1、2016 届上海市闵行区高三上学期期末质量调研数学试题（理科）（满分 150 分，时间 120 分钟）考生注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚2请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效3本试卷共有 23 道试题一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1若复数 满足 （ 为虚数单位），则 .2zi3i|z2若全集 ，函数 的值域为集合 ，则 .UR21xyAU)0,(3方程 的解为 .460x 2log3x4函
2、数 的最小正周期 = .cos()inicsfT5不等式 的解集为 .x),0(6若一圆锥的底面半径为 ，体积是 ，则该圆锥的侧面积等于 .3127已知 中， ， ，其中 是基本单位向量，则 的面ABC 4ij34ACijij、 ABC积为 . 258在 2017 年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.109若 是等差数列 的前 项和，且 ，则 . 5nSna8610S2limnS10若函数 满足 ()()fxf，且 ()fx在 ,)上
3、单调递增，则实()2xf()R数 m的最小值等于 . 111若点 、 均在椭圆 上运动， 是椭圆 的左、右焦点，则PQ2:1ya()a12F、 的最大值为 .12F12已知函数 ，若实数 互不相等，且满足14cos 042()lg(3)xfx， ， abc、，则 的取值范围是 .)(fbaf ab(8 23)、13我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （ ）,则 是 的更xbadc*,Nbdacx为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 ，若令 ，则第一次用“调3.1459314905日法”后得 是
4、 的更为精确的过剩近似值，即 ，若每次都取最简分数，那么第四次16560用“调日法”后可得 的近似分数为 . 2714已知数列 的前 项和为 ，对任意 ， 且nanS*N1()32nnSa恒成立，则实数 的取值范围是 .1()(0npp,4二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15若 ， 且 ， 则 “ ”是 “ 等 号 成 立 ”的 （ A ） .,abR0ab2a(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件16设 ，则其反函
5、数的解析式为（ C ） .2345()51fxxx(A) (B) y51yx(C) (D) 517 的内角 的对边分别为 ，满足 ，则角 的范围是（ ABC , cba,bcaAB ） .(A) (B) (C) (D) 0,0,18函数 的定义域为 ，图像如图 1 所示；函数 的定义域为 ，图像 如 图 2所 示 .()fx1()gx1, ,则 中 元 素 的 个 数 为 （ C ） .Ag()BxgfAB(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分 12 分）如图
6、，三棱柱 中，侧棱 底面1ABC1ACA BDA1 B1C1xy-1 O 1 21图 2xy-1 O 11-1图 1， ， , ， 为棱 中点，证明异面直线 与 所成ABC121BCAD1A1BCD角为 ，并求三棱柱 的体积证明 在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， 或它的补角1A1BC1/即为异面直线 与 所成角，2 分1BCD由 ， , 以及正弦定理得 ， 即 ，2sinABCA4 分又 ， ，6 分1A1A面8 分BCD所以异面直线 与 所成角的为 10 分1C2三棱柱 的体积为 12 分A132ABCVS20.（ 本 题 满 分 14分 ） 本 题 共 有 2个 小 题 ， 第 （ 1）
7、小 题 满 分 8分 ， 第 （ 2） 小 题 满 分 6分 如图，点 、 分别是角 、 的终边与单位圆的交点， B0（1）若 ， ，求 的值；3=cos3sin2（2）证明： ()c解（1）方法一: ，s= 3 分1)(co2)cos(9，即 ， 6 分3=4s 8 分912sin方法二: ， ，即 ， 3 分2co3=432sinco2，两边平方得， 6 分sin98sin1 8 分912（2）证明由题意得， ， )sin,(coOA)sin,(coOB= 10 分BA iscoO xyA B又因为 与 夹角为 ，OAB1OBA= 12 分)cos()cs(综上 成立 14 分cos()i
