1、2.3.4 平面与平面垂直的性质,1.掌握两个平面垂直的性质定理,并会将面面垂直转化为线面垂直来处理. 2.掌握二面角的平面角的作法,会进行简单二面角的计算. 3.结合水坝人造地球卫星运行轨道等具体实例再一次体会数学在日常生活中的广泛应用.,1.两个平面垂直,则一个平面内_的直线与另一个平面垂直. 2.三个两两垂直的平面的交线_.,垂直于交线,两两垂直,1.两个平面垂直的性质定理 性质定理:若两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.符号表示:,图形表示:,应用两个平面垂直的性质定理时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在一个平面内;(3)直线必须垂直它
2、们的交线.,2.垂直问题相互转化示意图,题型一 面面垂直性质的应用 例1:如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是DAB=60且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点,求证:BG平面PAD; (2)求证:ADPB.,分析:解答本题可先由面面垂直得线面垂直,再进一步得出线线垂直. 证明:(1)连接PG,由题知PAD为正三角形,G是AD的中点,PGAD. 又平面PAD平面ABCD, PG平面ABCD,PGBG. 又四边形ABCD是菱形且DAB=60. ABD是正三角形,BGAD. 又ADPG=G,BG平面PAD.,(2)由(1
3、)可知BGAD,PGAD. 所以AD平面PBG,所以ADPB.规律技巧:应用线面关系的性质定理或判定定理时,都要把条件写清楚凑齐,才能确保证明准确无误.,变式训练1:如右图,在ABC中,ABC=90,PA平面ABC,AFPC于F,AEPB于E,求证:EFPC.,证明:PA平面ABC, PABC,又ABBC, BC平面PAB, AE 平面PAB,AEBC, 又AEPB,且PBBC=B, AE平面PBC, PC 面PBC, AEPC,又PCAF,AEAF=A, PC平面AEF,PCEF.,题型二 线面关系定理的综合应用 例2:已知:如下图,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC
4、,E为垂足. (1)求证:PA平面ABC; (2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.,分析:已知条件“平面PAB平面ABC,”,使我们想到面面垂直的性质定理,便有如下证法.,证明:(1)在平面ABC内取一点D,作DFAC于F. 平面PAC平面ABC,且交线为AC, DF平面PAC.PA 平面PAC. DFAP. 作DGAB于G.同理可证DGAP. DGDF都在平面ABC内, PA平面ABC.,(2)连结BE并延长交PC于H. E是PBC的垂心,PCBH. 又已知AE是平面PBC的垂线,PCAE. PC平面ABE. PCAB. 又PA平面ABC.PAAB. AB平面PAC. ABA
5、C.即ABC是直角三角形.,规律技巧:(1)已知两个平面垂直时,过其中一个平面内的一点作交线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂直,由此得到结论:两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面. (2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.,变式训练2:如图,=AB,CD ,CDAB,CE,EF ,FEC=90,求证:平面EFD平面DCE.,证明:,=AB,CD ,CDAB,CD,EF ,CDEF.又FEC=90,CEEF.又CDCE=C,EF平面DCE,又EF 平面EFD,平面EFD平面DCE.,题型三 折叠问题 例3:如下图,在矩
6、形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将ADE折起,(1)如果二面角ADEC是直二面角,求证:AB=AC; (2)如果AB=AC,求证:平面ADE平面BCDE.,分析:(1)已知平面ADE平面BCDE,过A作AMDE于M,则AM平面BCDE.(2)已知AB=AC,取BC中点N,连结AN,则ANBC. 证明:(1)过A作AMDE于M,则AM平面BCDE.又AD=AE,M是DE中点,取BC中点N,连结MN,则MNBC,BC平面AMN,ANBC.又N是BC中点,ABC为等腰三角形,AB=AC.,(2)取BC中点N,连结AN.AB=AC,ANBC.取DE中点M,连结MNAM,MNBC.BC
7、平面AMN,AMBC.又M是DE中点,AD=AE, AMDE.又DE与BC是相交直线,AM平面BCDE.又AM 平面ADE,平面ADE平面BCDE.,变式训练3:把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以ABCD四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成角的大小为( ) A.90 B.60 C.45 D.30,解析:当三棱锥DABC体积最大时,平面ABC平面ADC,取AC的中点E,连结BE,DE, ADC为等腰直角三角形, DEAC, DE面ABC,即DBE为直线BD与平面ABC所成的角,而DBE为等腰直角三角形,DBE=45,故选C. 答案:C,易错探究,例4:已知直线a 平面,ab
