1、2016 届六校高三第二次联考理科数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 M= 2|30,xxZ，则集合 M 的真子集个数为A B C D 87432已知向量 ， ，若 与 平行，则实数 的值是(1,)a(,)bab2axA B C D13对任意等比数列 ，下列说法一定正确的是nA 成等比数列 B 成等比数列 139, 236,C 成等比数列 D 成等比数列248a 9a4下列选项叙述错误的是 A命题“若 ,则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”x230x20x1xB若命题 P： 则 1,R:,1pRC若 为真命题，则 p
2、,q 均为真命题pqD “ ”是“ ”的充分不必要条件25已知 ，则 （ ）4cos()5sin2A B C D72457256若 ,则下列结论不正确的是( )10abA B22abC D | 7 下列函数既是奇函数，又在区间 1,上单调递减的是A ()sinfx B ()1fx C 2lD 2xa8已知 表示等差数列 的前 项和，且 ，那么nSna5103S520SA B C D191089函数 的部分图象如图所示，将 的图象向右)2|,)(si)( xf yfx平移 个单位后得到函数 的图象. 则函数 的单调增区间为（ ）4ygygxA B. ,63kkZ,62kkZC. D. 2,5,1
3、0在四边形 中， ，已知 的夹角为BCDA8ABDAB与， ，则1cos=20与3CPDABPA B. C. D. 461011设 ，且 ，则 的大小关系是,xysincosxy,xA. B. C. D. 232y42yx12. 函数 是定义在 上的奇函数, 当 时, ，)(xfR0x2),(10)(|fxfx则函数 在 上的所有零点之和为 1g),6A B C D3232168二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分13由直线 ， ，曲线 及 轴所围成的图形的面积是 xyx14设等差数列 na的前 n 项和为 nS， 381a且 735S，则 7a 15定义在 上的函数 满足 0),
4、2()(,log2xff ，则 的值为 R()f)f ()215f 16已知 是 的外心， ，若 且 ，OABC6,10AC,OAByC0xy则 的面积为 . 三、解答题: 本大题包括必做题和选做题，第 17 题到第 21 题为必做题 ，第 22 题 第 24 题为选做题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分 12 分）设 的内角 所对的边分别为 ，且 ， ， . ABC， ， abc， ， 6 2b 7cos=9B（1）求 的值；ac，（2）求 的值 sin()18.（本小题满分 12 分）某工厂 2016 年计划生产 A、 B 两种不同产品，产品总数不超过 件，生产产品的
5、总费30用不超过 万元A、B 两个产品的生产成本分别为每件 元和每件 元,假定该工厂生9 52产的 A、B 两种产品都能销售出去，A、B 两种产品每件能给公司带来的收益分别为 万元0.3和 万元问该工厂如何分配 A、B 两种产品的生产数量，才能使工厂的收益最大？最大0.2收益是多少万元？19.（本小题满分 12 分）已知单调递增的等比数列 na满足： ，且 是 与 的等差中2348a32a4a项（1）求数列 n的通项公式；（2）若 ， ，求使 成立的正整数12logb12nnSb 150nSA的最小值n20.（本小题满分 12 分）已知函数 ()axfb满足： (1)f， (2)4f（1）求
6、的值，并探究是否存在常数 ,使得对函数 在定义域内的任意 ，都有, c()fxx成立；()4fxc（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围,2(1)|mxfm21.（本小题满分 12 分）已知函数 ， 的图象在点 处的切线方程为ln()1axbf ()yfx1,()f.230xy（1）设 ，求函数 的单调区间；()hfh（2）设 ，如果当 ，且 时，函数 的图象恒在函数ln()1xkg0x1()yfx的图象的上方，求 的取值范围yx请考生在第（22） ， （23） ， （24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题
7、卡上将所选题号后的方框涂黑。22(本小题满分 10 分) 选修 41：几何证明选讲如图， 为直角三角形， ，以 为直径的圆交 于点 ，点ABC90ABCACE是 边的中点，连 交圆 于点 .DODM（1）求证： 四点共圆；,E（2）求证： .2+23(本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线 l的参数方程为 sinco1ty (t为参数， 0)，曲线 C的极坐标方程为 cos4sin2（1）求曲线 C的直角坐标方程；（2）设直线 l与曲线 相交于 A、 B两点，当 变化时，求 |AB的最小值2
8、4(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 .(|1|fxmx（1）当 5时，求不等式 ()2f的解集；（2）若二次函数 23y与函数 yfx的图象恒有公共点，求实数 m的取值范围.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D D C B D C B A A A D13. 14. 15. 16. 或ln81202417.（本小题满分 12 分）解：(1)由余弦定理得： ， 2 分2247cos =9acbac即 . ， . 4 分2149ac21由 ，解得 . 6 分69ca 3ac (2)在 中， ， . 7 分由ABC7os =2274sin
9、1cos19B正弦定理得： ， . 8 分 siniab3si2i =aAb又 ， ， ， 10 分AC 0221co in . 12 分7402sin()sisi=3 97BAB 18.（本小题满分 12 分）解：设工厂生产 A、B 两种产品分别为 件和 件,总收益为 元，xyz由题意得 ， 3 分30529,xy目标函数 . 4 分zy二元一次不等式组等价于 .30529,x作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分. 7 分作直线 ,即 , :3020lxy320xy平移直线 ，从图中可知,当直线过 点时，目标函数取得最大值. 9 分M联立 , 解得 . 10 分59y
10、1所以点的坐标为 ,此时 . 1023012070maxz 11 分所以该工厂生产 A 产品 100 件, 生产 B 产品 200 件时收益最大，最大收益是 70 万元. 12 分19.（本小题满分 12 分）解：（1）设等比数列 na的首项为 1，公比为 .q依题意，有 324()， 1 分代入 2348a，可得 3a， ， 240所以 138,0q解得 1,q 或 1,. 3 分又数列 na单调递增，所以 2， a，数列 的通项公式为 .n 5 分（2 ）因为 12lognb， 6 分所以 ()nnS ， 23 1(2n， 两式相减，得 1.nn 10 分1250S即 1250n，即 5.
