1、 OCDBA2016 届天津市五区县高三第一学期期末考试数学理试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 ， ，则 （ ）02|xA31|xBBACR)(（A） （B） （C） （D ）2,(,1,( ,21,（2）设变量 x,y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ 02yxyxz）（A） （B） （C） （D）331（3）“辗转相除法 “的算法思路如右图所示，记 为 除以 所得的余数 ，)(baR),(*Nba执行程序框图，若输入 分别为 243,45，则输出 b 的值为 （ ）ba,（A） （B ） （C） （D）01918（4）设 ，则“ ”
2、是“ ”的（ ）Rxx1|x（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件（5）如图，圆 O 是 的外接圆， ， 是圆 O 的切线。若ACCA，则 的长为（ ）6,4D（A） （B） （C） （D）43103（6）若双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，一个焦点与抛物线12byax 052yx的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）y02（A） （B ） （C ） （D ）152x1205yx103252yx12530yx（7）已知定义域为 R 的函数 （ 为实数）是偶函数，记|)(mf， ， （ 为自然对数的底数），则 的)(log31efa)(log3fb)
3、(mefccba,大小关系是（ ）（A） （B） （C） （ D）cbabac（8）已知定义域为 R 的奇函数 的周期为 4，且 时，)(xf )2,0(x。若函数 在区间 上恰有 5 个零点，则实数 b 应满足的条)ln()2bxxf,件是 （ ）（A） （B） 或11b4（C） （ D） 或45b45二、填空题：本小题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）若复数 是纯虚数，则实数 的值为_ia1a（10）在 的展开式中，则 的系数为_8)(x21x（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_（12）曲线 和它在点 处的切线及 x 轴围成的封闭图形的面积为 _24y)
4、,(（13）如图，在 中， ， 的平分线交 于点 D，ABC2BACB，则 的面积为_6,2AD（14）如图，已知 为平面内相邻两直线距离为 1 的一组平行线，点 到 的nll.,321 O1l距离为 2， 是 上的不同两点，点 分别在直线 上，若BA, nP.,321 nll.,32，则 的值为_*)(NOyxPnn 515yyxx三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤（15）（本小题满分 13 分）已知函数)(1)3sin(4)( Rxxf （1）求函数 的最小正周期;f（2）求函数 在区间 上的最大值与最小值;)(xf2,0（16）（本小题满
5、分 13 分）甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判。设各局比赛双方获胜的概率均为 ，各局比赛结果相互独立，且没21有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判。（1）求第四局甲队当裁判的概率；（2）用 表示前四局中乙队当裁判的次数，求 的分布列和数学期望。XX（17）（本小题满分 13 分）已知四棱柱 的侧棱 底面 ， 是等腰梯形，1DCBA1ABCDA， ， ， ， 为 的中点DCAB/206E1（1）求证： 平面/1E1（2）求证： A（3）若 ，求二面角 的余弦值B1 11BC（18）（本小题满分 13 分）已知各项均为正数的数列 的前
6、n 项和 ，向量anS且*)(4,1(),( NbaSnnba/（1）求 的通项公式；（2）设 ， ，求数列 的前 n 项和*),(.2),()(knfnf )42(nnfbbnT（19）（本小题满分 14 分）已知椭圆 的中心在原点，焦点 在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 。C21,F1（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 是椭圆 C 上第一象限内的点， 的内切圆的圆心为 ，半径为 。P21PI2求：点 P 的坐标；直线 的方程。I（20）（本小题满分 14 分）已知函数 。)()(2Rmxexfmx（1）当 时，求函数 的单调区间；f（2）若 ，且曲线 在点 处的切线与直线 垂直。0)(x
