1、2018 届河南省豫南豫北高三第二次联考联评试卷理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 1|,2|xyByAx ，则 BA（ ）A 1|y B | C 0|y D 0|y2.若原命题为：“若 21,z为共轭复数，则 |21z”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）A真真真 B真真假 C假假真 D假假假3.设 )(xf为定义在 R上的奇函数，当 0x时， )1(log)(3xf，则 )2(f（ ）A 1 B 3 C 1 D4.若 )0,(cF是椭圆 2by
2、a的右焦点， F与椭圆上点的距离的最大值为 M，最小值为 m，则椭圆上与 点的距离等于 mM的点的坐标是（ ）A ),(2abc B ),(2ac C. ),0(b D不存在5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A 24 B 324 C. 24 D 246.线段的黄金分割点定义：若点 C在线段 AB上，且满足 ABC2，则称点 为线段 AB的黄金分割点，在 中， 6,A，若角 的平分线交边 于点 ，则点 D为边 C的黄金分割点，利用上述结论，可以求出 3cos（ ）A 415 B 415 C. 215 D 2157.函数 ,0)2(|log|)( axfxa.若该函数的两个零
3、点为 1,x，则（ ）A 12x B 12x C. 12x D无法判定8.等差数列 na中， 30604a，则 48a的值为（ ）A 0 B C. D 09.已知矩形 ,CAD.将矩形 AB沿对角线 C折成大小为 的二面角 DACB，则折叠后形成的四面体 的外接球的表面积是（ ）A 9 B 16 C. 25 D与 的大小无关10.已知圆 4:2yxO，点 )0,1(,BA，若过 A,两点的动抛物线的准线始终与圆 42yx相切，则该抛物线的焦点的轨迹是（ ）的一部分.A直线 B椭圆 C.双曲线 D抛物线11.数列 na满足 )(1,56*1Nnan，若对 *n，都有 naak112 成立，则最小
4、的整数 k是（ ）A 3 B 4 C. D 612.若关于 x的方程 021)(lnxa有唯一的实数解，则正数 a（ ）A 21 B 3 C. 4 D 91第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 )2,1(),6(ba，若 a与b的夹角为钝角，则 的取值范围是14.设变量 yx、 满足约束条件： 20xy，则 |3|yx的取值范围是15.已知直线 1与双曲线 )0,(12ba交于 BA,两点，且线段 AB的中点 M的横坐标为 1，则该双曲线的离心率为16.已知非常数数列 na满足 nnnn SNa),(0)(4)( *122 为数列 na的
5、前 项和.若 2,0512S，则 017S三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 ABC中，角 、 所对的边分别为 cba、 ，且 135osB.（1）若 54sinA，求 Ccos；（2）若 b，求最小值B.18. 如图：四棱锥 PAD,平面 .底面 ABCD为直角梯形， ,/ADBC,CABPEC.为 边上一点，且 E.（1）求证： DEP；（2）求二面角 B的余弦值.19. 某人在如图所示的直角边长为 4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的
6、年收获量 Y（单位： kg）与它“相似”作物株数 X之间的关系如下表所示： 1234Y548452这里，两株作物“相似”是指它们之间的直线距离不超过 1米.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相似”的概率；（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布与数学期望.20. 已知：如图，两同心圆： 12yx和 42yx.P为大圆上一动点，连结 OP（ 为坐标原点）交小圆于点 M，过点 P作 轴垂线 H（垂足为 ） ，再过点 M作直线 H的垂线 Q，垂足为 .（1）当点 P在大圆上运动时，求垂足 Q的轨迹方程；（2）过点 )0,31(的直线 l交垂足 的轨迹于 B
7、A、 两点，若以 A为直径的圆与 x轴相切，求直线l的方程.21. 已知函数 ),()(Rbaxef.（1）若 x在 R上是单调递增函数，求 的取值范围；（2）若当 )0,1(a时，函数 )(xf的最大值为 2，求证： 0b.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy中，曲线 1C的参数方程为 tyx21（ 为参数） ，以原点为极点，以 x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 )4sin(.（1）求曲线 1的普通方程与曲线 2的直角坐标方程；（2） P为曲线 C上任一点，过点 P作曲线 2C
