1、2015-2016 学年江西省南昌市高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1已知 A=x|2x4，B=x|x3 ，则 AB=( )Ax|2x 4 Bx|x 3 Cx|3x4 Dx|2x3【考点】交集及其运算 【专题】计算题【分析】直接利用交集的概念求解【解答】解：由 A=x|2x4，B=x|x3 ，则 AB=x|2x4 x|x3=x|3x4 故选 C【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题2下列函数中，在（0，+）上单调递减，并且是偶函数的是( )Ay=x 2 By= x3 Cy
2、= lg|x| Dy=2 x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定【解答】解：四个函数中，A ，C 是偶函数，B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，又 A，y=x 2 在（ 0，+ ）内单调递增，故选：C【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题3已知a n为等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a3=6，S 3=12，则公差 d 等于( )A1 B C2 D3【考点】等差数列的前 n 项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等差数列的首项和公差，由 a3=6，S 3=12，联立可求公差 d【解答】解：设等差
3、数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 a3=6，S 3=12，得：解得：a 1=2，d=2故选 C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，是基础的会考题型4设 i 为虚数单位，则复数 =( )A1+2i B1 2i C 12i D1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题【分析】直接利用复数的除法运算求解【解答】解：复数 = 故选 A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题5在样本颇率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它 8 个长方形的面积和的 ，且样本容量为 140，则中间
4、一组的频数为( )A28 B40 C56 D60【考点】频率分布直方图 【专题】概率与统计【分析】设中间一组的频数为 x，利用中间一个小长方形的面积等于它 8 个长方形的面积和的 ，建立方程，即可求 x【解答】解：设中间一组的频数为 x，因为中间一个小长方形的面积等于它 8 个长方形的面积和的 ，所以其他 8 组的频数和为 ，由 x+ =140，解得 x=40故选 B【点评】本题主要考查频率直方图的应用，比较基础6在ABC 中，sinA= ， ，则ABC 的面积为( )A3 B4 C6 D【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】由题意结合数量积的运算可得 ，而ABC 的面积
5、S= ，代入数据计算可得【解答】解：由题意可得 ，又 sinA= ，故可得 cosA= ，故 =10故ABC 的面积 S= = =3故选 A【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式，属中档题7设 a，b 是平面 内两条不同的直线，l 是平面 外的一条直线，则 “la，lb”是“ l”的( )A充要条件 B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】常规题型【分析】由题意 a，b 是平面 内两条不同的直线，l 是平面 外的一条直线，若 ab，l 与 a垂直，且斜交，推不出 l 一定垂直平面 ，利用此对命题
6、进行判断；【解答】解：a、b 是平面 内两条不同的直线，l 是平面 外的一条直线， “la，l b”，若 ab，l 可以与平面 斜交，推不出 l，若“l， a，b 是平面 内两条不同的直线，l 是平面 外的一条直线，la，l b，“la，lb” 是“ l”的必要而不充分的条件，故选 C【点评】此题以平面立体几何为载体，考查了线线垂直和线面垂直的判定定了，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题8 的展开式中的常数项为( )A12 B12 C6 D6【考点】二项式系数的性质 【专题】计算题【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项【解答】解：
7、展开式中的通项公式为 Tr+1= x62r（2） rxr=（2） r x63r，令 63r=0，求得 r=2，故展开式中的常数项为 43=12，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A112 B80 C72 D64【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题【分析】根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案【解答】解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组
8、成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为 4，四棱锥高 3则 V 正方体 =444=64=16故 V=64+16=80故选 B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键10已知抛物线 y2=2px（p0）与双曲线 =1（a0，b0）有相同的焦点 F，点 A是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为( )A +2 B +1 C +1 D +1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出 A 的坐标，将 A 代入抛物线方
9、程求出双曲线的三参数 a，b，c 的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求【解答】解：抛物线的焦点坐标为（ ，0） ；双曲线的焦点坐标为（c，0） ，p=2c，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，将 x=c 代入双曲线方程得到A（c， ） ，将 A 的坐标代入抛物线方程得到 =2pc，即 4a4+4a2b2b4=0解得 ， ，解得： 故选：D【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率，是中档题11已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上，且 AB=6，BC=2 ，则棱锥OABCD 的侧面积为 ( )A20+8 B44
10、 C20 D46【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积【解答】解：由题意可知四棱锥 OABCD 的侧棱长为：5所以侧面中底面边长为 6 和2 ，它们的斜高为：4 和 2 ，所以棱锥 OABCD 的侧面积为：S=46+2 =44故选 B【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型12设函数 y=f（x） （xR）的导函数为 f（x） ，且 f（x）=f（ x） ，f （x）f（x） ，则下列不等式成立
