1、湖南师大附中 2016 届高三考试卷（六）数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数 65,23ii对应的点分别为 AB、 ,若 C为线段 AB的中点，则点C对应的复数是( )A 48i B i C i D 4i2.设命题 :6pm，命题 :q函数 2()9()fxmR没有零点，则 p是 q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.点 (,3)Pa到直线 4310xy的距离等于 4，且在 230xy表示的平面区域内，则 的值为( )A3 B7 C-
2、3 D-74.如图所示的程序框图运行的结果是( )A 20145 B 6 C 20143 D 55.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为( )A 348cm B 32 C 3cm D 328c6.已知函数 ()fx是偶函数，当 0x时，1()fx，则在 (2,0)上，下列函数中与()f的单调性相同的是( )A 21yx B 1yx C xye D 31,0x7.已知 C中， 03A， ,B分别是 2,的等差中项与等比中项，则 的面积等于( )A 32 B 4 C 2或 D 2或 348.从 2010 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛，若采用下面
3、的方法选取：先用简单随机抽样从 2010 人中剔除 10 人，剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人，则在 2010 人中，每人入选的概率( )A不全相等 B均不相等 C都相等，且为 5201 D都相等，且为 1409.已知双曲线21(0,)xyab的两条渐近线均与圆 2:65Cxy相切，则该双曲线离心率等于( )A 35 B 62 C 3 D 510. (,1),(4,)ab为坐标平面内三点， O为坐标原点，若 A与 OB在 C方向上的投影相同，则 满足的关系式为 ( )A 453 B 3 C 514ab D 14ab11.已知直线 ymx与函数 21(),03(),xf的图像
4、恰好有 3 个不同的公共点，则实数 的取值范围为( )A 3,4 B (2,) C (2,5) D (3,2)12.已知方程 0xabc的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则 2的取值范围是( )A (5,) B 5, C , D (5,)第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在答题卷对应题号后的横线上13.设集合 (3) 2|1,|log(1)xABxyx，则 AB .14.已知 0,y，且 2，若 m恒成立，则实数 m的取值范围是 .15.如图，在矩形 ABCD中， 3，过点 A向 BD所在区域等可能任作一条射线AP
5、，已知事件“射线 P与线段 有公共点”发生的概率为 13，则 BC边的长为 .16.对于定义域和值域都为 0,1的函数 ()fx，设 1()ffx，*21(0(),()nnfxffxfN，若 0满足 0()n，则 0x称为)的 n阶周期点（1）若 (01)fxx，则 ()fx的 3 价周期点的值为 ;（2）若12,0,(),xf，则 ()fx的 2 阶周期点的个数是 .三、解答题 ：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分 12 分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属 25 家商业连锁店进行了考核评估将各连锁店的评估分数按 60,7,80,9,1
6、分成 4 组，其频率分布直方图如下图所示集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为 ABCD、 、 、 四个等级，等级评定标准如下表所示评估得分 60,7,80,90,1评定等级 DCBA（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求至少选一家 A等级的概率18.（本题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面是边长为 2 的正方形， PD底面 BC， PD，E为 的中点（1）求异面直线 与 E所成的角；（2）在底边 上是否存在一点 F，使 平面 ？证明你的结论19.（本题满分 12 分）20.（本题满分 12 分）
7、在平面直角坐标系中，已知 12(,0)(,)(,1)(,2)APxyMNx若实数使得 22OMNP成立（其中 O为坐标原点） （1）求 点的轨迹方程，并讨论 点的轨迹类型；（2）当 时，若过点 (0,)B的直线与（1）中 P点的轨迹交于不同的两点 ,EF（E在 ,BF之间） ，试求 OE与 F面积之比的取值范围21.（本题满分 12 分）已知函数 1()()ln,()fxaxaR（1）当 0时，求 f的极值；（2）当 时，求 ()x的单调区间；（3）方程 ()f的根的个数能否达到 3，若能请求出此时 的范围，若不能，请说明理由选做题（请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按第
