1、 2016 届江苏省扬州中学高三上学期 1 月质量监测 数学 2016.1.3一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1已知集合 2,31,2,ABaAB若 则2. 若复数 满足 （其中 i 为虚单位） ，则 z)(i z3一组数据 8,12，x，11，9 的平均数是 10，则这样数据的方差是 4从 内任意取两个实数，这两个数的平方和小于 1 的1,概率为 5.如图是一个算法的流程图，则最后输出的 S 6.在等比数列 中， ， ，na37846a则 287.用半径为 cm，面积为 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接1010部分忽略不计） ， 则该容器盛满水时的
2、体积是 cm3 8设 为互不重合的平面， 是互不重合的直线，给出下列四个命题：,mn /,/mn若 则 /若 ， ， 则 /,/n若 ， 则若 ； ,m则其中正确命题的序号为 9在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的焦点到一条渐近线xOy210,xyab的距离为 4，若渐近线恰好是曲线 在原点处的切线，则双曲线的标准32方程为 10.已知 是定义在 R 上的函数，满足 ，当fx0,1fxffxf时， ，则 的值为 0,1()31x13(log2)fAPBCDEF11.在等腰梯形 ABCD中, /, 3AB, 2C, 45AB,则 CBD的值为 12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 轴上， 的
3、三个顶点都在抛物线上，并且x的重心是抛物线的焦点， 边所在的直线方程为 ，则抛物线的方 420xy程为 13. 设函数 ，若函数 恰好有两个不同的零点，则实数 的2()fxa()yfxa取值范围为 14. 已知 为 的三个内角 , 向量 , .如CBA, )2sin3,2(cosBA2|果当 最大时,存在动点 , 使得 成等差数列 , 则 的最大值是M|,|MBA|C 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知向量 ，函数 ,sin2,cos,3,cosmxnxR1)(nmxf（1）求函数 的最小正周期；f（2）在 中，
4、a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 的ABC ,fAbBC面积为 ，求 边的长度.316 （本小题满分 14 分） 如图,在三棱锥 PABC中, 平面 PAB， ,点 , E分别为 B,BC的中点.(1)求证: 平面 平面 ;D(2)若 F在线段 上,且 /平面 EF,求 C的值.17(本小题满分 14 分) 如图所示的一个不规则形铁片，其缺口边界是口宽 4 分米，深 2 分米（顶点至两端点所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形,AB（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值18 （本
5、小题满分 16 分）如图，已知椭圆 的离心率为 ，点 分别是椭圆的左、21(0)xyab212,F右焦点， 为椭圆上一动点（异于左右顶点） ， 面积的最大值为 1P12P(1)求椭圆的方程;(2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆相切，证明：满足条件的所有矩形的顶点都在一个定圆上，并写出该定圆的方程19(本小题满分 16 分)已知函数 （ 为常数） ，其图象是曲线 325(fxaxb, C图6F2F1oy x（1）当 时，求函数 的单调递减区间；2a()fx（2）设函数 的导函数为 ，若存在唯一的实数 ，使得 与()fx 0x0()fx同时成立，求实数 的取值范围；0f b（3）已知
6、点 为曲线 上的动点，在点 处作曲线 的切线 与曲线 交于另一点 ，ACAC1lCB在点 处作曲线 的切线 ，设切线 的斜率分别为 问：是否存在常数B2l12,l 2,k，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由21k20 （本小题满分 16 分）已知数列 满足 ， ， ， 是数列na1x23a2*113(,)nnSnN nS的前 项和n(1)若数列 为等差数列n（）求数列的通项公式 ；na（）设数列 满足 ，nb2*11,2Nnkbbk求证：当 时都有 .kn(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围*N1ax高三数学附加题 2016.1(满分 40 分，考试时间 30 分
7、钟)21. (选修 42：矩阵与变换)已知矩阵 M 满足：M i ii，其中 i(i1，2) 是互不相等的实常数， ai(i1，2)是0 ab 0非零的平面列向量， 11， 2 ，求矩阵 M1122(选修 44：坐标系与参数方程 )在极坐标系中，设直线 与曲线 210 cos40 相交于 A、B 两点，求线段 AB 中3点的极坐标23. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相12 23互独立（1）分别求甲队以 30，31，32 获胜的概率；（2）若比赛结果为 30 或 31，则胜