8、的切线 PT（ 为切点） ，求 |PT的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲定义在 A上的函数 Axf21,)(，若 21x，有 )(21xff，则称函数 )(xf为定义在 A上的非严格单增函数；若 ，有 )(ff，则称函数 为定义在 A上的非严格单减函数.已知：|)(xaxg.（1）若函数 )(为定义在 R上的非严格单增函数，求实数 a的取值范围.（2）若函数 x为定义在 上的非严格单减函数，试解不等式 2)(xg.试卷答案一、选择题1-5:BCACA 6-10:BCDCB 11、12：CA二、填空题13. 12且 3 14. 8,0 15. 3 16. 2017三、解答题17.解：（1）
9、在 ABC中，由 135cos得， 12sinB，,sin32si，故 53co),0(AA，6sics)co(.（2）由余弦定理 Bab22得， 1302ac，13,2aca， 513cos)os( cBBCA故 的最小值为 5.18.证明：（1） PA平面 DEPAC,又 BECDB,E和 为等腰三角形， 90,/A，即 而 P平面 PEDE.（2）建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 1CD，则 )0,342(),0(),2(),0(),( EPBA ),(),34,(),2( BEPD不妨设平面 的一个法向量为 1n，平面 PE的一个法向量为2n，则 021PEn，可求得： )2,(1同
10、理可得： )2,1(2n所以， 17238472,cos1n由图可知，二面角 BPED的平面角为钝角，故其余弦值为 1738.19.解析：（1）由图知，三角形边界共有 12个格点，内部共有 3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有 1,20,0对格点，共 8对格点恰好“相似”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相似”的概率 9231P.（2）三角形共有 15个格点，与周围格点的距离不超过 米的格点数都是 个的格点有 个，坐标分别)4,0(，所以， 152)(YP与周围格点的距离不超过 米的格点数都是 个的格点有 4个，坐标分别为 )1,3(2),(0,，所
11、以15)8(YP与周围格点的距离不超过 米的格点数都是 3个的格点有 6个，坐标分别为 ),(,)1(0),()3,0(.所以 6)4(与周围格点的距离不超过 1米的格点数都是 4个的格点有 个，坐标分别为 ),2(),(.所以5)2(YP如下表所示： X1234Y548452频数 2 63概率 P115115461590152790215346514852)( YE .20.解 ：（1）设垂足 ),(yxQ，则 ),(yxP因为 P在 42yx上，所以 42，所以 2yx故垂足 的轨迹方程为： 12yx方法二：设垂足 aPOHQ),(则 ayxsinco2故垂足 的轨迹方程为： 142yx（
12、2）不妨设直线 l的方程为 ),(),(3021yxBAm，则有：|1)()(| 12221 yyxAB，又因为圆与 轴相切，故： | 122即 2121212 4)()( yyym（*）联立直线方程和曲线方程： 14302yxm得： 09431)4(2myy故， )(9,)(3104221 y代入（*）式中得： 222 51099164mm，解之得： 1故所求的直线 l的方程为： 3yx21.解：（1） xeaf)(，设 xaexg1)(，由题意知： 0)(xg在 R上恒成立，即 xea1恒成立.设 xxee2,1，因此 )(在 )2,上是单调增加的，在 ),2(上是单调减少的，2ma)()
13、(，故 21.（2） xxx aegaegeaf 1)(,)(,1 ，因为 0)(,1(xg，故函数)(xg在 R上是单调递减.又 0)1(,0aeg，故必 )1,0(x，使得 0)(xg，即 10xae（*） ，因为 0xe，所以 0x.当 ),(时， )(x，则 )(xf；当 0x时， 0g，则 0.因此，函数 )(f的增区间为 ),(x，减区间为 ),(0x.00max 002)( aebaexf x0ebx，由（*）式得， 1020因为 ),1(a，故 b.法二：（2） xxx aegaegeaf 1)(,1)(, ，因为 0)(,1(xg，故函数)(xg在 R上是单调递减.又 0)1
14、(,0aeg，故必 )1,0(x，使得 0)(xg，即 10xae（*） ，因为 0xe，所以 0x.当 ),(时， )(x，则 )(xf；当 0x时， 0g，则 0.因此，函数 )(f的增区间为 ),(x，减区间为 ),(0x.00max 002)( aebaexf x由 10xae得： )0,1(0xea，即 0xe且 10xe，因为 0xe，所以 10xe，解得： 0，又 00002)1(xxxxb，令 2)(,1,)(2 xx eheh，所以 )(hb，即 b成立.22.解：（1） 2)1(;02yy；（2）由（1）知，曲线 2C为圆心 ,M，半径为 的圆，故22 |)(| PPPT，当且仅当 |MP取得最小值时， |PT取得最小值，|minM，所以， 6|minT.23.解：（1）当 2a时， axxaxg,2,|)(；当 时， ,2,|)( xaxx ；当 2a时， 0)(g.因为 x为定义在 R上的非严格单增函数，根据定义，可得： 2a.（2）函数 )(为定义在 上的非严格单减函数，由（1）知 ，且 2,)(axg.所以，当 4a时，不等式 2)(xg的解集为：；当 时，不等式 )(的解集为： |a.
