1、23.4平面与平面垂直的性质,要点一平面与平面垂直的性质的应用在运用面面垂直性质定理时必须注意：(1)线在面内；(2)线垂直于两面的交线，由此才可以得出线面垂直在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件,例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.,(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.【分析】ABCD是边长为a的菱形；面PAD面ABCD.解答本题可先由面面得线面，再进一步得出线线,【证明】(1
2、)连接PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.又ADPGG，BG平面PAD.,(2)由(1)可知BGAD，PGAD.所以AD平面PBG，所以ADPB.【规律方法】证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理,变式1如图所示，CD，CDAB，CE、EF，FEC90，求证：面EFD面DCE.,证明：，CD，CDAB，AB，CD.又EF，CDEF.又FEC90，EFEC.又ECCDC，
3、EF面DCE.又EF面EFD，面EFD面DCE.,例2 已知：如图，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形,【分析】由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理,【证明】 (1)在平面ABC内取一点D，作DFAC于F，平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.又PA平面PAC，DFPA.作DGAB于G，同理可证DGPA.DGDFD，PA平面ABC.,(2)连接BE并延长交PC于H.E是PBC的垂心，PCBH，又AE平面PBC，故AEPC，且AEBE
4、E，PC平面ABE.PCAB.又PA平面ABC，PAAB，且PAPCP，AB平面PAC，ABAC，即ABC是直角三角形,【规律方法】已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论,变式2如图，已知平面平面，平面平面，a，b，且ab.求证：.,证明：如图，在平面内作直线PQa，在平面内作直线MNb，垂足分别为Q、N.,，a，PQ.同理MN.PQMN.PQ，MN，PQ.同理a.PQ，a，PQ
5、aQ，.,要点二线线、线面、面面垂直的综合应用在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：,例3 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点求证：,(1)EN平面PDC；(2)BC平面PEB；(3)平面PBC平面ADMN.【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明，证ENDM.(2)先证AD平面PEB，再由ADBC证明(3)转化为证明PB平面ADMN.,【证明】
6、(1)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC.又平面ADMN平面PBCMN，ADMN.又BCAD，MNBC.又N是PB的中点，点M为PC的中点,(2)四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，BEAD.又侧面PAD是正三角形，且E为中点，PEAD，AD平面PBE.又ADBC，BC平面PEB.,(3)由(2)知AD平面PBE.又PB平面PBE，ADPB.又PAAB，N为PB的中点，ANPB.且ANADA，PB平面ADMN.又PB平面PBC.平面PBC平面ADMN.,【规律方法】运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂
7、直转化为线面垂直或线线垂直,变式3如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，,(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论,证明：(1)设G为AD的中点，连接PG，PAD为正三角形，PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，BGAD.又BGPGG，AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.,(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在PBC中，FEPB.在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE.平面DEF平面PGB.,由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD，平面DEF平面ABCD.,