8、利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为32，则胜利方得 2 分、对方得 1 分求甲队得分 X 的分布列及数学期望24已知整数 n3，集合 M1 ，2，3，n的所有含有 3 个元素的子集记为A1，A 2，A 3， ， ，设 A1，A 2，A 3， 中所有元素之和为 Sn3Cn 3Cn（1） 求 S3，S 4，S 5，并求出 Sn；（2）求和：S 3S 4S 5S n （注：可用组合数表示）扬州中学高三数学试卷答案 2016.1.31 2. 3 4 5.36,23i126. 9 7. 8 9 10. 310cm2146xy311. 3 12. 13. 14. 26yx51(,)2215又 平
9、面ADC平面 平面 PB17解：（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为 轴，建立平面直角坐标系，则y，(2,)(,AB从而边界曲线的方程为 ， 21yx,因为抛物线在点 处的切线斜率 ，B2xky所以，切线方程为 ，与 轴的交点为 (1,0)此时梯形的面积 平方分米，即为所求 6 分1(24)6S（2）设梯形腰所在直线与抛物线切于 时面积最小 20(,)Px此时，切线方程为 ，20)yx其与直线 相交于 ，与 轴相交于 04(,x01(,)2x此时，梯形的面积 ， 11 分20014)xS,（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）=0，得 ，204Sx0当 时， 单调递减；,()Sf
10、x当 时， 单调递增，0 0故，当 时，面积有最小值为 14 分 2x4218. 解：（1）椭圆 的方程为 5 分C1yx(2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 的外切矩形,2(i) 若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点满足 . 6 分23xy(ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为,则由 消去 y 得 ,(0)ykxm21xykm， 22()40km于是 ,化简得 .22164()021所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 ,即 , ykx21ykx则另一组对边所在直线的方程为 ,2kyx于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ,2 2()()
11、()()即 ,即 . 222(1)31)kxy3综上得，满足条件的所有矩形的顶点在定圆 上. 16 分 2xy注：仅写成结果 而没有过错的给 1 分。219(1)当 时， . a2()5()fx令 f (x)0，解得 ，所以 f(x)的单调减区间为 4 分31(2,)3(2) ，由题意知 消去 ，2()35fxa203005xabxa得 有唯一解6 分3200xb令 ，则 ，5()g2()51()31gxx所以 在区间 ， 上是增函数，在 上是减函数，x1(,2,3,2又 ， ，1()287)54故实数 的取值范围是 9 分b1(,)(,)8(3)设 ，则点 处切线方程为 ，0(,)AxfA0
12、0()(yfxfx与曲线 ： 联立方程组，得 ，C(yfx 0)即 ，2005()所以 点的横坐标 B0(2)B由题意知， ， ，10)35kfxxa 2200055()14kfxxa若存在常数 ，使得 ，则 ，21k0(3)4a即存在常数 ，使得 ，2(4)(1)x所以 解得 ， 40,25(1).a5a故 时，存在常数 ，使 ；421k时，不存在常数 ，使 16 分251a20(1)（）因为 ，所以 ，2*113(,)nnSnN 3214S即 ，又 ，所以 ，324,ax3149ax又因为数列 成等差数列，所以 ，即 ，解得 ，n 269x1所以 ；4 分*1nad（） ，221nnnkb
13、bbk 是单调递增数列，故要证当 时， ，只需证 . n 11kb当 时 ， ，显然成立； 1k12当 时， ， ，0nb21nnbk ， . nnkb11 1n累加得 ，即 .1kb112kkb1kb综上，当 时有 . 9 分nn（2）由 知 ，2*113(,)SnN 2*213()nnSn N两式作差，得 ，10 分*163(,)na所以 ,作差得 ，11 分*32n *36,na所以，当 时， ；1nx当 时， ；k32 24kaxkx当 时， ；614998na当 时， ；14 分31n314 667k n因为对任意 ， 恒成立，所以 且 ，*Nn12a31312kkka所以 ，解得， ，698653xkxk376x故实数 的取值范围为 16 分x17,高三数学附加题参考答案 2016.121. 解：由题意， 1， 2 是方程 f() 2ab0 的两根| a b |因为 11，所以 ab1. (2 分)因为 M2 2 2，所以 2 ，从而 (5 分)0 ab 011 11 a 2，b 2.)所以 ab 1.2因为 1 2，所以 21.从而 ab1.(8 分)故矩阵 M .(10 分)0 1 1 022. 解：(解法 1)将直线 化为普通方程，得 y x， 3 3将曲线 210cos40 化为普通方程，得 x2y 210x40，(4 分)
