1、2015-2016 学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1 “a4”是“ a216” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2已知点（2，1）在双曲线 C： =1（ab0）的渐近线上，则 C 的离心率为（ ）A B2 C D3若“ x ， ，cosx m”是真命题，则实数 m 的最小值为（ ）A B C D4在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 D，E 分别为 AB，AC 的中点，则 =（ ）A B C D05已知三棱柱 AB
2、CA1B1C1 的底面是锐角三角形，则存在过点 A 的平面（ ）A与直线 BC 和直线 A1B1 都平行B与直线 BC 和直线 A1B1 都垂直C与直线 BC 平行且直线 A1B1 垂直D与直线 BC 和直线 A1B1 所成角相等6设函数 f（x）=sinxcos2x ，则下列结论中错误的为（ ）A点（，0）是函数 y=f（x）图象的一个对称中心B直线 x= 是函数 y=f（x）图象的一条对称轴C 是函数 y=f（x）的周期D函数 y=f（x）的最大值为 17已知正实数 a，b 满足 a2b+40，则 u= （ ）A有最大值为 B有最小值为C没有最小值 D有最大值为 38如图，在三棱锥 PAB
3、C 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点 M 在平面 PBC 内，且 AM=7，设异面直线 AM 与 BC 所成角为 ，则 cos 的最大值为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分.、共 36 分.9已知全集为 R，集合 A=x|x22x0，B=x|1x3，则 RB= ，AB= 10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 6 的正方形，俯视图是腰长为 5，底边长为 6 的等腰三角形，则该几何体的体积是 ，表面积是 11设等差数列a n的前 n 项和 Sn=n2+bn+c（b，c 为常数，nN *） ，若 a2+a3
4、=4，则 c= ，b= 12已知函数 f（x）= ，则 f（f（2） ）= ，不等式 f（x3）f（2）的解集为 13已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，非零向量 =x +y ，x，yR ，若x+2y=2，则| |的最小值为 14平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=5 与抛物线 C：x 2=2py（p0）交于点 A，B，若OAB 的垂心为 C 的焦点，则 p 的值为 15若函数 f（x）=（2x 2ax6a2）ln （x a）的值域是0，+） ，则实数 a= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数 f（x）=2 sinxcosx+2
5、cos2x1，在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 f（B）=1（）求 B；（）若 =3，求 b 的取值范围17如图，在菱形 ABCD 中，BAD=60，平面 BDEF平面 ABCD，四边形 BDEF 是正方形，点 M 在线段 EF 上， = （）当 = ，求证：BM 平面 ACE；（）如二面角 ABMC 的平面角的余弦值为 ，求实数 的值18已知 a0，bR，函数 f（x）=4ax 22bxa+b 的定义域为0，1（1）当 a=1 时，函数 f（x）在定义域内有两个不同的零点，求 b 的取值范围；（2）设 f（x）的最大值和最小值分别为 M 和 m，求证：M+m019如
6、图，椭圆 C： + =1（ab0）的左焦点为 F1（ 1，0） ，离心率是 e，点（1，e）在椭圆上（）求椭圆 C 的方程；（）设点 M（2，0） ，过点 F1 的直线交 C 于 A，B 两点，直线 MA，MB 与直线 x=2 分别交于 P，Q 两点，求 MPQ 面积的最大值20已知数列a n，a 1=a（aR ） ，a n+1= （n N*） （1）若数列a n从第二项起每一项都大于 1，求实数 a 的取值范围；（2）若 a=3，记 Sn 是数列a n的前 n 项和，证明：S nn+ 2015-2016 学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8
7、 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1 “a4”是“ a216” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 a216 得 a4 或 a4，则“a4”是“ a216” 的充分不必要条件，故选：A2已知点（2，1）在双曲线 C： =1（ab0）的渐近线上，则 C 的离心率为（ ）A B2 C D【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得 a=2b，运用双曲线的离心率公式计算即可得
8、到所求值【解答】解：双曲线 C： =1（ab0）的渐近线方程为 y= x，由题意可得 =1，即 a=2b，c= = a，可得 e= = 故选：D3若“ x ， ，cosx m”是真命题，则实数 m 的最小值为（ ）A B C D【考点】全称命题【分析】由 x 的范围求出 cosx 的范围，然后结合“ x ， ，cosxm” 是真命题求得 m 的最小值【解答】解：当 x ， 时，cosx ， ，又“x ， ，cosxm”是真命题，m ，即实数 m 的最小值为 故选：C4在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 D，E 分别为 AB，AC 的中点，则 =（ ）A B C D0【考点】平面向量数量积
9、的运算【分析】由题意画出图形，把 ， 用基底 表示，代入 ，展开得答案【解答】解：如图， =（ ） （ ）=（ ）（ ）= = 故选：B5已知三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是锐角三角形，则存在过点 A 的平面（ ）A与直线 BC 和直线 A1B1 都平行B与直线 BC 和直线 A1B1 都垂直C与直线 BC 平行且直线 A1B1 垂直D与直线 BC 和直线 A1B1 所成角相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于 A，过点 A 与直线 A1B1 平行的平面经过 B，与直线 BC 相交，不正确；对于 B，过点 A 与直线 BC