8、一题计分，作答时请写清题号）22.（本题满分 10 分）在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sincos(0)Ca过点 (2,4)P的直线 2:4xtly（为参数）与曲线相交于点 ,MN两点（1）求曲线 的平面直角坐标系方程和直线的普通方程；（2）若 ,P成等比数列，求实数 a的值23.（本题满分 10 分）已知 ()21fxx （1）求不等式 ()6fx的解集；（2）设 ,mnp为正实数，且 ()mnpf，求证： 3mnp参考答案1.【解析】复数 65i对应的点为 (6,5)A，复数 23i对应的点为 (2,3)B利用中点坐标公式得线段 AB的中点 2
9、1C，故点 对应的复数为 ，选 C2.【解析】函数 ()9()fxmR没有零点，则 260m，即6m，显然， q可以推出 p，而 不能推出 q，故选 B3.【解析】由题意4314520aC，解得 3a，选 C4.【解析】 1120531266A 故选 B 5.【解析】由三视图可知多面体是底边为 6 高为 4 的等腰三角形的三棱柱，其高为 4，所以 316482Vcm，选 A6.【解析】由已知得 ()fx在 2,0)上单调函数，所以答案为 C7.【解析】由条件 3,1BC，由 031sini，得 3sin2 06C或120 093或 ， 133sinsi224ABCSB或 故选 D8.【解析】从
10、 2010 名学生中选取 50 名学生，不论采用何种抽样方法，每名学生被抽到的可能性均相同，谁被剔除或被选中都是机会均等的，所以每人入选的概率都相等，且为 5021选 C9.【解析】圆 2:650xy的圆心为 (3,0)C，半径为 2，由已知圆心 C到直线bya的距离为 2，可得 29ac，可得 5e，故选 A10.【解析】由 OA与 B在方向上的投影相同可知：458453Caba 故选 11.【解析】做出 ()fx的图像，可知 0m时，直线 yx与 ()f只有一个交点，不符题意；当 0m时， y与 12()3x总有一个交点，故 ymx与21()yx必有两上交点，即方程 2(0)x必有两不等正
11、实根，即方程 20必有212480xm，解得 (,)，选 B12.【解析】设 ()3fab，由抛物线的离心率为 1，知 ()0fabc，故 1cab，所以 2(1)()fxaxb，另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故 )g有两个分别属于 (0,)和 1,)的零点，故有 (0)g且 (1)0，即 10ab且 230ab，运用线性规划知识可求得 25,ab 故选 D13.【解析】 (3),2,|ABABx14.【解析】因为 144)()28yyxxyA，所以 28m，解得 42m15.【解析】因为 0,93BACPD，则 03BC，所以0tan3BCA因为 ，则 316.【解析】 （1） 2
12、()1)()fxfx， 3()1fxfx，令 0x，则 0x（2）当 2，即 04x时， 21()()2)4fxffx由 20()fx，得 0x；当 12，即 14x时， 21()()()fxffxx由 00()fx，得 05所以当 时， ()fx有两个 2 阶周期点同理，当 12时， 也有两个 2 阶周期点，故 ()fx共有 4 个 2 阶周期点17.【解析】 （1）最高小矩形下底边的中点值为 75，估计评估得分的众数为 75 分 （2 分）直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为 0.28，0.16，0.08，则第二个小矩形的面积为1-0.28-0.16-0.08=0.48， （4
13、 分）所以 650.287.4850.169.81.236.75.x估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4， （6 分）（2） A等级的频数为 250.8，记这两家分别为 ,ab； B等级的频数为50.164，记这四家分别为 ,cdef （8 分）从这 6 家连锁店中任选 2 家，共有(,),(),(),(,),(),(),(,),()abcdaefbcdebfcdecfdef15 种选法 （9分）其中至少选 1 家 A等级的选法有(,),(),(),(,),()abcdaefbcdebf共 9 种， （11 分）则 9315P，故至少选一家 A等级的概率为 35 （12 分）18.
14、【解析】 （1）取 B的中点 G，连结 ,ED因为 为 PB的中点，则 /EGPA，所以 D为所求的角 （2 分）由已知可得， 2,B，则 3PB所以 13EP （3 分）又 22, 5GADAG （5 分）则 22E，所以 09E，故异面直线 PA与 所成的角为 90， （6 分）（2）存在点 F为 AD的中点，使 EF平面 PBC， （7分）证明：取 PC的中点 H，连结 ,因为 ，则 P （8分）因为 D底面 AB，则 DBC因为底面 C为正方形，则 所以 平面 P，从而 H （9 分）结合知 D平面 B （10 分）因为 EF、 分别是 PA、 的中点，则 1/,/2FDBCEH，从而 /H，四边形 E为平行四边形，所以 故 F平面 BC （12 分）19.【解析】 （1）因为 na是一个等差数列， 3458a，所以34548a，即 428，设数列 n的公差为 d，则 94572，故 9d由 41，得 13a，即 1a所以 *()()8,nannN， （6 分）（2）对 *mN，若 29mna，则 298mm，因此
