1、-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-2015 年高中数学二项式定理专题自测试题【梳理自测】一、二项式定理及特点1(教材改编)若( x1) 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则 a0 a2 a4的值为( )A9 B8C7 D62(12 x)5的展开式中， x2的系数等于( )A80 B40C20 D103(教材改编)二项式 5的展开式中的常数项为( )(x31x2)A10 B10C14 D14答案：1.B 2.B 3.A以上题目主要考查了以下内容：(1)二项式定理(a b)nC anC an1 bC an rbrC bn(nN *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，0n 1n
2、rn n右边的多项式叫( a b)n的二项展开式其中的系数 C (r0,1， n)叫二项式系数rn式中的 C an rbr叫二项展开式的通项，用 Tr1 表示，即通项 Tr1 C an rbr.rn rn(2)二项展开式形式上的特点项数为 n1.各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，C .0n 1n n 1n n二、二项式系数的性质1若 n的展开式中第 3 项的二项式系数是 15，则展开式中
3、所有项系数之和为( )(x12)A. B.132 164C D.164 11282若 n展开式中各项系数之和为 32，则该展开式中含 x3的项的系数为( )(3x1x)A5 B5C405 D405答案：1.B 2.C以上题目主要考查了以下内容：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即 (r0,1， n)Crn Cn rn(2)增减性与最大值：二项式系数 C ，当 k 时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；knn 12-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-当 n 是偶数时，中间一项 C n取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项 C n，C n取得最大值n2
4、n 12 n 12(3)各二项式系数和：C C C C C 2 n；C C C C C C 2 n1 .0n 1n 2n rn n 0n 2n 4n 1n 3n 5n【指点迷津】 1一个防范运用二项式定理一定要牢记通项 Tr1 C an rbr，注意( a b)n与( b a)n虽然相同，但具体到rn它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指 C ，而后者是字母外的部分，前者只与 n 和 r 有关，恒为正，rn后者还与 a， b 有关，可正可负2一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排
5、列组合的知识推导二项式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续3两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：证明与二项式系数有关的等式；证明不等式；证明整除问题；做近似计算等考向一 二项展开式中的特定项或系数例题 1 (1)(2013高考安徽卷)若 8的展开式中， x4的系数为 7，则实数 a_.(x a3x)(2)(2013高考江西卷) 5展开式中的常数项为( )(x22x3)A80 B80C40 D40【审题视点】 根据二项展开式的通项公式，令 x 的次数为 4，则为 x4的项，含 x 的次数为0，则为常数项【典例精讲】 (1)含 x4
6、的项为 C x5 3C a3x4，38 (a3x) 38C a37， a .3812(2)设展开式的第 r1 项为 Tr1 C (x2)5 r rC x102 r(2) rx3 rC (2)r5 (2x3) r5 r5rx105 r.若第 r1 项为常数项，则 105 r0，得 r2，即常数项 T3C (2) 240.25【答案】 (1) (2)C12【类题通法】 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可变式训练1(2014浙江省温州市调研)( )6的展开式中的常数项
7、是_x12x-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-解析：二项式( )6的展开式的通项公式为 Tr1 C ( )6 r( )r( )rC x3 ，x12x r6 x 12x 12 r6 3r2当 r2 时， Tr1 是常数项，此时 T3 .154答案：154考向二 二项展开式的系数和问题例题 2 在(2 x3 y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和【审题视点】 分清二项式系数与项的系数，奇数项与偶数项，正确赋值【典例精讲】 设(2 x3 y)10 a0x10 a1x9y a2x8y2
8、a10y10，(*)各项系数和即为a0 a1 a10，奇数项系数和为 a0 a2 a10，偶数项系数和为 a1 a3 a5 a9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为C C C 2 10.01 10 10(2)令 x y1，各项系数和为(23) 10(1) 101.(3)奇数项的二项式系数和为C C C 2 9，01 210 10偶数项的二项式系数和为C C C 2 9.10 310 910(4)令 x y1，得到a0 a1 a2 a101，令 x1， y1(或 x1， y1)，得 a0 a1 a2 a3 a105 10，得 2(a0 a2 a10)15 1
