1、第七章 非线性系统的分析, 本章主要内容与学习重点,7-1 非线性系统的基本概念,7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析,7-3 非线性特性的相平面分析,7-4 非线性系统的一种线性近似表示描述函数,7-5 典型非线性系统的描述函数,7-6 分析非线性系统的谐波平衡法,7-7 非线性系统的串、并联及系统的变换,7-8 非线性系统的计算机仿真,本章主要内容本章介绍了非线性系统的基本概念、常见的几种非线性环节的特点及其对系统的影响，主要阐述了如何利用描述函数法对非线性系统进行分析，同时简要介绍了改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用。,本章重点要求正确理解非线性系统与线性系统的差异，重点掌握
2、利用描述函数法对非线性系统进行分析，了解非线性系统的特点。,7-1 非线性系统的基本概念,非线性系统的数学描述在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，称此系统为非线性系统。,图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的 物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。 弹簧力的特性如图7-1-1b所示。,图 7-1-1 a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统,图 7-1-1 b) 弹簧力的非线性特性,考虑到作用于质量m上的全部力，其运动 可用下面的非线性微分方程描述：,(7-1-1),描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程，其形式为,为了求非线性系统的时域响应，必须求出式
3、(7-1-2) 的解。,通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与 非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。,图7-1-2 非线性系统框图的基本形式,式(7-1-1)描述的系统，也可以用图7-1-3所示的框 图表示。,图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图,当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将 系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非 线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。,非线性特性的分类,图 7-1-4 典型非线性特性,1、死区特性,如图7-1-4a所示，其数学描述是,(7-1-3),死区（不灵敏区）特性的影响增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 减小了系统的开环增益，提
4、高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。,2、饱和特性,如图7-1-4b所示，其数学描述是,(7-1-4),饱和特性的影响使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。使系统的快速性和稳态跟踪精度下降,3、间隙特性,如图7-1-4c所示，其数学描述是,(7-1-5),间隙（回环）特性的影响降低了定位精度，增大了系统的静差。使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。,4、继电器特性,如图7-1-4d所示，其数学描述是,(7-1-6),继电器特性的影响 理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。 可利用继电控制实现快速跟踪。 带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、
5、饱和非线性特性的综合效果。,当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如 图7-1-5a所示。,如果在式(7-1-6)中，参量m=1，即继电器的吸合 电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的 单值继电器特性，如图7-1-5b所示。,图7-1-5 几种特殊的继电器特性,如果在式(7-1-6)中，参量m=-1，即继电器的正向 释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回 环的继电器特性，如图7-1-5c所示。,非线性系统的特点,1、稳定性,非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅 取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的 初始状态有关。,例7-1-1 比
6、较以下两个系统的特征。其一为线性 系统，描述其运动的微分方程为,另一为非线性系统，其微分方程为,解,分析比较两者的时间响应。,非线性系统的解是,非线性系统的时间响应如图7-1-6所示。,图7-1-6 非线性系统的时间响应,非线性系统的运动形式，即时间响应的特征与线 性系统一样，都是在t=0时，,随着时间的,增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也 是稳定系统 。,线性系统的响应仍与,但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散,2、系统的自持振荡,在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定 振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。,例 7-1-2 范德波尔方程是,现分析其响应的特征。
