1、Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 蒙城六中 陈涛 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 最值问题始终是高考数学的热点题型之一，而利用基本不等式求函数的最值是应用比较广泛且方便的解题方法。本节课我们将对基本不等式应用过程中的注意事项及常用的变形技巧做简单的梳理。 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 基本不等式 当且仅当 时等号成立 )0,0(2 babaabba 2 ab abab 2222a b a b常用不等式串 当且仅当 时等号成立 ba Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 最值定理 已知 x,y都是正数： （）如果积 是定值
2、 p，那么当且仅当 时，和 有 最小值 （）如果和 是定值 s，那么当且仅当 时，积 有最 大值 xy yx yxpyx yx xy241S定积求和，和最小；定和求积，积最大 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 应用基本不等式应注意的事项 （） 各项必须为正值 （）含变量的各项和或积必须为定值 （）必须有自变量值能使函数值取到“ =”号 “一正 ,二定 ,三相等” Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 题型一 ： 基本不等式的直接应用 例已知 ， 且满足 ，则xy的最大值为 _。 Ryx , yx 分析：因为 x ,y都大于，因此对所给条件直接运用基本不等式即可得
3、到 x.y相应的不等式 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 解： ,0,0 yx34xyyxyx 时取等号，即当且仅当 8,643 yxyx，于是 3xy ，3xy.的最大值为故 xy一正 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 题型二：添项 例函数 的最小值是 （ ） . . . . 16322 xxy 方法提示 对于求和的表达式的最值计算，若要用基本不等式解决，就要努力构造含变量的表达式乘积为定值的结构，我们常通过添项来解决。 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 163:22 xxy解 1622xx 1622 xx 时，等号成立 当且仅当 162
4、2 xx即 m i ny二定 三相等 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 题型三：凑系数 例 3.已知 ，求 的最大值 。 40 x xxy 28 对于求积的表达式的最值计算，若要用基本不等式解决，就要努力构造含变量的表达式的和为定值的结构，我们常通过凑相应的变量系数来解决 。 方法提示 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 解： 028,4 xx xxxxy 2822128 2228221 xx 8时等号成立即当且仅当 2,282 xxx.有最大值从而 y一正 二定 三相等 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 题型三：拆项 例 .当 时，求函数
5、的值域 . 1x1132xxxy方法分析 对于常见的分子为二次式，分母为一次式的分式函数求最值，我们常将分子中的变量凑成分母的形式，然后分离分式，再用基本不等式解决。 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 解： ， 011 xx1132xxxy 11 2xxx 5151 xx 1512 xx552 ，为成立，故原函数的值域时等号即当且仅当 15,51 2 xxCompany Logo 题型四：“”的整体代换 解： xyyx yx 2221 00 ，22122 1 xyxy 即基本不等式的几种应用技巧 的最小 值yx1求1,yx2若,Ryx,已知.例 242221211 xyyx1
6、1 4 2 .xy即 的 最 小 值 为错因： 解答中两次运用基本不等式取 “ =”号过渡，而这两次取“ =” 号的条件是不同的，故结果错 . 正解： yx 11 yxyx 2yxxy 23 223 2 2 .yx yxxy当 且 仅 当 即 时 ， 等 号 成 立122yxxy而222221yxm i n 3 2 2y “ 1” 代换法 的最小 值yx1求1,yx2若,Ryx,已知.例 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 题型五：等号不成立，改用单调性 例 .已知 ，求函数 的最小值 . 20 ， s in2s in y解： ， 1s i n020 s in2s in y s
7、 in2s in2 22.2s i ns i n2s i n等号成立时，时，即当且仅当 Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 .22原函,1s i n0 数不能取最小值 又 你还记得函数 的单调性么？ 0, axaxy 0,1t,t2t则 yt,令s in 单调递减，上0,1在t2ty .,21,s i n时 ，1t当有最小值时即y 3m i n yCompany Logo 小结 利用基本不等式求最值 （） 注意事项：一正，二定，三相等； （） 形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等 式，常用变形方法有： 添项，凑系数，拆项， “”的代换等方法 . （） 取不到等号时，用函数单调性求最值 . 即 , 0 , 0 2a b a b a b 一 不 正 常 用,二不定需变形,三不等常用单调性Company Logo 基本不等式的几种应用技巧 练一练 .24,2.1 的最大值求函数已知 xxyx 有最 则函数 若 228,20. xxyx 值 ，此时 x= .43,0. 2 的最大值求函数已知 xx xyx.45.22的最小值求函数xxyCompany Logo 基本不等式的几种应用技巧