10、 垂直的平面存在，则 CBAB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于 C，过点 A 与直线 BC 平行且直线 A1B1 垂直，则 CBAB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于 D，存在过点 A 与 BC 中点的平面，与直线 BC 和直线 AB 所成角相等，与直线 BC和直线 A1B1 所成角相等，正确故选：D6设函数 f（x）=sinxcos2x ，则下列结论中错误的为（ ）A点（，0）是函数 y=f（x）图象的一个对称中心B直线 x= 是函数 y=f（x）图象的一条对称轴C 是函数 y=f（x）的周期D函数 y=f（x）的最大值为 1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】对
11、于 A 选项，用中心对称的充要条件，直接验证 f（2 x）+f（x）=0 是否成立即可判断其正误；对于 B 选项，用轴对称的条件直接验证 f（x）=f（x）成立与否即可判断其正误；对于 C 选项，用周期函数的定义直接验证 f（x+）=f（x）成立与否即可判断其正误；对于 D 选项，利用三角函数的性质即可直接判断【解答】解：A、f（2x）+f （x）=sin（2 x）cos2 （2 x）+sinxcos2x=sinxcos2x+sinxcos2x=0，点（，0）是函数 y=f（x）图象的一个对称中心，故 A 正确；B、f（ x）=sin （x）cos2（x）=sinxcos2x=f（x） ， f
12、 （x）关于直线 x= 对称，故B 正确；C、f（x+）=sin （+x）cos2（+x）=sinxcos2x=f（x） ， 不是函数 y=f（x）的周期，故 C 错误；D、sinx1 ，1，cos2x 1，1，可得 f（x）=sinxcos2x 的最大值为 1，故 D 正确故选：C7已知正实数 a，b 满足 a2b+40，则 u= （ ）A有最大值为 B有最小值为C没有最小值 D有最大值为 3【考点】基本不等式【分析】a 2b+40，可得 ba 2+4，a，b0可得 ，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a 2b+40，ba 2+4，a，b0a+ba 2+a+4， ， ，u= =3 3
13、 =3 3 = ，当且仅当 a=2，b=8 时取等号故选：B8如图，在三棱锥 PABC 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点 M 在平面 PBC 内，且 AM=7，设异面直线 AM 与 BC 所成角为 ，则 cos 的最大值为（ ）A B C D【考点】异面直线及其所成的角【分析】取 BC 中点 N，连结 AN，PN，则可证PAN 是等边三角形，过 A 作平面 PBC的垂线 AO，则 O 为 PN 的中点，求出 AO 的长，利用勾股定理可得出 OM 的长，即 M 的轨迹以 O 为坐标原点建立空间坐标系，设 M 的坐标（x，y，0） ，求出 的坐标，利用向量求出夹角，根据
14、x，y 的范围得出 cos 的最值【解答】解：取 BC 中点 N，连结AN，PN，AB=AC=PB=PC=10，BC=12 ，AN=PN=8，PA=8，PAN 是等边三角形，ANP=60ANBC，PNBC ， ANP 为二面角 ABCP 的平面角过 A 作 AO平面 PBC，连结 OM，则 O 为 PN 的中点， ON= PN=4，AO=4 OM= =1M 的轨迹是以 O 为圆心，以 1 为半径的圆以平面 PBC 内过 O 点平行于 BC 的直线为 x 轴，以 PN 为 y 轴，以 OA 为 z 轴建立空间直角坐标系如图则 A（0，0，4 ） ，B（ 6，4，0） ，C （6，4，0） ，设
15、M（x，y，0） ，则 x2+y2=1=（x，y， 4 ） ， =（12，0，0） | |=7，| |=12， =12xcos= = = 当 x=1 时，cos 取得最大值 故选 A二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分.、共 36 分.9已知全集为 R，集合 A=x|x22x0，B=x|1x3，则 RB= （，13，+） ，AB= （2， 3） 【考点】交集及其运算；补集及其运算【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，由 B 及全集 R，求出 B 的补集，找出 A 与 B的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得： x（x2）0，解得：x0 或 x2，即
16、 A=（，0）（2，+） ，全集为 R，B=（1，3） ， RB=（ ， 13，+） ，则 AB=（2，3） ，故答案为：（，13，+） ；（2，3）10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 6 的正方形，俯视图是腰长为 5，底边长为 6 的等腰三角形，则该几何体的体积是 72 ，表面积是 120 【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为 6，底面正三角形的高为 4，利用表面积公式和体积公式得到结果【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为 6，底面正三角形的高为 4，可求得底面面积为： =12V=S h=612=72S 表面 =2S 底 +S 侧面 =212+6（6+5+5）=12011设等差数列a n的前 n 项和 Sn=n2+bn+c（b，c 为常数，nN *） ，若 a2+a3=4，则 c= 0 ，b= 2 【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列的前 n 项和是不含常数项的一次或二次函数，可得 c=0，再由a2+a3=S3S1 列式求得 b 值【解答】解：数列a n是等差数列，且前 n 项和 Sn=n2+bn+c，c=0，则 Sn=n2+bn，
