1、2016 届河南省豫北重点中学高三（下）第二次联考数学（理）试题一、选择题1已知 为虚数单位， ，若 为纯虚数，则复数 的模等于iaR1i(21)zai（ ）A B C D236【答案】D【解析】试题分析：当 时， ，故 .1ai321zi【考点】复数概念及其运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形
2、式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.熟练记忆.221,12iiii2已知集合 ，集合 ，则 （ 20Ax2ln(31)xByAB）A B C D(0,1)(,1(1,),)【答案】A【解析】试题分析：集合 ，集合 ，,2A0,1,B故 0,1B【考点】1.集合交集；2.分式不等式.3已知双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上，若双曲线 的一条渐近线与直线CxC平行，则双曲线 的离心率为（ ）4xyA B C D22323【答案】D【解析】试题分析：依题意，渐近线为 .,1bcyxa【考点】双曲线离心率.4执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A
3、8 B9 C10 D11【答案】C【解析】试题分析：判断为是，循环， ，判断为是，循环，1,23sip，判断为是，循环， ，判断为否，退出循环，输4,36sip04出 .10【考点】算法与程序框图.5某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从 800 人中抽取 40人参加某种测试，为此将他们随机编号为 1，2，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 18，抽到的 40 人中，编号落在区间 的人做试卷 ，编号落在 的人做试,0A201,56卷 ，其余的人做试卷 ，则做试卷 的人数为（ ）BCA10 B12 C18 D28【答案】B【解析】试题分析： 人抽一个， 长
4、度为 ，故抽取8024561,8024人.2401【考点】系统抽样.6下列命题正确的是（ ）A命题“ ，均有 ”的否定是：“ ，使得xR230xxR”；230B “命题 为真命题”是“命题 为真命题”的充分不必要条件；pqpqC ，使 是幂函数，且函数 在 上单调递增；mR2()mfx()fx0,)D若数据 的方差为 1，则 的方差为 2.123,n 123,n【答案】C【解析】试题分析：A 否定是：“ ，使得 ”，B 是必要不充分条xR20x件，C： 是满足，D 第二组数方差为 ，公式为 .1m4aD【考点】1.常用逻辑用语；2.方差；3.函数单调性.7 九章算术 “竹九节”问题：现有一根九
5、节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积为（ ）A 升 B 升 C 升 D1 升6737【答案】A【解析】试题分析：依题意，解得 ，12341789163,324aadad1397,6ad故 .5928【考点】等差数列.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D1761735136【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，从左往右为半个圆锥，一个圆柱，一个半圆，故体积为 .26【考点】三视图.9已知函数 的图象的相邻两对称轴间的距离为 ，()sin3cos(0)fxx2则当时， 的最大值和单调区间分
6、别为（ ）,02x()fA1， B1， 6,2C ， D ，3,30【答案】D【解析】试题分析： ，相邻两对称轴间的距离为 ，所以2sinfxx2.2,T，其增区间为： ，sin3fxx223kxk，故在 上，减区间为 ，增区间为51212kxk,02x,21，故当 时， 取得最大值为 .,0f3【考点】三角函数图象与性质.10设实数 满足约束条件 ，已知 的最大值是 ，,xy1039xyzaxy23a则实数 的取a值范围是（ ）A B C D3,11,3(,1(3,)【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由已知条件可知 在点 处取得最z2,A大值，故 .,3,1,ACBaka【考
7、点】线性规划.11已知直线 和圆 相交于 两点，当2830mxy22(3)(6)5xy,AB弦 最短时，AB的值为（ ）A B-6 C6 D16 16【答案】A【解析】试题分析： 化为 ，故直线过定点2830mxy2430mxy，这个点在圆内.圆心为 ， ，故当弦 最短时，直线的4,3M,6OOMkAB斜率为 ，即 .1312,36m【考点】直线与圆的位置关系.【思路点晴】这个题目是直线与圆的位置关系的题目，首先我们来确定直线过的顶点，将直线含有 的式子合并同类项，可有 ，故直线过定点2430mxy，并且可以判断这个点是在圆内的，圆心坐标为 ，弦 最短时，4,3M ,6OAB，故我们求出 后，
8、可求得 ，由此就确定了直线的斜率.OAB3OMk13ABk12已知函数 ， （ ， 为自然对数的底数）与 的2()gxa1xe()2lnhx图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）aA B 21,e2,C D)e【答案】B【解析】试题分析：函数 与 的图象上存在关于21()gxaxe()2lnhx轴对称的点，即函数 与 的图象有交点，即x2()f()l在区间 有零点，2lnMfgxxa1,e，故函数 在区间 上单调递减，在区间 12xxMx,1e上单调递增，即 在 处取得最小值，要 与 有交点，则需1,ex.另一方面()0,1Ma，故2 22 1,(),()40eaMeee ，(
9、)0a，综上所述，实数 的取值范围是 .2ae 21,e【考点】函数导数与不等式.【思路点晴】两个函数图象存在关于 轴的对称点，也就相当于把其中一个函数先关x于 对称，对称得到的图象和另一个函数的图象有交点，本题中函数x转换为函数 ，要使 与21()gaxe21()faxefx有交点，也就是 有零点，转化为 的最小值不大于gxMxfgxMx零，最大值不小于零来解决.二、填空题13二项式 展开式中含 项的系数是_.61(2)x2x【答案】 9【解析】试题分析：通项为 ，所以611632216rrrr rrTCxCx，系数为 .1r15629【考点】二项式展开式.14已知平面向量 ，满足 ，则 的
