0，a 2= ，则a n的前 10 项和等于( )A6（ 1310） B C3（1 310） D3（1+3 10）7sin20 cos10cos160sin10=( )A B C D8投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测
3、试己知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432 C0.36 D0.3129执行如图的程序框图，如果输入的 t=0.1，则输出的 n=( )A3 B4 C5 D610在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA 1=1，则异面直线 A1C1 和 AB1 所成角的余弦值为( )A B C D11以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A （x1 ） 2+y2=1 B （x+1） 2+y2=1 Cx 2+（y 1） 2=1 Dx 2+（y+1） 2=112已知 f（x）=2 x1
4、，g（x）=1x 2，规定：当|f（x）|g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（ x）|g（x ）时，h（x） =g（x） ，则 h（x）( )A有最小值1，最大值 1 B有最大值 1，无最小值C有最小值1 ，无最大值 D有最大值1，无最小值二、填空题：本大题共四小题，每小题 5 分13若函数 f（x）=ln（x 2+ax+1）是偶函数，则实数 a 的值为_14曲线 f（x）=xlnx+x 在点 x=1 处的切线方程为_ 15设当 x= 时，函数 f（x）=sinxcosx 取得最大值，则 cos=_16已知x）表示大于 x 的最小整数，例如 3）=4，2，1）=1下列命题中真命题为_
5、（写出所有真命题的序号）函数 f（x）=x）x 的值域是（0，1；若a n为等差数列，则a n）也是等差数列；函数 f（x）=x）x 是周期函数；若 x（1，4） ，则方程x） x= 有 3 个根三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17已知命题 p：|1 |2 命题 q：x 22x+1m20（m0） ，且 p 是 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围18如图，在ABC 中， ABC=90，AB= ，BC=1 ，P 为ABC 内一点，BPC=90（1）若 PB= ，求 PA；（2）若APB=150 ，求 tanPBA19某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，
6、决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座 （规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物 化学 物理 数学周一周三周五根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望20已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件需另投入 2.7万元设该公司一年内共
7、生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且 R（x）=（1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入 年总成本）21设数列a n的各项都为正数，其前 n 项和为 Sn，已知对任意 nN*，S n 是 an2 和 an 的等差中项（）证明数列a n为等差数列，并求数列 an的通项公式；（）证明 + + 2；（）设集合 M=m|m=2k，kZ，且 1000k1500 ，若存在 mM，使对满足 nm 的一切正整数 n，不等式 Sn1005 恒成立，求这样的正整
8、数 m 共有多少个？请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-1：几何证明选讲22 （选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点E，DB 垂直 BE 交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径选修 4-4：坐标系与参数方程23已知曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） 在平面直角坐标系中，以坐标原点为
9、极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 cos（ +）=2 （）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2 交点的极坐标（0，02） 选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x 28x+1记 f（ x）1 的解集为 M，g（x）4 的解集为 N（）求 M；（）当 xMN 时，证明：x 2f（x）+xf （x） 2 2015-2016 学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1设集合 A
10、=1，2，3，B=4，5 ，M=x|x=a+b，a A，bB，则 M 中元素的个数为( )A3 B4 C5 D6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值 【专题】计算题【分析】利用已知条件，直接求出 a+b，利用集合元素互异求出 M 中元素的个数即可【解答】解：因为集合 A=1，2，3，B=4，5 ，M=x|x=a+b，aA，bB，所以 a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6 、2+5=7、 3+4=7、3+5=8 ，所以 M 中元素只有：5，6，7，8共 4 个故选 B【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力2设复数 Z
11、满足（ i）Z=2i ，则|Z|=( )A B C1 D2【考点】复数求模 【专题】计算题；数系的扩充和复数【分析】由复数的除法运算求解复数 Z，然后直接利用复数模的公式求解【解答】解：由（ i）Z=2i，得 =|Z|=| |= 故选：C【点评】本题考查了复数的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题3已知向量 =（+1 ，1） ， =（ +2，2） ，若（ + ）（ ） ，则 =( )A4 B3 C 2 D1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【专题】平面向量及应用【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解： ， =（2 +3，3） ， ， =0，（2+3
12、）3=0，解得 =3故选 B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键4已知函数 f（x）的定义域为（ 1，0） ，则函数 f（2x1）的定义域为( )A （1， 1） B （0， ） C （ 1，0） D （ ，1）【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数的性质及应用【分析】原函数的定义域，即为 2x1 的范围，解不等式组即可得解【解答】解：原函数的定义域为（1，0） ，12x 10，即 ，解得 0x 函数 f（2x1）的定义域为（0， ） 故选 B【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题5为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生
13、中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A简单的随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样【考点】分层抽样方法 【专题】阅读型【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方
14、法，主要考查抽样方法，属基本题6已知数列a n满足 3an+1+an=0，a 2= ，则a n的前 10 项和等于( )A6（ 1310） B C3（1 310） D3（1+3 10）【考点】等比数列的前 n 项和 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由已知可知，数列a n是以 为公比的等比数列，结合已知 可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3a n+1+an=0数列 an是以 为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S 10= =3（1 310）故选 C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7sin20 cos10cos1
15、60sin10=( )A B C D【考点】两角和与差的正弦函数 【专题】三角函数的求值【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可【解答】解：sin20cos10 cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin30= 故选：D【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查8投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试己知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432 C0.36 D0.312【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 【专
16、题】概率与统计【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可【解答】解：由题意可知：同学 3 次测试满足 XB（3，0.6） ，该同学通过测试的概率为 =0.648故选：A【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查9执行如图的程序框图，如果输入的 t=0.1，则输出的 n=( )A3 B4 C5 D6【考点】程序框图 【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图【分析】由题意可得，算法的功能是求 S=1 t 时 n 的最小值，由此可得结论【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求 S=1 t 时 n 的最小值，再根据 t=0.1，可得：当 n=3 时，S=1 = 0.1 ，当
17、 n=4 时，S=1 = 0.1，故输出的 n 值为 4，故选：B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题10在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA 1=1，则异面直线 A1C1 和 AB1 所成角的余弦值为( )A B C D【考点】异面直线及其所成的角 【专题】综合题；空间角【分析】连接 C1D，则 C1DAB1，故A 1C1D（或其补角）是异面直线 A1C1 和 AB1 所成角，在A 1C1D 中，利用余弦定理可得结论【解答】解：连接 C1D，则 C1DAB1， A1C1D（或其补角）是异面直线 A1C1 和
18、AB1 所成角在A 1C1D 中，A 1C1=2 ，A 1D=C1D= ，cosA1C1D= =故选 A【点评】本题考查异面直线所成角，考查余弦定理的运用，确定异面直线所成角是关键11以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A （x1 ） 2+y2=1 B （x+1） 2+y2=1 Cx 2+（y 1） 2=1 Dx 2+（y+1） 2=1【考点】抛物线的简单性质；圆的标准方程 【专题】计算题【分析】先由抛物线的标准方程求得其焦点坐标，即所求圆的圆心坐标，再由圆过原点，求得圆的半径，最后由圆的标准方程写出所求圆方程即可【解答】解；抛物线 y2=4x 的焦点坐标为（1，0） ，所求圆的圆心坐标为（1，0）所求圆过坐标原点（0，0）其半径为 10=1所求圆的标准方程为（x 1） 2+y2=1
