1、2016 届吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）数学（文）试题一、选择题1复数 ， 在复平面内对应的点关于直线 对称，且 ，则 （ 1z2 yx132zi2z）A B C D3i3i32ii【答案】D【解析】试题分析：复数 在复平面内关于直线 对称的点表示的复数1zyx，故选 D23zi【考点】复数的运算2若实数 ， 且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）abRA B C D 212ablg()0ab【答案】C【解析】试题分析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当 时， 为正2ab确选项，故选 C【考点】不等式的性质3设集合 ， ，则 （ ）2|30Ax|2BxABA B |0C D|02x|3
2、x【答案】C【解析】试题分析：由题意可知 ，则 ，|0A|2Bx，故选 C|02ABx【考点】集合的关系4已知 为圆 的一条直径，点 为直线 上任意一点，则21yP20xy的最小值为（ ）PABA B C D122【答案】A【解析】试题分析：由题意得，设 ， ，则(cos,in)A(,2)Px，(cos,in) ， ，(cos,in2)PAx (cos,in2)PBx (cosin2)(Bx ，当且仅当22222()cs)i431)xxx时，等号成立，故选 A1【考点】1圆的标准方程；2平面向量数量积及其运用5几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D322163403816
3、3【答案】C【解析】试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，其体积为，故选 C402423【考点】空间几何体体积计算6以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（ ）A B C D1222【答案】A【解析】试题分析：以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，112te212te，故选 A12【考点】椭圆，双曲线的标准方程及其性质7已知 为椭圆 上的点，点 为圆 上的动点，点P2156xyM21:(3)1Cxy为圆 上的动点，则 的最大值为（ ）N2:C2(3)|PNA B C D820【答案】B【解析】试
4、题分析：由题可知， ，故选max12(|)|1PMNPCB【考点】椭圆性质的综合运用8设等差数列 的前 项和为 ， 且 ，当 取最大值时， 的值nanS10a6591nSn为（ ）A B C D9102【答案】B【解析】试题分析：由题意，不妨设 ， ，则公差 ，其中 ，69at51t2dt0t因此 ， ，即当 时， 取得最大值，故选 B10at1t10nnS【考点】等差数列的通项公式及其前 项和9已知函数 ，当 时， ，若在区间 内，2()()fxfx(,2()fx(1,有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）()1gxfttA B C D1,2,21,0)21(0,2【答案】D【解析】试
5、题分析：当 时， ，(1,0x(,x，即 在 上的解析式为22()fxf)f(1,x，可将函数 在 上的大致图象如下图所示，2(1,0()xf()fx(,令 ，而 表示过定点 斜率为 的直线，由()0()gft(1)yt(1,0)t图可知为其临界位置，此时 ，因此直线的斜率 的取值范围是 ，故选 D2t,2yO x-1 112【考点】1 函数与方程；2数形结合的数学思想10函数 的零点所在的区间是（ ）1ln22yxA B C D(,)e(,)(,)e(,3)e【答案】C【解析】试题分析：函数的定义域是 ，显然 与 在(0,)1ln2yx1yx上单调递增，(0,) 在 上单调递增，当 时，1l
