1、2016 届广东省六校联盟第三次联考数学理试题2015，12，17第一部分 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知集合 ，则 （ ）10,ln1xMRNRyxMNA B. C. D. 10x或2 已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题：,mn, /,/,/mnn /,/其中正确命题的序号是（ ）A B C D3 下列四个条件中， 是 的必要不充分件的是（ ）pqA ， B ，:pab2: :pab:2abqC 非零向量 与 夹角为锐角， :0D ，2:0xc2:bx4 设函数 则函数
2、 （ ）4ln,3fyfxA在区间 1(,)e内均有零点. B在区间 1(,)e内均无零点.C在区间 内有零点，在区间 (1,)e内无零点 .D在区间 (,1)e内无零点，在区间 内有零点.5 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有2cosyx2sin()4yx的点的（ ）A横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）,再向左平行移动 个单位长度;18B横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度;24C横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度;D横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度86已知 是等比数列， ，则
3、 = （ ）na51,4a1321naaA B C. D. 128n124n142n1426n7 如果点 在平面区域 上，点 在曲线 上，那么P03xyQ22()xy的最小值为（ ）QA B C D415212108 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时 （yfxRx2xmf） ，记 ，则 的大小关系为( )mR42log5,(log3),abfcfm,abcA B C D bcaa9 在 中，已知 是 边上一点，若C DAAB，则 （ ）1,3DRA B C D 21210 已知函数 在区间 上单调递增，则实120fxfxfd,1a数 的取值范围是（ ）aA. B. C. D.1,43,4
4、3,3,411 一个正三棱锥的四个顶点都在直径为 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的2一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 24343312已知定义在 上的连续函数 满足： 且(0,)yfxxfxfe.则函数 （ ）13,fffA有极小值，无极大值 B有极大值，无极小值C 既有极小值又有极大值 D既无极小值又无极大值第二部分 非选择题（共 90 分）二、填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13在 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且abc23acb则 = .sinco2sin,ACb14已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则数列
5、项anS21nNn和 .nT15已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ） ，可得这个几何体的表面积是 .2cm16. 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围1na19nNa是 .三、 解答题：包括必做题和选做题，第 17 题到第 21 题为必做题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题满分 12 分）已知函数 .()cos2)sin()si()34fxx（1 ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程；()fx（2 ）求函数 在区间 上的最值.,6218 （本小题满分 12 分）等差数列 各项均为正数，其前 项和为 ，nannS且 成等比数列23
6、75aS143,a（1 ）求数列 的通项公式 ；nn（2 ）若数列 为递增数列，求证： 13S2nS14319 (本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 中， 平面 ,底面 是直PABCABC角三角形， , 是棱 的中点， 是 的重心， 是 的中点.4PABCOGODP（1 ）求证： 平面 ；（2 ）求证： ；DG 平 面（3 ）求二面角 的大小.20 （本小题满分 12 分）已知点 是圆 上任意一点，过点 作P2:1OxyP轴于点 ,延长 到点 ,使 .PQyMQ（1 ）求点 的轨迹 的方程；E22正视图2侧视图112俯视图BCAG（2 ）过点 作圆 的切线，交（1 ）中曲线 于 两点，求 面
7、积的,0CmOE,ABO最大值.21 （本小题满分12 分）已知函数 .2ln1fxaxR(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；2ay0，（2 ）讨论函数 的单调性；f（3 ）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.0,xfx请考生在第（22） ， （23 ） ， （24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，已知圆 是 的外接圆， ， 是 边OABCABCDB上的高， 是圆 的直径过点 作圆 的切线交 的延长线于EO点 .F（1 ）求证
8、： ； DE（2 ）若 ，求 的长.2,AFA23 (本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 xOy235xty(为参数 ). 在以原点 O 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 的方程为C.25sin（1）写出直线的普通方程和圆 的直角坐标方程；C（2 ） 设点 ，直线与圆 相交于 A、B 两点，求 的值(3,5)P1PAB24 (本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲.已知函数 的定义域为 26fxxmR（1 ）求实数 的取值范围；m（2 ）若实数 的最大值为 ，正数 满足 ，求 的最小n,ab823nab43ab值FDEOBC
