1、2016 届山西省山西大学附中高三 10 月月考数学（理）试题及解析一、选择题1设 ，则 的非空真子集01,1,2357,9UUABxNABB的个数为（ ）A5 B30 C31 D32【答案】B【解析】试题分析：因为，010,234,5678,910UxN，所以 ，所以集合 的非空真子集共有1,2357,9ABBB个，故选 B50【考点】1集合间的关系；2集合的运算【易错点睛】本题主要考查集合间的基本关、系集合的运算，属容易题本题求的是集合 的非空真子集的个数，在求解时由于审题不认真，容易当成非空子集或真子集、子集的个数而导致错误2角 的终边过点 ，且 ，则 的范围是（ ）)2,93(a0si
2、n,coaA B C D),(323,2【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以角 的终边在第二象限或在 轴cos0,iny的正半轴上，所以 ，解之得 ，故选 C392a23a【考点】三角函数的定义3已知等比数列 n中，各项都是正数，且 ，成等差数列，则2,3,187109aA B C D2212323【答案】C【解析】试题分析：设等比数列的公比为 ，则 ， ，又因为q231a1aq成等差数列，所以 ，即 ， ，解1,3,2a312a2之得 或 ，又因为等比数列 n的各项都是正数，所以q2试卷第 2 页，总 15 页，又 ，故选 C12q2789107832aq【考点】等差、等比数列的定义与性
3、质4下列命题中的说法正确的是A若向量 ba/，则存在唯一的实数 使得 ；baB命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；12x 12xC命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有R0 0120xR”；2xD “ 且 ”是“ ”的不充分也不必要条件；5abba【答案】D【解析】试题分析：当 时，不存在实数 使 ，所以 A 错；否命题0,ab是将命题中的条件与结论同否定，所以 B 错；命题“ ，使得 ”Rx0 0120x的否定是：“ ，均有 ”，所以 C 错；Rx21x命题“ 且 ”的逆否命题为：“ 或 ”5ab0ba 5abb是假命题，故原命题为假命题， “ 且 ”的逆否命题为：“5或 或 ”是假
4、命题，故原命题为假命题，所以“ 且 ”是“ ”的不充分也不必要条件【考点】1向量共线基本定理是；2命题的四种形式；3充分条件与必要条件5设 ，则“ ”是“ ”的（ ）Rba,ababA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：设 ，则 ，所以 是 上的增()fx=()20,xf-=ab【考点】1不等式性质；2充分条件与必要条件6已知正四棱锥 中， ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为ABCDS32S（ ）A B C D133【答案】C【解析】试题分析：设正四棱锥的高为 ，则 ，则t0t， ，所22 231AOStt21ABOt以四棱锥的体积 ，2
5、31=(8)ABCDVSOtt正 方 形，2(4)t由 得 ，所以体积函数在区间 上单调递增，在区间 上单0(0,2)(2,3)调递减，所以当 时，体积有最大值，故选 CtOADBCS【考点】1多面体体积；2导数与函数最值【方法点睛】本题主要考查本题主要考查立体几何中的最值问题，多面体体积公式、导数与函数等知识，属中档题解决此类问题的两大核心思路：一是将立体问题转化为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，利用导数、基本不等式或配方法求其最值7设 为三角形 三边， 若cba,ABC,1cba，则三角形 的形状为（ ）logl2loglcccbcABCA
6、锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定【答案】B【解析】试题分析：由 ll2loglcbcbcbcaa得 ，11loglogllaaaacb即 ，2c所以 ，即 ，所以该三角形为直角2llaa222,bbc三角形，故选 B【考点】1对数的运算性质；2勾股定理及逆定理8 的角 所对的边分别是 （其中 为斜边） ，分别以 边RtAC, ,ac,abc所在的直线为旋转轴，将 旋转一周得到的几何体的体积分别是 ，则（ AC123V）A B123V123V试卷第 4 页，总 15 页C D2213V2213V【答案】D【解析】试题分析：以 边为旋转轴的几何体的体积 ，以 边为旋转轴的a21V