6、n22yx(,)x，l0e当 时， ，根据零点存在定理可知函数xe1302ye的零点在 内，故选 C1ln22yx(,)【考点】1函数的性质；2函数的零点11已知直线 与圆 相交于 ， 两点，设 ， 分别是以 ，1y24xyABOA为终边的角，则 （ ）OBsin()A B C D3555【答案】D【解析】试题分析：作直线 的中垂线，交圆于 ， 两点，再将 轴关于直线ABCx对称，交圆于点 ，则 ，如图所示，CDEO，而 ，故 ，sin()si(2)sin21ta24sin()sin25故选 D yx-22AB1 DECM N【考点】1直线与圆的位置关系；2三角恒等变形二、填空题12命题“ ，
7、 ”的否定是_xR210x【答案】 ， 00【解析】试题分析：由题意可知，命题“ ， ”的否定是：xR210x， ，故填： ， 0xR201x00【考点】全称命题的否定13已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为_xy240xy2yx【答案】 1【解析】试题分析：根据不等式组获得可行域如下图，令 ，可化为2zyx，因此当直线过点 时， 取得最小值为 ，故填： 2yxz(1,3)z1【考点】线性规划14已知向量 ， ，则当 时， 的取值范围是(13)a， (0,1)b3,2t|atb_【答案】 ,【解析】试题分析：根据向量的差的几何意义， 表示 向量终点到 终点的距|atbta离，当 时，该距离取得
8、最小值为 1，当 时，根据余弦定理，可算得该3t3距离取得最大值为 ，即 的取值范围是 ，故填： 1|atb,11,3【考点】平面向量的线性运算15已知数列 中，对任意的 ，若满足 （ 为常数） ，则na*nN12nnas称该数列为 3阶等和数列，其中 为 3阶公和；若满足 （ 为常数） ，则称st该数列为 2阶等积数列，其中 为 2阶公积，已知数列 为首项为 的 阶等和数列，t np3且满足 ；数列 为首项为 ，公积为 的 阶等积数列，设 为数321pnq12nS列 的前 项和，则 _nq 2016S【答案】 7056【解析】试题分析：由题意可知， ， ， ， ， ，1p234p152p，
9、，又 是 3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下64p71np去，同理， ， ， ， ， ， ，又1q23q4251q6271q是 2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列n，每 6项的和循环一次，易求出 ，因此p 126.pp中有 336组循环结构，故 ，故填： 2016S20163705S705【考点】1新定义问题；2数列求和三、解答题16已知函数 2()2sinco3sfxxx（1）求函数 的最小正周期和单调减区间；（2）已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其中 ，若锐ABCABCabc7a角 满足 ，且 ，求 的面积()36f13sin4【答案】
10、 （1）最小正周期： ，单调递减区间： ；（2）,21k()kZ40【解析】试题分析：（1）对 的表达式进行三角恒等变形，再利用三角函数的性()fx质即可求解；（2）首先求得 的值，再结合正余弦定理列出相应的式子，即可求解A试题解析：（1） 2()2sinco3ssin23cosf xx，sin(3x因此 的最小正周期为 ， 的单调递减区间为)f 2T()fx，32kxk即 ；（2） 由7,1()Z，()sin(2sin32663AAf A又 为锐角， ，由正弦定理可得 ，7142sin32aR，13sin24bcBCR则 ，由余弦定理可知，134bc，2222()1osabcaA可求得 40
11、bc【考点】1三角恒等变形；2正余弦定理解三角形17近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015 年双 11期间，某购物平台的销售业绩高达 918亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 06，对服务的好评率为 075，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80次（1）是否可以在犯错误概率不超过 01%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200次交易中取出 5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率 ()0.15.5.