9、A2016 届“六校联盟”高三第三次联考 理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共 12 小题，每题 5 分共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B D A A C B B D B C A二、填空题13 ; 14 ; 15 ; 16 12n625214a三、解答题17 解：（ 1） ()cos)sin()si()34fxx3cos2in(ico22scoxx3 分13cos2inin()64 分T周由 得，,6xkZ,32kxZ对称轴方程为 6 分,（2 ） 7 分5,2,6xx因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 9 分()sin)f3
10、,32所以 当 时， 10 分3xmax(1f又 ， 当 时， 12 分()62f 6xmin()1fx18 解：（ 1）设数列 的公差为 ，则有n0d即23475aS2134a,n21345a即 解得 或1d0d或 5 分5na21n（2 ） 数列 为递增数列， 由（1 ）知21na，nN*)()1(3Sn ，nN*7 分2)2(n10 分记 1231n nTSS由 ，则 关于 递增0,nNT13nTS综上可得： 1212334nSS分19 解（1 ）证明：PABCBCPA平 面为 直 角 三 角 形 平 面3 分(2)证明：连结 并延长交 于点 ，连结 ,OGAEDO是 的重心, 为 边上
11、的中线， 为 边上的中点，BB又有 为 边上的中点, ,DP同理可得 ,且C , 又有E平 面 平 面 平 面7 分 平 面（3 ）过点 作 于点 ,连结 ,QB且 是棱 的中点，AAC平面 , 平面 平面BP又有平面 平面 ，且 ,P=O平 面,又有 , 由三垂线定理得 ，OC平 面 QP为二面角 的平面角 10 分由已知得 ,221142B,243AAC,PQ 63P即12111()()()3423()24nSSn DOA CPBGEQ, 2tan36OBQ02OQB即二面角 的大小为 12 分3APC（注：其它解法酌情给分 ）20解：（1）设点 ， 为 中点，又有 轴，,Mxy,MPy,
12、 点 是圆 上的点， 有 ，2xPy2:1O21x即点 的轨迹 的方程为： 4 分E4（2 ）由题意可知直线不与 轴垂直，故可设： ， ，y,tymR1,Ay, 与圆 相切，Bxy2:1x即 5 分21mtt由 消 并整理得： 6 分4xty22440tyt其中 2 2168tm又有 7 分124yt2121ABxy2211tyyt将代入上式得9 分222 243mtt,11 分2311AOBS当且仅当 即 时，等号成立m12 分ax1AOBS21 解： （1）当 时，2211ln,fxxfx切点为 ，切线斜率 ，0,0,ff,0kf在点 处切线方程为： 2 分， y（2 ）由已知得 211,
13、axfx 当 时， ，a, 10x时， ， 时， ， (,0)x()0f()()0f此时， 在 上单调递增，在 上单调递减 4 分f 当 时，由 得12,ax5 分,a2a若 则 ， ，10201fx此时， 在 上单调递增； 6 分fx,若 ，则 ， ， 的变化如下表02a12()fxf(,112(,)x2x2(,)()fx+ 0 0 +单调递增 单调递减 单调递增此时 在 和 上单调递增，在 上单调递减 7 分f1,2,x12,x若 则 ， ， 的变化如下表,2a2x()ff1,x221(,)x1x1(,)()f+ 0 0 +x单调递增 单调递减 单调递增此时 在 和 上单调递增，在 上单调
14、递减 8 分f2,1,x21,x综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；af 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递102,0,a0,a减；当 时， 在 上单调递增；12afx,当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；912afx12,a0,12,0a分（3 ） “存在 ，使 成立”的非命题为“ 对任意 ，都有0,fx,x成立 ”fx由（2）得，当 时， 在 上单调递增，12af0,当 时，一定存在区间 ，有 在 上单调递减,mfx0,m又有 0f当且仅当对 时， “任意 ，都有 成立”12a0,xf即若对任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是,xfa12若存在 ，使
15、成立，实数 的取值范围是 12 分022解 ：（ 1）证明：连结 ，由题意知 为直角三角形.BEABE因为 ， ，9ABEDC0C ，所以 ，即 .AE又 ，AB所以 . 5 分CD（2 ）因为 是圆 的切线，所以 ，FO2FCAB又 ，所以 ，2, 2,4B因为 ，又 ，所以 . FC所以 ，得AB， 又 有1cos,sinsin,44E由 余 弦 定 理 得 10 分71inAEFDEOBCA23解 ： (1)由 得直线的普通方程为 2 分235xty 350xy又由 得圆 C 的直角坐标方程为2sin2y即 . 5 分2()x(2) 把直线的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 ，即235tt2340tt由于 ，故可设 是上述方程的两实数根，24012,所以7 分1212,tt，又有直线过点 ，A 、B 两点对应的参数分别为3,5P12,t所以 12tt所以 10 分12123+=4tt24解 ：（ 1）因为函数 的定义域为 ()fxR所以 恒成立；|2|6|xm设 ，则 ()gmin()g又 ，|(26|8当且仅当 时，ix所以 5 分8（2 ）有（1 ）可知， ， ，n23ab即 ，有由于 均为正数，所以41432ab,1()()2143()4319552abab 8 分当且 ，即 时，上式等号成立. 9 分23ab930ab所以 的最小值是 10 分494
