1、第7讲 程向红,二阶系统的时域分析 二阶系统性能指标,上讲回顾,稳准快 动态性能指标 延时时间、上升时间、峰值时间、调节时间和最大超调量,一阶系统时域分析 阶跃响应、冲击响应、斜坡响应、加速度响应,控制系统的分析方法,分析控制系统第一步 建立模型第二步 分析控制性能，,分析方法包括时域分析法 频域分析法 根轨迹法,第三章 线性系统的时域分析法,本讲,动态性能指标,延迟时间 ： （Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间 （Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快,峰值时间 （Peak Time）：响应曲线
2、达到过调量的第一个峰值所需要的时间。,动态性能指标,调节时间 ： （Settling Time） 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作， 超调量 （Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即,或,评价系统的响应速度；,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,评价系统的阻尼程度。,表3-1一阶系统对典型输入信号的响应,微 分 ,微 分 ,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件
3、确定。,3.3 二阶系统的时域分析 Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems,二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型 随动系统A Servo System（位置控制系统）如图3-6所示。,该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。,输入电位计电刷臂的角位置,，由控制输入信号确定，角位置,就是系统的参考输入量
4、，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置,，由输出轴的位置确定。,电位差,就是误差信号。,桥式电位器的传递函数,该信号被增益常数为,的放大器放大，（,应具有很高的输入阻抗和很低的,输出阻抗） 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。,电动机激磁绕组上加有固定电压。 如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。,(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：,（3-10）,电动机的转矩系数,为电枢电流,对于电枢电路,（3-11）,电动机电枢绕组的电感和电阻。,电动机的反电势常数，,电动机的轴的角位移。,电动机的力矩平衡方程为：
5、,（3-12）,J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。,（3-13）,开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1,（3-14）,如果略去电枢电感,（3-15）,增益,阻尼系数，由于,电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。,开环增益,机电时间常数,不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：,（3-16）,不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：,（3-16）,相应的闭环传递函数,（3-17）,为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式,（3-18）,
6、自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示,（3-18）,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的动态特性，可以用,和,加以描述,二阶系统的特征方程：,（3-19）,（3-20）,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems,阻尼比,是实际阻尼系数F与临界阻尼系数,的比值,临界阻尼系数，,时，阻尼系数,两个正实部的特征根 发散,，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，欠阻尼系统,，为两个相等的根,，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡,，两个不相等
7、的根,(1)欠阻尼(,)二阶系统的单位阶跃响应,令,衰减系数,阻尼振荡频率,，由式（3-18）得,（3-18）,对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为,（3-21）,稳态分量 瞬态分量,稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差， 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为,阻尼振荡频率,包络线,决定收敛速度,时，,（3-23）,这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为,故称为无阻尼振荡频率。,由系统本身的,结构参数确定,(2)临界阻尼(,),临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,（3-24）,当,时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无
8、超调单调上升过程，,(3)过阻尼( ),（3-25）,图3-11表示了二阶系统在不同,值瞬态响应曲线（书上图3-10 P87）,3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标 欠阻尼情况,在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,二阶系统一般取,其它的动态性能指标，有的可用,精确表示，如,有的很难用,准确表示，如,可采用近似算法。,在式（3-21）中，即,令,书P88，在较大的,值范围内，近似有,（3-26）书（3-19）式,时，亦可用,（3-27）（书3-20）,，求得,（3-28）（3-31书）,一定，即,一定，,响应速度越快,对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得,（3-21）,根据峰值时间定义，应取,(书3-22),对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得,（3-21）,超调量在峰值时间发生，故,即为最大输出,(3-30)(书3-23),时，,时，,时，,当,时,调节时间,的计算,小结,二阶系统的时域分析,