7、,解,二阶系统的微分方程是：,将此方程与范德波尔方程比较可知：,图7-1-7 非线性系统的自持振荡,3、频率响应畸变,对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通 常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数， 周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳 跃谐振、倍频和分频振荡等现象。,图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性 元件后，其响应发生畸变的情况。,图7-1-8 间隙特性的正弦响应,7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析,二阶线性系统的特征,二阶线性系统的微分方程为,(7-2-1),(7-2-2),合并以上两式，得到,(7-2-3),另一方面，式(7-2-1)的特征方程为,(7-
8、2-4),于是特征根为,下面分别情况加以分析：,分离变量后，对上式等号两侧分别积分得,上式所表示的系统的相轨迹是一族同心的椭圆，每一椭圆对应一个简谐运动(参见图7-2-1a)。在相平面原点处有一孤立奇点，被周围封闭的椭圆曲线包围。此种奇点称为中心点。,位于根平面左半部的一对共轭复根。系统的零输入 响应呈衰减振荡，最终趋于零。对应的相轨迹是对 数螺旋线，收敛于相平面原点(参见图7-2-1b)。此 种奇点称为稳定的焦点。,位于根平面左半部的两个负实根，这时系统的零输 入响应是随时间非周期地衰减到零。对应的相轨迹 是一族趋向相平面原点的抛物线(参见图7-2-1c)。相 平面原点为奇点，并称其为稳定的
9、节点。,系统的零输入响应也是非周期发散的。相应的相 轨迹如图7-2-1d所示。此种奇点称为鞍点。,共轭复根。系统的零输入响应是发散振荡的。对应 的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线(参见 图7-2-1e)。此种奇点称为不稳定的焦点。,正实根。系统的零输入响应为非周期发散的， 对应的相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛 物线族(参见图7-2-1f)。此种奇点称为不稳定的 节点。,二阶非线性系统的特征,二阶非线性自治系统在零输入情况下，其数学描 述可写为,(7-2-5),(7-2-6),式(7-2-5)、式(7-2-6)所表示的系统的平衡点是0，0。 根据泰勒定理，将函数 展开成下式,(7-2-7
10、),于是，式(7-2-5)、式(7-2-6)在其平衡点0，0附 近小范围内线性化方程为,(7-2-8),显然，线性化系统的平衡点仍为0，0,在大多数情况下，这种线性化系统的相轨迹与原 非线性系统的相轨迹在相平面原点（平衡点）某,个适当小范围内有着相同的定性特性。表7-2-1总 结了这些情况。,表7-2-1 线性化系统与非线性系统的相轨迹特征,解,例 7-2-1 范德波尔方程是,试分析其相轨迹的特征。,(7-2-9),则范德波尔方程可写成下列形式,(7-2-10),(7-2-11),相平面原点0，0是系统的平衡点。,将式(7-2-11)与式(7-2-2)比较可知：,此非线性系统在平衡点附近小范围
11、线性化方程为,(7-2-12),图7-2-2范德波尔方程在,时的相轨迹,7-3 非线性系统的相平面分析,用相轨迹分析非线性系统,用相平面法分析含有非线性特性的二阶系统简单 易行，能得到比较直观明确的结论。下面将举例 说明。,例7-3-1 试分析图7-3-1所示含有继电器的非线性 系统。其中继电器特性部分的参量是a=0.2，m=0.5， M=0.2，线性部分的参量K=5。,解 线性部分的方程为,图7-3-1 例7-3-1 的系统框图,用相平面分析系统时，可将外部参考输入考虑为 r=0，令 ，于是得到线性部分的相变量方程 为,(7-3-1),非线性部分应划分区域列写方程：,归纳以上可见,(7-3-
12、2),现用等倾线法绘制系统的相轨迹，由式(7-3-1)知， 相轨迹上等倾线方程为,将图7-3-2所示之相平面分为三个区域，三个区域 的转换线分别由,(7-3-3),在区内，y=-M，故等倾线方程为,在区内，y=0,在区内，y=M,下面将分别讨论系统线性部分的参量K、非线性 部分的参量M、a、m对系统性能的影响。,图7-3-2 例7-3-1 系统的相轨迹,按照前述方法，在三个区域内分别画出等倾线， 然后作出初始状态为(0.6，0)且K=2时系统的相 轨迹，如图7-3-3中的相轨迹所示。,1、减小线性部分增益K,由一个非周期环节和一个积分环节构成的线性部分与继电器特性串联后组成的非线性系统，线性部
13、分的增益达到一定数值后，该非线性系统产生自持振荡。减小线性部分的增益将是消除系统自持振荡的措施之一。,图7-3-3 例7-3-1 系统在减小K值时的相轨迹,2、减小继电器特性的输出幅值M,3、增大继电器特性的死区宽度参量a,根据式(7-3-3)知，决定系统相轨迹等倾线的斜率值 是乘积KM值，所以减小M值与减小K值对系统性能 的影响一样。,如图7-3-2中的虚线所示，随着时间的推移，相轨迹 最终收敛到平衡状态A点。增大a值与减小M值或K 值对系统有相同的影响。,4、增大继电器特性回环宽度参量m,如图7-3-2中的点画线所示，增大m值缩小继电器 特性的回环宽度，对抑制和消除系统自持振荡有 良好的效