12、2.10.0127638416357892PKk（ ，其中 ）22()(nadbcnabcd【答案】 （1）可以；（2） 35【解析】试题分析：（1）得到对应的列联表，根据条件中给出的数据以及公式计算相应的值，比较大小即可判断；（2）列出所有符合题意的基本事件的种数以及所有的基本事件的种数，根据古典概型即可求解试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的 列联表：2对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 200，220(81407)1.0.825K可以在犯错误概率不超过 01%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）若针对商
13、品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200次交易中取出 5次交易，则好评的交易次数为 3次，不满意的次数为 2次，令好评的交易为 ， ， ，不满意的交易为ABC， ，从 5次交易中，取出 2次的所有取法为 ， ， ， ，ab (,)(,)(,a,)Ab， ， ， ， ， ，共计 10种情况，其中只有一次(,)BC(,)Bb(,Ca,)ba好评的情况是 ， ， ， ， ， ，共计 6种，因此，A(B,)(,b只有一次好评的概率为 63105【考点】1独立性检验；2古典概型18在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ，点 为棱PABCDABPDABC1D的中点，过 作与平面 平行的平面与棱 ， ， 相
14、交于 ，D1， ， 1B60（1）证明： 为 的中点；1BP（2）已知棱锥的高为 ，且 ， ， 的交点为 ，连接 ，求三棱锥32ABCDO1B外接球的体积1AO【答案】 （1）详见解析；（2） 1548【解析】试题分析：（1）根据已知条件中面 面 ，再利用面面平行/ABCD1的性质可知 ，从而得证；（2）求出 的长度，进而进一步通过补形确定1/BD1O外接球的球心与半径试题解析：（1）连接 ，面 面 ，面 面 ，1/1PABCD面 面 ， ，即 为 的中位线， 为P1ACBD1中点；（2）由（1）知， ，且 ， ， ，即B132OA1O三棱锥 外接球为以 ， ， 为长、宽、高的长方体外接球，则
15、该长1方体的体对角线长为 ，即外接球半径为 2351()d54则三棱锥 外接球的体积为 1BAO33412()8VR【考点】1面面平行的性质；2几何体的外接球19椭圆 的左右焦点分别为 ， ，且离心率为 ，点 为21(0)xyab1F212P椭圆上一动点， 面积的最大值为 12FP3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为 ，过右焦点 的直线 与椭圆相交于 ， 两点，连结1A2FlAB， 并延长交直线 分别于 ， 两点，问 是否为定值？若是，1AB4xPQ2F求出此定值；若不是,请说明理由【答案】 （1） ；（2）详见解析2143y【解析】试题分析：（1）分析题意可知点 为短轴端点时 取到最
16、大值，再根据P12FPS条件中数据求出 ， ， 的值即可；（2）设直线 的方程为 ，abcABxty， ，再利用平面向量的数量积的坐标表示即可求得定值1(,)Axy2(,)B试题解析：（1） 已知椭圆的离心率为 ，不妨设 ， ，即 ，其中12ct2at3bt，又 面积取最大值 时，即点 为短轴端点，因此 ，0t12FP3P1解得 ，则椭圆的方程为 ；（2）设直线 的方程为 ，t214xyABxty， 联立 可得 ，则1(,)Axy2(,)B23txy2(4)690tt， ，直线 的方程为 ， 直122634t12934yt1A1(2)yx线 的方程为 ， 则 ， ，则1BA2()x16(4,P
17、26(4,)yQ， ，则126(3,)yFPx226(3,)yFQx12122 129() 93()ytt ，即 为定值 02FP0【考点】1椭圆的标准方程及其性质；2直线与椭圆的位置关系；3圆锥曲线中的定值问题20已知函数 在点 处的切线与 轴平行ln()axf(1,)fx（1）求实数 的值及 的极值；f（2）若对任意 ， ，有 ，求实数 的取值范围；1x2,)e1212()|fxfkxk【答案】 （1） ， 有极大值为 ；（2） a()f()f(,【解析】试题分析：（1）首先求导，根据导数的几何意义可求得 的值，再根据导数a的取值情况确定原函数的极值点；（2）将原不等式变形为 ， 再 构1
18、2()|4fxf造 对 应 函 数 ， 将 问 题 等 价 转 化 为 求 函 数 最 值 即 可试题解析：（1）由题意得 ，又 ，解得 ，令21ln()axfx(1)0f1a，解得 ，即 有极大值为 ；（2） 由2ln()0xf()f， 可 得 ， 令 ， 则1212|fk12|xk()gfx， 其 中 ， ， 又 ， 则()lngxx2(0,e()lngx2(0,e，2即 ， 因 此 实数 的取值范围是 12()|fxfk(,2【考点】导数的综合运用21选修 41：几何证明选讲如图，过圆 外一点 的作圆 的切线 ， 为切点，过 的中点 的直线OPPMPN交圆 于 ， 两点，连接 并延长交圆 于点 ，连接 交圆 于点 ，若ABAOCBODMC