11、 易知：当 4时， 3，当 n时， 162452.n故使 1n成立的正整数 的最小值为 5. 12 分20.（本小题满分 12 分）解：（1）由 ，得 ，解得 ， 2 分()24f124ab21ab所以 （ ） .()1xf假设存在常数 符合要求，即 ， 成立.c()4fxc1x特别当 时有 ，即 ，解得 . 4 分0x()4fc212c下面证明 ， 恒成立. 事实上，当 时，则2fxx. 244()111xfxx 所以存在常数 ,满足题设要求. 6 分2c方法 2：假设存在常数 符合要求，即 ， 成立.则()fxc1x， 3 分()41xc即 ，21cx变形得， 5 分21cxcx整理得，
12、.所以存在常数 ,满足题设要求. 6 分（2）问题即为 21()|xmx对 1,2恒成立，即 |x对 ,恒成立，故必有 01或 2 7 分 在 m或 下，问题化为 |mx对 1,2x恒成立， 即 2xx对 1,恒成立， 当 1时， 或 2， 8 分 当 x时，21xm且 x对 (1,2恒成立，对于2对 (,恒成立，等价于 max()， 令 1tx， ,，则 1xt， 2,3，22()t， (,t递增， 2max4()13，即 43m，结合 01或 2m， 10 分对于2x对 (,恒成立，等价于2min()1x令 1t， ,，则 1xt， 0,，22()xt， (,t递减， 2min()41x，
13、4m，结合 01或 2m， 0或 ， 综上，实数 的取值范围为 4 12 分21.（本小题满分 12 分）解：(1) ， . 1 分221()xalnbf x0由题意知， ，即 ， 解得 . 3 分1()2f12ab1ba所以 ，因此 ， . lnxf()lnhx0x因为 ， .21()h0所以在区间 上， ，在区间 上， ，0,()hx1,()0hx所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 5 分()x, 1,(3)因为 ，考虑函数22()ln1kfgx， 则 . 2ln,0kxhx21xh 设 ，由 知，当 时， ，而 ，0221kxh0hx 1h故当 时， ，可得 ；当 时， ，
14、可得,1xx 210xh 1()x， . 从而当 ，且 时，即 8 分 20h 0 fg设 ，由于当 时， ，故 ，而1k 1,kx2()10x 0hx，故当 时， ，可得 .与题设矛盾 10h ,x0h 2h11 分设 .此时 ，而 ，故当 时， ，可得k1 1()x， 0x.与题设矛盾 210xh综合可得， 的取值范围为 12 分k(0 ，22(本小题满分 10 分) 选修 41：几何证明选讲解：（1）连接 ，则 ，BEC又 是 的中点，所以 3 分DCD又 ，所以 ， ,OOEB所以 90故 四点共圆. 5 分 ,(2) 延长 交圆于点 ，H2EMA+8 分+D，2112CDB即 10
15、分A23(本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程 解：（1）由 cossin2，得 2(sin)4cos 3 分所以曲线 C 的直角坐标方程为 yx 5 分（2）将直线 的参数方程代入 2，得 04cssi2tt .l设 A、 B两点 对应的参数分别为 1t、 2，则 12oin， 122sint，7 分2121214)(ttt 2242si4i6sinco6， 所以当 时， |AB的最小值为 4. 10 分方法 2：将直线 的普通方程为 代入 24yx得，l ta1yx，222sinsin4cosin0x则 ， 7 分12 122,six，2222ini4cos4()cosnsinAB所以当 2时， |AB的最小值为 4. 10 分24(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲24.解：（1）当 m时， ， 3 分 21()3xf由 ()2fx得不等式的解集为 . 5 分2x（2）由二次函数 23(1)y，该函数在 1x取得最小值 2，因为 ，在 x处取得最大值 2m，8 分1()mxf所以要使二次函数 23y与函数 ()yfx的图象恒有公共点，只需 2，即 4. 10 分