7、y)1(,f 0)1(yex当 时，试比较 与 的大小；xff若对任意 ，且 ，证明： 。)(,212x)(21xf21x天津市五区县 20152016 学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 ADCC 5-8 CABD二、填空题:9.1 10. 56 11. 12. 16 13. 34 14. 10三、解答题:15.（本小题满分 13 分）解:（I）因为 2()4sin()1sin(3cosin)1323cosifxxxx= )6(si ， 4 分函数 f(x)的最小正周期 T=， 7 分（）函数 )(fy当 0,2x时， 5,6x，所以当 3x时， maxf， 9
8、 分当 x0 时， in()1. 13 分16.（本小题满分 13 分）解：（I）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场比赛，第四局甲队当裁判（记为事件A）时，即第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件 2A） ，可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件 1A） ， 3 分因此 1和 2都发生 才发生，即 1212()()4PAP； 6 分（II） X的所有可能取值为：0,1,2， 7分记“第三局乙丙比赛，乙胜丙”为事件 3， “第一局比赛，乙胜丙”为事件 1B， “第GFAE1D1C1B1Bxyz二局乙甲比赛，乙胜甲”为事件 2B， “第三局乙参加比赛，乙负”为事件 3B，所以 13123
9、10()()(8PXAPA，131324，5028X. 10 分所以 X的分布列是： 12p185814 12 分所以 X的数学期望 19()024EX.13 分17.（本小题满分 13 分）（I）取 1AB的中点 F，连结 1,D, 1BC，因为EF是 C的中位线，所以 /E.因为 /，所以 11，又因为2,1ABD， 60AB，可求 DC，故1CF，所以四边形 1为平行四边形，所以 11/FB.又因为 1,EDFCB，所以平面 /DE平面 1C，又因为1平面 1，所以 /平面 1. 4 分（II）法一：以 A为坐标原点，直线 1,AB分别为 y轴， z轴建立空间直角坐标系，设1a.则 13
10、(0,2)(,0)(,)BCa133(,0),(,)22CACa，因为 1,4A故 1，所以 1B.法二：连结 ,在等腰三角形 AD中可求 3，又因为 1,B,所以22ACB，所以 BCA.又因为四棱柱是直四棱柱，故 1平面 BCD， 平面 ABCD，所以 1.因为 1A，所以 平面 1A， 1平面 1.所以 BC. 8 分（III）以 为坐标原点，直线 1,B分别为 y轴， z轴建立空间直角坐标系，)2,0(),32(),0(),( 11AA则 )0,23(C， )2,0(1A，,21B， 设 ),(zyx1n是平面 A1的法向量，则 0231zAyxn令 则 3，所以 (3,0)1n10
11、分设 (,)xyz2n是平面 CAB的法向量，则2102ACByz令 则 3x， 1所以 2(3,1)n12 分又因为二面角 1BAC为锐角，不妨设为 则 25cos1n. 13 分18 （本小题满分 13 分）解：（I）由 /ab得 214nnSa，2 分当 2n时 2111n，3 分-化简得： ()(2)0nn，因为数列 na各项为正数，当 2n时1na，故数列 a是等差数列，公差为 2. 5 分又 2114aSa，解得 1，所以 21na.7 分（II）由 ()fn得 3(6)5bf，2 182bf，9 分当 3（ nN）时， 221(4)()()nnnnff，11 分故 3时，2231
12、4()51()6(1nnnT 2n.12 分综上可知5,1,62,3,.nTnN13 分19 （本小题满分 14 分）（）设椭圆 C的方程为 210xyab，由题意得，214ab，解得24,3ab，所以椭圆 的方程为243. 4 分（）(i)因为 12PF，所以在 12PF中 1216F，5 分所以 12的面积 12S= 1 3r. 7 分又 1212PFpSy，所以 3p，由2143pxy得 px，故 (1,)2P9 分（ii）因为 3,， 1,0F，所以直线 1PF的方程为 02，即 340xy10 分因为 12PF的内切圆的半径为 12，所以可设 01,2Ix，则013425x，12 分
13、解得 0或 076（舍） ，所以直线 PI的方程为 12yx14 分20 （本小题满分 14 分）解：（）当 1m时， ()21()xxfee =. 1 分若 0x，则 0xe， ；若 0，则 0， ()fx 2 分综上，函数 ()f的增区间为 (,)，减区间为 (,). 4 分（）因为函数 x在点 1f处的切线与直线 e1xy垂直，且()2()2mxmxfee =所以 (1)2mf =+，故 .令 eh ， 5 分则 ()e1mh，因为 0，所以 ()0h，又因为 0，所以 时，方程 e1m =有唯一解 1m. 7 分() 当 x时，令 22()()e()e2xxxgf .则 e0x，所以 g在 0时单调递增，即()0x.故 时， ()fx. 10 分() 若对任意 12,且 12()fxf,由（）知， 12,x必一正一负，不妨设120x，由()知， 12)f,而由（）知， m时，函数()f在 ,)上单调递减，所以 x，即 120x. 14 分