7、ba几何体的体积 ，以 边为旋转轴的几何体的体积213Vbc，所以23abc，故选 D2222 441 399()91abcV V【考点】旋转体的体积9执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A4 B9 C7 D5【答案】B【解析】试题分析：模拟算法：初始值： ；0,1TSn否；12,9(1)8,23TSn否；38365,否；5,()4,7TS是，输出 ，结束算法故72197129,TSn9n选 B【考点】程序构图【名师点睛】本题考查程序框图的程序运行，题为基础题程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考内容，本题是已知程序框图计算输出结果问题，对此类问题，按程序框图逐次的进行算法模拟计算，直到输出
8、时，即可计算出输出结果，是程序框图还可考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义，处理方法均为算法模拟运算10 已知 是平面内互不相等的两个非零向量，且 与 的夹角为,ab|1,ab，则 的取值范围是 （ ）150|bA B C D3,(1,32,0(3,2【答案】C【解析】试题分析：如下图所示， 则 ，因为,ABabACBab与 的夹角为 ，即 ，所以 ，设 ，ab15015030DA则 ，在三角形 中，由正弦定理得 ，所以0Dsini，所以 ，故选 Csin2ii3ab02bCBAD【考点】1向量加减法的几何意义；2正弦定理；3正弦函数性质11已知点 P 为双曲线 右支上一点， 分别
9、为双曲线的)0,(12bayx 21,F左右焦点，且 ，I 为三角形 的内心，若 成立，bF21| 21FP1212IPFIIFSS则 的值为（ ）A B C D21131212【答案】D【解析】试题分析：因为 ，即 ，解之得221|bFcaca2ac试卷第 6 页，总 15 页，又点 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知21acP，即 ，设三角形(21)PFac1212()FPF内切圆半径为 ，则 ，即12rrr，即 ，所以1212IPFI IFSS1212IPFI IFSS，故选 D【考点】双曲线的定义及几何性质12已知函数 是定义域为 R的偶函数当 时，()yfx0x若关于 x的方程 （
10、,)1()402sin5(xxf25()6)(0fafxa）有且仅有 6 个不同实数根，则实数 的取值范围是aRaA B50a或 014或C D 或14或 50【答案】C【解析】试题分析：在坐标系内作出函数 的图象（如下所示） ，由()yfx得， 或 ，又因为关于 x的方程25()6)(0fxafxa65a（ ）有且仅有 6 个不同实数根，由图象可知，R与函数图象有四个公共点，所以 应与函数 有两个公共点，()5fx()fx()yfx由图象得 的取值范围为 或 ，故选 Ca01a5421.50.51.232 23【考点】1函数的奇偶性；2数形结合；3分段函数的应用；4函数与方程【方法点睛】本题
11、主要考查函数的奇偶性、函数与方程以及数形结合，属难题求函数零点问题常用数形结合的方法求解，解决这类问题的关键是：1根据已知每件正确求解函数的解析式，并准确画出函数的图象；2由图象及一元二次方程确定方程 的解 的25()(60fxafxa()fxt个数及范围；3数形结合求出参数范围二、填空题13设 是 虚 数 单 位 ， 是复数 的共轭复数，若 ，则 _iZ321iZ【答案】 1【解析】试题分析： ，所以 32(1)iiii【考点】1复数的运算；2复数相关概念14向曲线 所围成的区域内任投一点，这点正好落在 与2xy 21yx轴所围成区域内的概率为 _【答案】 463【解析】试题分析： 所围成的
12、区域如下图所示的四个圆弧围成的图2xy形，其面积 ， 与 轴所围成区域的面2S21yx积 ，所以概率 12314xdx 14326SP【考点】1几何概型；2定积分的几何意义；3圆的方程【名师点睛】本题主要考查几何概型与定积分、圆的方程的交汇，属中档题几何概型常常与构成该事件的区域的长度、面积、体积或角度有关，在高考中经常涉及面积区域的问题，而面积的解决又与定积分有关，因此高考命题常常在此交汇面积问题常常涉及一些与定积分有关的问题，应用时一定要注意几何图形的分割及所对应的函数解析式，注意定积分的上、下限等15已知点 在抛物线 的准线上，点 M，N 在抛物线 C 上，)21,(A)0(2:pxyC
