1、高等数学（二）,Speaker：Limin Hou,课前说明,关于本课程【注重“三基”考察】； 关于复习方法【以课本为本（把握重点），以考纲为纲（指导性），以真题为重（重中之重），以练习为辅（适量即可）】； 关于答疑【QQ（893308815）+课堂】。,试题分析,一、试卷内容比例：极限和连续约15%；一元函数微分学约30%；一元函数积分学约32%；多元函数微分学约15%；概率论初步约8%。二、试卷题型比例：选择题约27%；填空题约27%；解答题约46%。三、试题难易比例：容易题约30%；中等难度题约50%；较难题约20%。,第一节 函数（大纲已删除）,第一章 函数、极限与连续,2013.5.
2、26,（一）一些常用的符号,一、预备知识,（二）区间及其表示方法,1、开区间:（a,b）=xIaxb;2、闭区间：a,b=xIaxb;3、半开区间：（a,b=xIaxb;a,b)=xIaxb;4、无限区间：a,)=xIxa;,b)=xIxb;(-,+)=xI-x+=xIxR.,（三）邻域:,（四）常用不等式:,绝对值 :,（五）解不等式,【方法】（1）整理不等式（标准化）（2）因式分解（求零点值）（3）在数轴上标零点值（4）穿线（原则：右左；上下；奇穿偶不穿） 【注】：1、带绝对值的不等式先去绝对值符号； 2、记忆一元二次不等式的结论：（x-a）（x-b）（）0，其中，ab，则（1）0时，xa
3、或xb；（2）0时，axb。,定义域,定义：,记为,f ( D ) 称为值域,函数图形:,自变量,因变量,二、函数的概念,定义域 D,对应规律 f,公式法,、图像法,、表格法,使函数表达式有意义的自变量全体所构成的集合（实际问题还需考虑到变量的实际意义）。,【注意】 由于函数是实数集到实数集的映射，故确定函数主要有下面两个要素：,的表示方法:,几个特殊函数举例：,1、符号函数,2、取整函数 y = x,x 表示不超过 x 的最大整数,3、最值函数,0,试一试：,4、绝对值函数,0,【注】符号函数、取整函数、最值函数和绝对值函数，都是分段函数。,三、函数的性质,1、有界性,定理,（4）设函数,且
4、有区间,使,称,在 I 上有界.,2、单调性,【注】单调性的判断,1、定义； 2、导数符号（见第二章）,3、奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,【性质】若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,（双曲余弦 ）,记,【注】,1、D可为有限区间，也可为无限区间； 2、奇偶性的判断：（1）定义；（2）性质： 奇（偶）+奇（偶）=奇（偶）具有相同奇偶性的两个函数的和函数，其奇偶性不变； 奇（偶）奇（偶）=偶具有相同奇偶性的两个函数的积函数为偶函数； 奇（偶）偶（奇）=奇具有不同奇偶性的两个函数的积函数为奇函数。,4、周期性,且,则
5、称,为周期函数 ,若,称 l 为周期。,周期为 ,周期为,【注1】: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,【注2】：,四、复合函数与反函数,（一）复合函数,定义,【注】,（二）反函数,定义,注意：,求反函数的方法：,定理,【注】：,基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。,1、常值函数,2、幂函数,3、指数函数,4、对数函数,五、初等函数,5、 三角函数,6、 反三角函数,【注】重点掌握六个基本初等函数的定义域、值域、性质和图形,六、例题分析,题型一 函数的概念【思路】函数的定义，两要素【注意】一般情况下，判定两函数是否相同时，看两个函
6、数的定义域和值域是否相同即可。【例题】P16： 一、2，3,【例1】 下列函数是否相等？,题型二：求函数的定义域【思路】定义，原则【例题】P9-10：例1，3；P16：一、4；P17：三、4.,【总结】,求f(x)的定义域D,掌握如下原则：1、若f(x)是多项式，则D为R；2、若f(x)含有分式，则其分母不能为零；3、若f(x)含有偶次方根，则根号下的表达式必须大于等于零；4、若f(x)含有对数，则其真数必须大于零；5、若f(x)含有反正弦、反余弦，则取反正弦、反余弦的值的绝对值不能大于1；6、若f(x)含有正切，则取正切的角不能为k+ ；7、若f(x)、g(x)的定义域分别为D1和D2，则函
7、数f(x)+g(x)或f(x)g(x)的定义域为D1D2；8、对于实际问题需保证其有符合题意的实际意义。,题型三 求函数值,【注意】求分段函数某点的函数值时，注意此点所属的定义域区间。 【课本例题】P10：例2 【历年试题】2003,1；2008,11；2011,11,题型四 求函数表达式,【思路】1、代入法；2、换元法；3、凑形式。 【课本例题】P11-13：例1，3，5，7，8，10；P17：三、1,2. 【历年试题】2002,6；2004,1。,【例2】设函数,解:,函数无定义,定义域,值 域,题型五 有关函数性质问题,【思路】定义，图像 【课本例题】P13-14：例1，5；P16：一、5，二、3。 【历年试题】2002,1；2006,4；2008,4；2010,4；2011,4；2012,4 【注意】重点是奇偶性和单调性。,题型六 求反函数,【思路】（1）由原式解出x（2）将x,y对调。 【例题】P15-16：例1；P17：三、3.,【例3】求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,本节结束！,
