1、2017 届湖南省常德市第一中学高三上学期第五次（12 月）月考数学（文）试题 数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ,则 ( ) 021xA31BBAA B C D0,13, 3,012. 等于( )26cosA B C D32323213.已知复数 ，则 ( ) iz11zA B C D i22224.以下四个命题中，正确的个数是( )命题“若 是周期函数，则 是三角函数”的否命题是xfxf“若 是周期函数，则 不是三角函数”命题“存在 ， ”的否定是“对于任意
2、, ”；Rx02xRx02在 中， “ ”是“ ”成立的充要条件ABCBsiniA若函数 在（ ， ）上有零点，则一定有 .f157175ffA B C. D0235.阅读如图所示的程序框图,则输出的结果是( )A B C. D1001206.设 , 分别是双曲线 的左,右焦点.若点 在双曲线上,且 ,则 等1F292yxP021PF21PF于( )A B C. D2010557.设 是等比数列 , 是 的前 项和,对任意正整数 ,有 ,又 ,nanSan0221na1则 =( )2017SA B C. D20178.在平面直角坐标系中，函数 的图像与两坐标轴的交点都在圆 上，则圆 的方程为(
3、 )162xy CA B 91322yx9322yC. D55x9.若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为( )Pxyln2P2xyA B C. D12310.已知数列 的通项公式 ，设前 项和为 ，则使 成立的自然数 ( )naNnan1log2nnS5nnA有最大值 B有最小值 6363C. 有最大值 D有最小值 313111.在长方体 中， ，点 , 分别在棱 , 上滑动，且线段 的长恒等1CBAEF1DABEF于 ，则线段 的中点 的轨迹是 ( )2EFPA圆的一部分 B椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D抛物线的一部分12.设函数 ， 表示不超过的最大整数，如 ， 则函
4、数21xf2.13.的值域为 ( )fxfyA B C. D00,1,00,1第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的内角 , ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等比数列，且 ，则ABCBCabcabcac2cos14.设满足约束条件 ，则目标函数 的最小值是 132xyyxz215.已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线的一条o2bya0,baFcaxl2:渐近线交于点 ，且 的面积为 ，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为 AOF16.一个几何体的三视图如图所示，它的外接球的表面积为 三、解答题 （本大题共 6 小题
5、，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .ABCBCabcBaAcos3sin()求角 的大小;()若 ， ,求 ， 的值.3bAsin2ic18. （本小题满分 12 分）袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各 个，白球 个，从袋子中随机取出 个小球，取到1n1白球的概率是 .21(1)求 的值；n(2)记从袋子随机取出一个小球为白球得 分，为黑球得 分，为红球不得分，现从袋子中取出 个小球，212求总得分为 分的概率.219. （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中， , 面
6、 ,AMCP2PMAAC, , 分别为 , 的中点.ABD() 在 上确定一点 ，使得直线 /平面 ，并说明理由；EBE()在（）的条件下，连接 ,与 相交于点 ,求三棱锥 的体积.DNDN20. （本小题满分 12 分）若抛物线 的准线为 ，椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点pxyC2:111:22byaxC01C重合，且以原点为圆心，椭圆 的短半轴长为半径的圆与直线 相切.2 2x()求椭圆 的离心率；2（）若 为坐标原点，过点 的直线 与椭圆 相交于不同两点 ， ，且椭圆 上一点 满足，O0,l2CAB2CE,求实数 的取值范围.BAEt t21. （本小题满分 12 分）已知函数 ， （
7、 为自然对数的底数） ，xef（）求 的单调区间；xf（）是否存在正实数 使得 ，若存在求出 ，否则说明理由；xff1x（）若存在不等实数 ，使得 ，证明 .21,x21ff 021f请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在平面直角坐标系 中，已知曲线Ox xoy，以平面直角坐标系的原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐1:21yxCOx标系，已知直线 ，6sinco:l（）将曲线 上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的
8、 ，2 倍后得到曲线 ,试写出直线1 32C的直角坐标方程和曲线 的参数方程;l 2C()在曲线 上求一点 ,使点 到直线 的距离最大，并求出此最大值.2Pl23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 ，xaxf（1）若函数 有最大值，求 的取值范围；a（2）若 ，求不等式 的解集.32xf试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、 12：ADBCBCAD二、填空题13. 14. 15. 16.438232三、解答题17.解：（）由 ，可得 ，又 ，可得BaAbcos3sin BAcosinsin0in，所以 ,3tanB（）由 ，可得 ，在 中，ACsin2iac2A
9、BC，22 34co9Ba， ， ， ，共 6 个，记事件 为“总得分为 2 分” ，2,ca1,b2,c21, A包含的基本事件为 ， ，共 2 个，a所以 .36AP19.解：（） 为 的中点，理由如下，EC连结 ，由于 ，分别为 的中点，B,PM,所以 ,P/又 平面 , 平面 ,AABE所以 平面 ./M()由于 分别是 的边 上的中线，所以 和 的交点 为 的重心，故DE,CP, AEPDNPAC为 靠近 的三等分点，NP则 ,ADBEADBNABVV32而因为 为 的中点，所以 ,CABCEV21又由于 为 的中点，EP所以 ,3321ABCABCV所以三棱锥 的体积为 .ND92
10、0.解：（）由已知，抛物线 的焦点为1C0,故椭圆 中, ， ， ，2C1c2b2a故离心率为 ，e（）由已知，直线 的斜率显然存在，设其方程为 ，l 2xky联立椭圆方程 ，得 （*） ，12yx0822xk由 得 ，0k设 ， ， ，1,yxA2,yB0,yxE则有 ， ，2218k218k由已知 ，得 ，OBAE21210,yxyxt， ，22108ktx2210 14ktkt 将点 代入椭圆得 ，E4122ktt得到 ，216k得 ，故 为所求.426122 kt 2t21.解：（）函数 的单调递减区间为（ ） ，xfy,1（）不存在正实数 使得 成立，xxff1事实上，由（）知函数
11、在 上递增，而当 ，有 ，在 上递减，有y,1,0x,y,1，因此，若存在正实数 使得 ，必有 .10yxfxf令 ，则 ，因为 ，所以xxeefxfF11 xeF1,0，所以 为 上的增函数，所以 ，即 ，故不存在正实0x,00xff1数 使得 成立，xff1（）若存在不等实数 ，使得 ，则 和 中，必有一个在 ，另一个在 ，2,21xff12x,0,1不妨设 ， ，,01x若 ，则 ，由（）知，函数 在 上单调递减，所以2,121x xfy,1，021xf若 ，由（）知，当 ，则有 ，而 ，,21,0xxff11,0所以 ，即 ，2111 xffxf 2xff而 ，由（）知：函数 在 上单
12、调递减，所以 ，即有,2 fy, 1，由（）知：函数 在 上单调递减，所以 ：,11x xf,102xf综合得：若存在不等实数 使得 ，则总有 .21,x21ff1xf22.解：（）由题意知，直线 的直角坐标方程为： ，l 06yx曲线 的直角坐标方程为： ，2C123yx曲线 的参数方程为： （ 为参数）2sincoy（）设点 的坐标 ，则点 到直线 的距离为：P2,3Pl，560sin456sin2co3d所以当 时，点 ,此时 .160si 123P524maxd23.解：（） ，axxf 由最大值， 且 ，解得： ，最大值为 ，xf011a2f（） 时， ，即 ，a32xf 032x设 ，15xxxg 2由 解得 ，原不等式的解集为 .021