8、n21（ 本 题 满 分 14 分 ） 本 题 共 有 2 个 小 题 ， 第 （ 1） 小 题 满 分 6 分 ， 第 （ 2） 小 题 满 分 8 分 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 、 ，海岸边界 近似地看成一条曲线l2MPN段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 ，且直线 与曲线AB有且仅有一个公共点 （即直线与曲线相切），如图所示若曲线段 是函数 图MPNP ayx像的一段，点 到 、 的距离分别为 千米和 千米，点 到 的距离为 千米，以 、 分1l2812l101l2别为 轴建立如图所示的平面直角坐标系 ，设xy、 xOy 点的横坐标为 . p（1
9、）求曲线段 的函数关系式，并指出其定义域；PN（2）若某人从点 沿公路至点 观景，要使得沿折线O OAP比沿折线 的路程更近，求 的取值范围.Bp解（1）由题意得 ，则 ，故曲线段(1,8)Ma MN的函数关系式为 ，4 分yx又得 ，所以定义域为 . 6 分(0,)5N1,0（2） ，设 由 得8(,)Pp8:()ABykxp8()ykxp， , 8 分22()0kxx222()3(8)0kp，得直线 方程为 ， 10 分288,pkpyx得 ，故点 为 线段的中点，16(0,)(,)AB、 PAB由 即 12 分2820pp2得 时， ，所以，当 时，经点 至 路程最近. 14 分O10p
10、AP22（ 本 题 满 分 16 分 ） 本 题 共 有 3 个 小 题 ， 第 (1)小 题 满 分 4 分 ， 第 (2) (3)小 题 满 分 各 6 分 xyABMNPO大海1l2l已知椭圆 的中心在坐标原点，且经过点 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点重3(1,)22:4yx合（1）求椭圆 的方程；（2）斜率为 的直线 过点 ，且与抛物线 交于 两点，设点 ， 的kl1,0FAB、 (1,)PkAB面积为 ，求 的值； 43（3）若直线 过点 （ ），且与椭圆 交于 两点，点 关于 轴的对称点为l,MmCD、 y，直线 的纵截距为 ，证明： 为定值.QDn解（1）设椭圆的方程为 ，由题设
11、得 ，2 分210xyab2194ab， 椭圆 的方程是 4 分243ab243（2）设直线 ，由 得 :(1)lykx2(1),ykx222()0kx与抛物线 有两个交点， ， ，l060则 6 分4242()()ABkk到 的距离 ，又 , (1,)Pkl231d43PABS 2231()41k，故 10 分243k（3） ，点 关于 轴的对称点为 ，12,CxyDCy1(,)Qxy则直线 ，设 得12:()x022121xym直线 ，设 得 14 分112:yQ12212()xyn，又 ， ，21xmn2143xy243xy2211(4)23(4)yx16 分222 121()()yxx
12、23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 8 分已知数列 的各项均为整数，其前 项和为 规定：若数列 满足前 项依次成公差nannSnar为 的等差数列，从第 项起往后依次成公比为 的等比数列，则称数列 为“ 关联数列”11r2（1）若数列 为“ 关联数列”，求数列 的通项公式；na6na（2）在（1）的条件下，求出 ，并证明：对任意 ， ；nS*N6naS（3）已知数列 为“ 关联数列”，且 ，是否存在正整数 ，使得nr10,()km若存在，求出所有的 值；若不存在，请说明12112?k maaa 理由解（1） 为“
13、6 关联数列”， 前 6 项为等差数列，从第 5 项起为等比数列nn且 ， 即 ，解得 2 分,4,5116aa2562451a31a（或 ） 4 分5,2n55,67nn（2）由（1）得 （或 ）2417,5nSn2244117,5,66n nS6 分，2345:3,1,0,na :3,5,319,25nS，可见数列 的最小项为 ，96570S na6aS证明： ，54(),526nnna列举法知当 时， ； 8 分min5()aS当 时， ，设 ，则 ，6n)(272n 52nt2,m 10 分2497()68aStt（3） 为“ 关联数列”，且nr10,adq，1(2)1,r rada123ra12 分2121, ,3563nnnS当 时，由 得km22km(k)21(k)m， 或 21,190当 时，由 得 ，不存在 14 分k11256kmk当 时，由 ，1,m2561021mk当 时， ；当 时， ；k0*9,Nk*74,N当 时， ；当 时， ；31258m410m当 时， ；当 时， ；5k0*,6k*2,当 时， ；当 时， ；714mN8103mN当 时， 舍去；当 时， 舍去9k02,k,1当 时， 舍去；当 时， 舍去16 分11m12102m综上所述， 存在 或 或 或 18 分5k389k