9、0，奇数项的系数和为 ；1 5102，得 2(a1 a3 a9)15 10，偶数项的系数和为 .1 5102【类题通法】 (1)对形如( ax b)n、( ax2 bx c)m(a， b， cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如( ax by)n(a， bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可(2)若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ，f 1 f 12偶数项系数之和为 a1 a3 a5 .f 1 f 12变式训练-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资
10、讯！-2(2014福建厦门模拟)设(1 x)n a0 a1x anxn，若 a1 a2 an63，则展开式中系数最大的项是( )A15 x2 B20 x3C21 x3 D35 x3解析：选 B.令 x1，则(11) nC C C 64，0n 1n n n6.故(1 x)6的展开式中最大项为 T4C x320 x3.36考向三 二项式定理的综合应用例题 3 (1)求证：122 22 5n1 (nN *) 能被 31 整除；(2)求 SC C C 除以 9 的余数；127 27 27(3)根据下列要求的精确度，求 1.025的近似值(精确到 0.01)【审题视点】 (1)(2)利用二项展开式寻求倍
11、数关系(3)根据展开式适当取舍【典例精讲】 (1)证明：122 22 5n1 25n 12 12 5n132 n1(311) n1C 31nC 31n2 C 31C 10n 1n n 1n n31(C 31n1 C 31n2 C )，0n 1n n 1n显然 C 31n1 C 31n2 C 为整数，0n 1n n 1n原式能被 31 整除(2)SC C C 2 2718 91127 27 27(91) 91C 99C 98C 9C 109 19 89 99(C 98C 97C )2.09 19 89C 98C 97C 是正整数，09 19 89 S 被 9 除的余数为 7.(3)1.025(1
12、0.02) 51C 0.02C 0.022C 0.025150.021.10.15 25 5【类题通法】 (1)利用二项式定理进行近似计算：当 n 不很大，| x|比较小时，(1 x)n1 nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧(3)利用二项式定理证明不等式：由于( a b)n的展开式共有 n1 项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的变式训练3(2012高考湖北卷)设 aZ，且 0 a13，若 512 012 a 能被 13 整除，则 a( )A0 B1C
13、11 D12解析：选 D.512 012 a(521) 2 012 aC 522 012C 522 011C 5202 12 12 012 2 0112(1) 2 011C (1) 2 012 a2 012C 522 012C 522 011C 52(1) 2 01102 12 12 012 2 0112能被 13 整除，且 512 012 a 能被 13 整除C (1) 2 012 a1 a 也能被 13 整除，2 012 a 可取值 12.-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-多次应用二项展开式通项公式搭配不全典型例题 (2012高考安徽卷)( x22) 5的展开式的常数项是( )(1x
14、2 1)A3 B2C2 D3【正解】 利用二项展开式的通项求解二项式 5展开式的通项为：(1x2 1)Tr1 C 5 r(1) rC x2r10 (1) r.r5(1x2) r5当 2r102，即 r4 时，有x2C x2 (1) 4C (1) 45；45 45当 2r100，即 r5 时，有 2C x0(1) 52.5展开式中的常数项为 523，故选 D.【答案】 D【易错点】 ( x22)与 5的各因式的积为常数项，不只是 2 与(1)的积，还有 x2与(1x2 1)x2 的积也为常数【警示】 求几个二项式积的展式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时
15、要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果真题体验1(2013高考重庆卷)使 n(nN )的展开式中含有常数项的最小的 n 为( )(3x 1xx)A4 B5C6 D7解析：选 B.根据二项展开式的通项公式求解Tr1 C (3x)n r rC 3n rxn r，当 Tr1 是常数项时， n r0，当 r2， n5 时成rn (1xx) rn 52 52立2(2013高考全国新课标卷)设 m 为正整数，( x y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，( x y)2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7 b，则 m( )A5 B6C7 D8解析：选 B.先根
16、据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值，再利用组合数公式求解(x y)2m展开式中二项式系数的最大值为 C ，m2 aC .同理， bC .m2 m 1213 a7 b，13C 7C .m2 m 1213 7 . m6. 2m ！m！ m！ 2m 1 ！ m 1 ！ m！3(2013高考四川卷)二项式( x y)5的展开式中，含 x2y3的项的系数是_(用数字作答)解析：利用二项展开式的通项求解-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-(x y)5展开式的通项是Tr1 C x5 ryr，r5令 r3 得 T4C x2y310 x2y3，35二项式( x y)5展开式中含 x2y3项的系数是 10.答案：104(2013高考浙江卷)设二项式 5的展开式中常数项为 A，则 A_.(x 13x)解析：写出二项展开式的通项 Tr1 ，令通项中 x 的指数为零，求出 r，即可求出 A.Tr1 C ( )5 r rC (1) rx ，令 0，得 r3，所以 AC 10.r5 x ( 13x) r5 52 5r6 52 5r6 35答案：10=*以上是由明师教育编辑整理=
