1、 第 1 页第一章 集合与函数概念1 1 集合集合教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.1.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示（一）集合的有关概念:定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集） ，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员） 。2.表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母 A,B,C表示，而元素用小写的拉丁字母
2、 a,b,c表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有 “属于 ”及 “不属于 两种)若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a A；若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a A。5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集） ，记作 N；正整数集，记作 N*或 N+；N 内排除 0 的集.整数集，记作 Z； 有理数集，记作 Q； 实数集，记作 R；6.关于集合的元素的特征确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋” （太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） 。 “中
3、国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数” ， “平面点 P 周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.第 2 页互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程(x-2)(x-1) 2=0 的解集表示为 1,-2 ,而不是 1,1,-2无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练 1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：3 大于 3 小于 11 的偶数； 我国的小河流；非负奇数； 某校 2011 级新生； 血压很高的人；7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有 “属于 ”及 “不属
4、于 ”两种)若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a A；若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a A。例如，我们 A 表示“120 以内的所有质数”组成的集合，则有 3A ，4 A，等等。练：A=2，4，8，16，则 4 A，8 A，32 A.8.空集：是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。用符号 或者 表示。注意：是有一个 元素的集合，而不是空集。举例当两圆相离时，它们的公共点所组成的集合就是空集；
5、当一元二次方程的根的判别式值2，(x,y)|y=x 2+1 ()xAp说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数 ，即代表整数集 Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。写法实数集 ，R也是错误的。例 2用描述法表示下列集合：(1)由适合 x2-x-20 的所有解组成的集合;(2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程 的所有实数根组成的集合20(4)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体
6、问题确定采用哪种表示法，要注意， 一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练： 1用适当的方法表示集合：大于 0 的所有奇数2集合 Ax| Z，xN，则它的元素是 。43x3.判断下列两组集合是否相等？（1）A=x|y=x+1与 B=y|y=x+1; (2)A=自然数 与 B=正整数课后作业：1.2.1 集合间的基本关系集合间的基本关系教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。教学重点：集合的交集与并集
7、、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集；1.2.1集合间的基本关系 子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集（subset） 。 记作： 读作：A 包含于 B，或 B 包含 A()或当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 AB(或 BA)B A 表示： B第 5 页用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：2.真子集定义：若集合 ，但存在元素 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集。 AB,xB且记作：A B（或 B A） 读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A）3.集合相等 定义
8、：如果 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，则集合 A 与集合 B中的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，即若 ，则 。且 如：A=x|x=2m+1，m Z，B=x|x=2n-1，n Z，此时有 A=B。4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作： 用适当的符号填空：； 0 ； ； 05.几个重要的结论：空集是任何集合的子集；对于任意一个集合 A 都有 A。空集是任何非空集合的真子集；任何一个集合是它本身的子集；对于集合 A，B，C，如果 ，且 ，那么 。ABC练习 2 N； N； A; 2已知集合 Ax|x 3x20，B1,2，C x|x0，对于一切属于区
9、间 X 上的 x，恒有|f(x)|M，则称f(x)在区间 X 上有界，否则称 f(x)在区间上无界。2.单调性设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D 包含于 I。如果对于区间 D 上任意两点 x1及 x2，当 x1f(x2)，则称函数 f(x)在区间 D 上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数 。设 那么2121,xbax上是增函数；1212()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212()()xffxfff ,)()(21在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则fy0xfxf 0)(xf为减函数.)(xf注：如果函数 和 都是
10、减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数;如果函数)(xfg )(xgf和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数.)(ufy y3.奇偶性对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)= - f(x)，则 f(x)为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做 180 度旋转后不会改变。奇函数的例子有 x、sin(x)、sinh(x)和 erf(x)。对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)= f(x)，则 f(x)为偶函数。几何上，一个偶函数关于 y 轴对称，亦即其图在对 y 轴映射后不会改变。偶函数的例子有| x|、 x2、c
11、os( x)和 cosh(x)。函数奇偶性的判定(定义域对称)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶函数，则)(xfy)()(axfxf)(axfy第 14 页.)()(axfxf注：对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数fyRx)()(xbfaf)(xf;两个函数 与 的图象关于直线 对称.2bax)y2ba注：若 ,则函数 的图象关于点 对称;若 ,则函数()(axff)(xf )0,( )()(axff
12、为周期为 的周期函数.xy4.周期性设函数 f(x)的定义域为 D。如果存在一个正数 T，使得对于任一 有 ，且 f(x+T)=f(x)恒成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为 f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若 D 为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数。周期函数有以下性质：（1）若 T（T0）是 f(x)的周期，则-T 也是 f(x)的周期。（2）若 T（T0）是 f(x)的周期，则 nT（n 为任意非零整数）也是 f(x)的周期。（3）若 T1 与 T2 都是 f(x)的周期，则
13、 也是 f(x)的周期。（4）若 f(x)有最小正周期 T*，那么 f(x)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍。（5）T*是 f(x)的最小正周期，且 T1、T2 分别是 f(x)的两个周期，则 T1/T2Q（Q 是有理数集）（6）若 T1、T2 是 f(x)的两个周期，且 T1/T2 是无理数，则 f(x)不存在最小正周期。（7）周期函数 f(x)的定义域 M 必定是双方无界的集合 。几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()axf)(xf（2） ，或 ，或 ,0f )0()1xfaf 1()(fxaf)0x或 ,则 的周期 T=2a；21()(),(0fxf
14、xff(3) ，则 的周期 T=3a；)(1faff )xf(4) 且 ，则 的周期)()(2121xfxf1212(),0|)fafxa)(xf第 15 页T=4a；(5) ()(2)3(4)fxafxfafx,则 的周期 T=5a；(6) ，则 的周期 T=6a.)()(xfxf)(xf5.函数 的图象的对称性y(1)函数 的图象关于直线 对称 .()fxxa()()fxfa(2)(faxf(2)函数 的图象关于直线 对称y2bmb.()()fabmxf两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yf()yfx0xy(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.
15、xabm2abm(3)函数 和 的图象关于直线 y=x 对称.)(fy)(1xf（4）若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；若将曲a baxfy)(线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.0),(yxfab0),(baxf例 1. 判断下列函数的奇偶性 ； ； ； 。例 2(2002 天津文.16)设函数 f（ x）在（，+）内有定义，下列函数： y=| f（ x）|； y=xf（ x2）； y= f（ x）； y=f（ x） f（ x）。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）答案：；解析： y=（ x） f（ x） 2= xf（ x2）= y； y=f（ x）
16、 f（ x）= y。第 16 页例 3已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2 x)，且 f(x)是偶函数，当 x0，2时， f(x)=2x1，求 x4，0时 f(x)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若 x2，0， x0，2， f(x)为偶函数，当 x2，0时， f(x)= f( x)=2 x1,若 x4，2 ，4+ x0，2 ， f(2+x)+ f(2 x)， f(x)= f(4 x)， f(x)= f( x)= f4（ x）= f(4+x)=2（ x+4）1=2 x+7；综上，点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。例 4已知函数 ，且 ， ，试问，是否存在实数，使得 在 上为减函数，并且在 上为增函数.解： .有题设当 时， ，则 当 时， ，则 故 .第 17 页课后作业：