13、且位于 轴的两侧，O 是坐标原点，若 ，则点 A 到动直线 MN 的最大距离x 3ONM为 试卷第 8 页，总 15 页【答案】 52【解析】试题分析：，因为点 在抛物线 的准线上，所1(,)2A2:(0)Cypx以准线方程为 ，所以 ，所以抛物线方程为 ，点 在2pxp2,MN抛物线上，所以可设 ，由 得，21(,)(,)yMNy3OMN，即 ，解之得 或 ，21213y21124012y126y又因为点 在 轴的两侧，所以 ，直线 的方程为：,Nx126y，即 ，当 时， ，21122yy2112()x0y123yx所以直线 恒过定点 ，所以点 到直线 的最大距离为MN(3,0)P(,)A
14、MN2215AP【考点】1抛物线的几何性质；2向量的坐标运算；3直线方程【方法点睛】本题主要考查抛物线的几何性质、向量的坐标运算求直线方程等问题；属难题求圆锥曲线中的最值问题，常用方法有：1根据圆锥曲线的定义转化，根据几何意义求解；2求出所求值对应的目标函数，由函数性质、基本不等式、导数等方法求最值；3利用圆锥曲线或某条直线过定点求解（如本题就是利用直线过定点求解的） 16函数 ，则此函数的所有零点之和等于 12()4cos(35)3xyx【答案】 8【解析】试题分析：求函数 的零点，即求方程12()4cos(35)3xyx在区间 上的解，也就是求函数 与函数12()4cos3xx,51xy在
15、 上图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出两个函数图象，y,由图可知两个函数均关于直线 对称，且共有 8 个公共点也关于直线 对称，1x所以这些公共点的横坐标之和为 234567842xx【考点】1函数与方程；2指数函数和图象与性质；3余弦函数的图象与性质三、解答题17 中，内角 的对边分别是 ，已知 成等比数列，且ABC,abc,ccos4（1）求 的值；1tant（2）设 ，求 的值32BACac【答案】 （1） 或 ；（2） 873【解析】试题分析：（1）由 成等比数列得到 ，由余弦定理求,bcacb2，可求得 或 ，并可求出 ，将3cos(1)24aBca17sin4B用角 的正弦和余弦
16、表示并化简，再用正弦定理代入即可求出结果；1tantA,B（2）将向量表达式 用向量数量积定义表示得 ，可求得32AC 3cos2a，又 或 ，求出 的值，可求 ；或用余弦定理求之也bca1c,ac可试题解析：（1）因为 成等比数列，所以 ，,bb2由余弦定理可知： )1(2cos caacacB又 ，所以 ，且 ，解得 3cos447in43)1(2或a于是 78sinsinsicoita1tn 或 BcACBA（2）因为 ，所以 ，所以 ，32BC23a2又 ，于是 或cc试卷第 10 页，总 15 页【另解】由 得 ，由 可得 ，即32BAC3cos2aB3cos42cab由余弦定理 得
17、2b2os5bB 549acc3c【考点】1三角函数式的化简与求值；2正弦定理与余弦定理；3向量的数量积定义18甲箱子里装有 3 个白球 个黑球，乙箱子里装有 个白球，2 个黑球，在一次试mm验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖（1） 当获奖概率最大时，求 的值；（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有 4 次摸奖机会（有放回摸取） ，当班长中奖时已试验次数 即为参加游戏人数，如 4 次均未中奖，则 ，求 的分布列和 0E【答案】 （1）2 或 3；（2） （2） 的分布列1 2 3 4 0P01070129411.5726E【解析】试题分析：
18、（1）先求出两个箱子中分别摸出一个白球的概率 ，13Pm，相乘可求出获奖的概率 ，利用基本不等2mP33625mP式即可求出概率的最大值及相应的 值；（2）由题意可知 的取值有0，1，2，3，4，分别计算其相应的概率，列出分布列，由期望公式计算即可试题解析：（1）在第一个箱子中摸出一个球是白球的概率为 ，在第二个箱13Pm子中摸出一个球是白球的概率为 ，所以获奖概率2mP当且仅当 ，即 时取1233,65Pm 6等号，又因为 为整数，当 时， ，当 时，233210mm，所以 或 时， 4 分33210PaxP（2） 的取值有 0，1，2，3，4，由（1）可知班长摸奖一次中奖的概率为 ，由 310次独立重复试验的恰好发生 次的概率计算公式可得： nk