11、的是( )Af（0）e 1f（1）e 2f（2） Be 1f（1）f （0）e 2f（2）Ce 2f（2）e 1f（1）f（0） De 2f（2）f（0）e 1f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】通过分析给出的选项的特点，每一个选项中要比较的三个式子都涉及含有 e 的负指数幂及 f（x） ，所以设想构造函数g（x）=e xf（x） ，通过求其导函数，结合题目给出的 f（x）f（x） ，得到函数 g（x）的单调性，然后在函数 g（x）的解析式中分别取 x=0，1，2，利用函数单调性即可得到结论【解答】解：构造辅助函数，令 g（x）=e xf（x） ，则 g（x
12、）= （e x）f（x）+e xf（x）=exf（x）+e xf（x）=ex（f（x） f（x） ） f（x）f（x） ，g（x）=e x（ f（x）f（x） ）0，函数令 g（x）=e xf（x）为实数集上的减函数则 g（2 ）g（ 0）g（1） g（ 0） =e0f（0）=f（0） ，g（1）=e 1f（1） ，g（2） =e2f（2） ，又 f（ x）=f（x） ，g（ 2） =e2f（2） ，e1f（1）f（0）e 2f（2） 故选：B【点评】本题考查了利用导函数判断原函数的单调性，考查了不等关系与不等式，训练了函数构造法，解答此题的关键是结合选项的特点，正确构造出辅助函数，使抽象问题
13、变得迎刃而解，此题是中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设 为第二象限角，若 tan（ + ）= ，则 cos= 【考点】两角和与差的余弦函数 【专题】三角函数的求值【分析】由已知及两角和的正切函数公式可求 tan，再利用同角三角函数关系式即可求值【解答】解：tan（+ ）= = ，tan= ， 为第二象限角，cos= = = 故答案为： 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题14若函数 f（x）=4 xa2x+1 在区间1，1上至少有一个零点，则实数 a 的取值范围是 a2或 2a2.5【考点】函数零点的判定定理 【
14、专题】综合题；函数的性质及应用【分析】令 t=2x（ t2） ，y=t 2at+1=（t ） 2+1 ，通过题意知，需讨论二次函数 f（x）对称轴的分布情况，解出 a 即可【解答】解：令 t=2x（ t2） ，y=t 2at+1=（t ） 2+1对称轴 x= ，若 或 2，即 a4 或 a1 时，则在区间 ，2 上有零点的条件是：f（ ）f（2）0，无解；若 2，即 1a 4 时，则在区间 ，2 上有零点的条件是：f（ ）0，且 f（ ） ，f （2）中有一个大于 0，即 或 ，解得：a2 或 2a2.5，取“= ”也成立，综上所述，实数 a 的取值范围是：2a 2.5，故答案为：2a2.5【
15、点评】熟练掌握二次函数图象以及对称轴、取零点的情况是求解本题的关键15在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积若在正方形 ABCD 中随机产生了 10000 个点，落在不规则图形 M 内的点数恰有2000 个，则在这次模拟中，不规则图形 M 的面积的估计值为 【考点】模拟方法估计概率 【专题】概率与统计【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不规则图形 M 的面积的估计值【解答】解：由题意，在正方形 ABCD 中随机产生了 10000 个点，落在不规则图形 M 内的点数恰有 2000 个，概率 P= = ，边长为 2 的正方形 ABC
16、D 的面积为 4，不规则图形 M 的面积的估计值为 = 故答案为：【点评】本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题16己知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1+a3= ，a 2+a4= ，则 =31【考点】等比数列的前 n 项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a1+a3= ，a 2+a4= ， ， ，解得 q= ，a 1=2S5= = ，a 5= = ， =31故答案为：31【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解
17、答题：本大题共 6 个题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某购物网站为了解顾客对某商品的满意度，随机调查 50 名顾客对该商品的评价，具体数据如下评分 1 2 3 4 5人数 x 20 10 5 y已知这 50 位顾客中评分小于 4 分的顾客占 80%（）求 x 与 y 的值；（）若将频率视为概率，现从对该商品作出了评价的顾客中，随机抽取一位，记该顾客的评分为 X，求随机变量 X 的分布列一与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【专题】应用题；概率与统计【分析】 （）列出题意：x+20+10=5080%，5+y=5020%，即可求解（）确
18、定随机变量，分别求解概率，列出分布列，运用公式求解 X 的数学期望【解答】解：（）依题意得，x+20+10=5080%，5+y=50 20%，解得 x=10，y=5（） ， ， ， 所以 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1X 的数学期望为 EX=10.2+20.4+30.2+40.1+50.1=2.5【点评】本题考查了离散型的概率分布，数学期望，仔细阅读理解题意，利用排列组合知识求解，属于中档题18在锐角ABC 中， =（sinA，cosA） ， =（ ， 1） ， =1（I）求角 A 的大小（）求 cos2B+4cosAsinB 的取值范围【考点】
19、平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数 【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】 （I）利用数量积运算和正弦函数的单调性即可得出（II）利用（I） 、三角函数的平方关系、二次函数的单调性、正弦函数的单调性即可得出【解答】解：（I）由题意： ， ， ， ， ，即 （II）由（1）知： cos2B+2sinB=12sin2B+2sinB=2 + ，ABC 为锐角三角形B+C= ， ，B ， ， ， 【点评】熟练掌握数量积运算和正弦函数的单调性、三角函数的平方关系、二次函数的单调性等是解题的关键19在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形，AB=1，AA 1= ，
20、D 为 AA1 的中点，BD 与 AB1 交于点 O，CO 侧面 ABB1A1（）证明：BCAB 1；（）若 OC=OA，求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角 【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】 （）要证明 BCAB1，可证明 AB1 垂直于 BC 所在的平面 BCD，已知 CO 垂直于侧面 ABB1A1，所以 CO 垂直于 AB1，只要在矩形 ABB1A1 内证明 BD 垂直于 AB1 即可，可利用角的关系加以证明；（）分别以 OD，OB 1，OC 所在的直线为 x，y，z 轴，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，求出 ，平面 ABC 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论【解答】 （I）证明：由题意，因为 ABB1A1 是矩形，D 为 AA1 中点，AB=1，AA 1= ，AD= ，所以在直角三角形 ABB1 中，tanAB 1B= ，在直角三角形 ABD 中，tanABD= ，所以AB 1B=ABD，又BAB 1+AB1B=90，BAB 1+ABD=90，所以在直角三角形 ABO 中，故BOA=90，即 BDAB1，又因为 CO侧面 ABB1A1，AB 1侧面 ABB1A1，所以 COAB1