10、最大值为,abc 1babc_.M【答案】 31【解析】试题分析：由于 ，根据向量运算的几何意义，知1ab围成边长为 的等边三角形.如下图所示，由 可知 的终点,ab 1abc位于以 为圆心，半径为 的圆上， ，故其最大值 .D1cCE 3MODa+ba-bbaC BDAE【考点】向量运算.15已知 是周期为 2 的奇函数，当 时， ，则(1)fx10x()2(1)fx的值为3)2f_.【答案】 1【解析】试题分析： .3111()222fffff【考点】函数的周期性与奇偶性.【思路点晴】本题的主要思路就是将要求的 中的 转换到区间 内，因3()2f1,0为已知条件是当 时， .由于 是周期为
11、 的周期函10x()1fx()fx2数，故 也是周期为 的周期函数，所以就有 ，这f2312fff样就变成了 的形式，在根据 是奇函数，有(1)fx(1)fx即可就得结果.2ff16等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，且满足 ，nanSnb13,ab，210bS，数列 的前 项和 ，若 对一切正整数 都成立，则523anbnTMn的最小值为_.M【答案】 10【解析】试题分析：设 公差为 ， 公比为 ，由 ，有nadnbq210bS，再由 ，有12,310,4bqaq53a，所以 ， ，用错位相减法求 ：34,dd2dq1nbnT， ，两22157nnnT 231572n nnT式相减
12、得 121 21 2331322 nnnnnn nT ，故 .2 11153,022nn nnTTM 10【考点】1.等差、等比数列的概念；2 错位相减法.【思路点晴】题目中包含了等差数列和等比数列，我们第一步采用的是基本元的思想，将已知条件全部化为 ，联立方程组，解出 ，即有1,adbq1,adbq.第二部就是处理 的前 项和，这是一个等差数列乘3,2nnab12nn以一个等比数列，我们采用的是错位相减法，求出前 项和 后，使nT，也就可以求得 的最小值为 .1250nnTM10三、解答题17在 中，角 的对边分别是 ，且 .ABC,abc3os(23)cosaCbA（1）求角 的大小；（2
13、）求 的取值范围.25cos()sin【答案】 （1） ；（2） .6A3(,1【解析】试题分析：（1）由正弦定理可得，化简得 ，3sincosinco3sincoCBCA3cos2；（2）化简 得 ， ，6A25()i23in()16B5(0,)6，从而 .(,)3Bsin(1,6B试题解析：（1）由正弦定理可得， ,sico2sico3sincoACAC从而可得 ， ，3sin()2nB3nB又 为三角形的内角，所以 ，于是 ，又 为三角形内角，因此，Bsi0cos2.6A（2） ，25 5cos()sinicos1incos()16CBB53inii3in()6626B B 由 可知，
14、，所以 ，从而 ,A(0,)(,)61si2因此， ，33sin1,162故 的取值范围为 .25co()i2CB2(,3【考点】解三角形.18某市于今年 1 月 1 日起实施小汽车限购政策，根据规定，每年发放 10 万个小汽车购买名额，其中电动小汽车占 20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半，政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示.摇号申请意向年龄 电动小汽车（人数） 非电动小汽车（人数）竞价（人数） 合计30 岁以下（含 30岁） 50 100 50 20030 至 50 岁（含 50岁） 50 150 300 50050 岁以上
15、100 150 50 300合计 200 400 400 1000（1）采取分层抽样的方式从 30 至 50 岁的人中抽取 10 人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的 10 个人中随机抽取 4 人，求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取 4 人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 ，求X的分布列和数学期望.【答案】 （1）分别为 ；（2） ；（3）分布列见解析， .,36745【解析】试题分析：（1）每个人被抽到的概率为 ，故电动小汽车，摇10p号的有 ，非电动小汽车，摇号的有 ，竞价的有 ；50531065（2）选出的 个人中随机抽取
16、人总共有 ，其中恰有 人有竞价申请意向44102C2的有 ，所以其中恰有 人有竞价申请意向的概率为 ；2469C293107p（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取 人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为 ，服从二项分布 ，由此求得其分布列和期望.015p1(4,)5B试题解析：（1）采取分层抽样的方法从 30 到 50 岁的人中抽到 10 人，从 30 至 50 岁的有 500 人，每个人被抽到的概率为 .105p根据题意得出：电动小汽车，摇号的有 ，1非电动小汽车，摇号的有 ，竞价的有 .03065（2）设电动小汽车摇号的为 ，非电动小汽车，摇号的为 ，竞价的为1a123,b，1345
17、6,cc选出的 10 个人中随机抽取 4 人总共有 ，其中恰有 2 人有竞价申请意向的4102C有 ，24690C其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率为 .290317p（3）根据题意得出：样本总人数 1000 人，电动小汽车摇号的有 200 人，非电动小汽车摇号的有 400 人，竞价的有 400 人，总共有 1000 人.用样本估计总体，在全体市民中任意选取 4 人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为 ，服从二项分布 ，摇号申请电动小汽车意向的人数记为2015p(,)5B.(,34)X ；0426()PC；1345()；229()6X；341()55PC，0()2 的分布列为X0 1 2 3 4P25659612516或() 34E()5EXnp【考点】1.分层抽样；2.二项分布.19如图所示，在四棱柱 中，底面 是梯形， ，1ABCDABCD/BC侧面 为菱形， .1AB（1）求证： ；1ABD（2）若 ， ，点 在平面 上的射影恰为线段2C016ABD1AB的中点，求平面1与平面 所成锐二面角的余弦值.DC1