8、,b.求证:a.,错解:由题设b知直线b与平面有交点,设交点为Q,过直线a和点Q作平面交平面于过点Q的一条直线a,则a (如图所示) b,ba,又ab,aa, a ,a,a.,错因分析:在错解中,应用平面几何中的定理“同垂直于一条直线的两条直线平行”,得aa导致错误,该定理要求涉及的三条直线都在同一平面内,而现在仅有a和a在平面内,直线b不能保证也在平面内,因而不能满足使用定理的条件,从而给出了错误的证明.,正解:(1)若直线a与b相交(如图(1)所示).设ab=P,则由ab可确定平面, 设=a,则由b知ba, 在平面内,由ba,ba知aa. a ,a,a.,(2)若a与b不相交,如图(2)所
9、示,在直线b上任取一点P,过P作直线aa(在点P和直线a确定的平面内,过点P作aa). ab,ab. 同理,设过a和b的平面=l,则al, al,又a ,l,a.,基础强化 1.给出下列四个命题,其中真命题的个数是( ) 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直.,A.4 B.3 C.2 D.1,解析:为直线和平面平行的性质定理,所以正确. 为直线与平面垂直
10、的判定定理,所以正确. 不正确.平行于同一平面的两条直线相交平行异面都有可能. 为两个平面垂直的判定定理,所以正确.,答案:B,2.用表示一个平面,l表示一条直线,则平面内至少有一条直线与l( ) A.平行B.相交 C.异面D.垂直,解析:排除法.当l与相交时,A不成立,当l时,B不成立,当l 时,C不成立.因此排除ABC,故D正确.,答案:D,4.设平面平面,在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则( ) A.直线a必垂直于平面 B.直线b必垂直于平面 C.直线a不一定垂直于平面 D.过a的平面与过b的平面垂直 答案:C,5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的
11、中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC平面PDF B.DF平面PAE C.平面PDF平面ABC D.平面PAE平面ABC,解析:如图所示:(1)DFBC,DF 平面PDF,BC 平面PDF,BC平面PDF.故A成立; (2)BCPE,BCAE,BC平面PAE,又DFBC,DF平面PAE,故B成立; (3)由(2)知,平面PAE平面ABC,故D成立. 综上知,不成立的应是C.,答案:C,6.已知平面平面,=l.点A,A l,直线ABl,直线ACl.直线m,m.则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) A.ABmB.ACm C.ABD.AC,解析:m,m,ml. ABl,ABm. ACl
12、,ACm. ABl,l ,AB ,AB. 综上知,ABC成立,故选D.,答案:D,7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是_.解析:由底面ABCD是正方形知,ACBD,又ACBB1,AC平面BB1D1D,又AC在平面ACD1内,平面ACD1平面BB1D1D.,垂直,8.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外的一点,且MA=MC,求证:AC平面BDM.分析:要证AC平面BDM,只要证明AC垂直于平面BDM内的两条相交直线.,证明:连结BD,AC,设BDAC=O,连结MO,能力提升,9.已知:如右图,平面平面,=l,在l上取线段AB=4,ACBD分别在平面
13、和平面内,且ACAB,DBAB,AC=3,BD=12,求CD长.,解:连结BC. ACAB, AC,ACBD. BDAB, BD,BDBC. CBD是直角三角形. 在RtBAC中, , 在RtCBD中, . CD长为13.,10.如图,S是ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC. 求证:ABBC.,证明:如右图,作AESB于E, 平面SAB平面SBC, AE平面SBC, AEBC, SA平面ABC, SABC又SAAE=A, BC平面SAB, ABBC.,11.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2
14、,E,E1分别是棱AD,AA1的中点. (1)设F是棱AB的中点,证明:EE1平面FCC1; (2)证明:平面D1AC平面BB1C1C.,证明:(1)证法1:取A1B1的中点为F1, 连结FF1,C1F1, 由于FF1BB1CC1, 所以F1平面FCC1, 因此平面FCC1即为平面C1CFF1, 连结A1D,F1C,由于A1F1 D1C1 CD, 所以四边形A1DCF1为平行四边形, 因此A1DF1C,又EE1A1D,得EE1F1C, 而EE1 平面FCC1,F1C 平面FCC1, 故EE1平面FCC1.,证法2:因为F为AB的中点,CD=2,AB=4, ABCD,所以CD AF, 因此四边形AFCD为平行四边形, 所以ADFC. 又CC1DD1,FCCC1=C,FC 平面FCC1,CC1 平面FCC1, 所以平面ADD1A1平面FCC1, 又EE1 平面ADD1A1, 所以EE1平面FCC1.,(2)证明:连结AC,在FBC中,FC=BC=FB, 又F为AB的中点, 所以AF=FC=FB, 因此ACB=90, 即ACBC. 又ACCC1,且CC1BC=C, 所以AC平面BB1C1C, 故AC 平面D1AC, 故平面D1AC平面BB1C1C.,