14、果。,7-4 非线性特性的一种线性近似表示 描述函数法,考虑一非线性环节N，其输入为x(t),输出为n(t).现 找出一个线性函数y(t)去逼近n(t),并且要求按照某 种准则衡量，这种逼近应是最佳的。(参见图7-4-1)。,用来逼近非线性环节的线性环节能用卷积分公式 表示其输出y(t)与输入x(t)之间的关系：,图7-4-1 最佳逼近示意图,g(t)应满足,(7-4-1),式中 g(t)线性环节的脉冲响应函数。,选择线性函数y(t)的依据：,(7-4-2),式中 e最小值以外的均方误差值。,根据式(7-4-2)及式(7-4-3)可有,(7-4-3),(7-4-4),根据式(7-4-4)可见，
15、只有其被积函数中关于函数,非负。由此可知必须有,的一次项恒等于零，式(7-4-4)才为,(7-4-5),将式(7-4-1)代入式(7-4-5)得,考虑到线性方程交换积分顺序不会影响结果，式 (7-4-6)可写成,(7-4-6),为使上式对所有的都 成立，故必须有,或,式(7-4-7)就是按照使均方误差为最小的准则，实 现y(t)与n(t)最佳逼近的充分必要条件。,(7-4-7),针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Xsint,无记忆非线性环节的输出n(t)也应是周期函数，用傅立叶级数表示为,(7-4-),(7-4-),将式(7-4-9)代入式(7-4-7)的等式右侧，则有,(7-4-10),
16、(7-4-11),(7-4-12),因此，在正弦函数输入下，非线性环节的最佳 线性化可以表示为：,(7-4-13),式(7-4-13)称为非线性环节的描述函数，或称 非线性环节的等效增益,更一般的情况下，非线性环节N的特性是对称的，但其输出不一定都是几奇函数，这时y(t)的基波分量为,(7-4-14),因此，非线性环节的描述函数或等效复数 增益为：,(7-4-15),描述函数N(x)表示了非线性环节的输入为正弦函数时，输出中的基波分量与输入在幅值和相位上的相互关系，类似于线性环节的频率特性。,7-5 典型非线性特性的描述函数,饱和特性的描述函数,若非线性环节具有饱和特性，如图7-5-1，输入
17、为正弦信号,输出为,(7-5-1),图7-5-1 饱和特性及其正弦响应,将式(7-5-1)代入式(7-4-14)，得到,(7-5-2),由此得到饱和特性的描述函数为,非线性环节的输出基波分量则为,(7-5-3),故有,显然，只有当Xa时研究饱和才有意义。,实用上常将描述函数表示为X/a的函数，而且将其中与线性部分增益有相同作用的参量K0分离出来，于是有,(7-5-4),在分析非线性系统时，为与系统线性部分配合是使 用线性理论的某些结论，经常应用“负倒相对描述 函数 ” ，并将其写成与线性系统中幅相 频率特性类似的形式，即,(7-5-5),应强调指出，描述函数虽然可以写成与频率特性 类似的形式，
18、但其变量不是频率，而是非线性特 性的参量及输入正弦信号的振幅。,(7-5-6),表7-5-1列出了饱和特性的负倒相对描述函数的幅值、相角与变量X/a之间的数值关系。,表7-5-1饱和特性的负倒幅相特性,图7-5-2 饱和特性的负倒幅相特性,与线性系统的对数频率特性类似，也可以绘制负 倒对数幅相特性，如图7-5-3。,图7-5-3 饱和特性的负倒对数幅相特性,如将非线性系统的描述函数视为复数增益，则饱 和特性的描述函数是一个实数增益，其值总小于 1，或者说饱和特性的增益总是小于其线性段的 增益K0 ，随着输入信号幅值增大，其等效增益 愈低。,死区特性的描述函数,若非线性环节具有死区特性，如图7-
19、5-4，输入 为正弦信号,输出为,(7-5-7),图7-5-4 死区特性及其正弦响应,根据式(7-4-14)可以得到,由于,故得,于是死区特性的相对描述函数为,(7-5-8),表7-5-2列出了死区特性的负倒相对描述函数的幅值、相角与变量X/a之间的数值关系。,表7-5-2死区特性的负倒幅相特性,图7-5-5是死区特性的负倒幅相特性。当X/a=1时，它 起始于负实轴上无限远处，随着X/a增加，它沿着负 实轴趋向于(-1,j0)点。图7-5-6是死区特性的负倒对数 幅相特性。,图7-5-6 死区特性的负倒幅相特性,间隙特性的描述函数和继电器特性的描述函数请参见教材301页304页,表7-5-3理
20、想继电器特性的负倒幅相特性,理想继电器特性的负倒幅相特性见表7-5-3,非线性特性的描述函数的特点是，它表示了在正弦输入信号下，输出信号的基波分量与输入之间在幅值和相位上的相互关系，也就是包含有等效增益及等效相移两方面的信息。,7-6 分析非线性系统的谐波平衡法,图7-6-1是通常的非线性系统框图，其中线性 部分的频率为G(j),非线性部分的算子以,表示，非线性部分的输出为n(t)。根据系统的 结构有,图7-6-1 非线性系统的框图,式中 g(t)系统线性部分的单位脉冲响应函数,当非线性系统存在自持振荡时，即系统在输入为零的情况下，存在稳定的振幅与频率的周期解，则下列关系式成立：,由于c(t)
21、中包含有多次谐波，则等式两侧对应的 各次谐波应该相等，这就是谐波平衡原理。对于 c(t)中的基波必然有,求上式的拉普拉斯变换，即,(7-6-1),(7-6-2),(7-6-3),考虑到式(7-5-4),又可将式(7-6-3)写成,(7-6-4),式(7-6-4)说明，非线性系统存在自持振荡的必要 条件是，系统的非线性部分的负倒相对幅相特性 与线性部分的等效频率特性相等。或者写成幅值 与相角条件，即是,(7-6-5),此即谐波平衡的基本原理，它可以作为非线性 系统能够形成自持振荡的必要条件。,为了得到非线性系统存在自持振荡的必要而且充 分的条件，可以进一步将非线性系统与线性系统 对比分析。线性系
22、统的闭环特征方程是,对于非线性系统，可以从式(7-6-4)分析。,图7-6-2 判别非线性系统的稳定性,图7-6-2 判别非线性系统的稳定性,分析a点对应的周期振荡的性质。,用同样的方法可以判别交点b对应的周期振荡不稳定。,例7-6-1 一具有间隙特性的非线性系统，如果其线性 部分的等效传递函数是,试用谐波平衡法分析系统的自持振荡情况。,解 分析几种情况,图7-6-3 例7-6-1系统的幅相特性,7-7 非线性环节的串、并联及系统的变换,系统线性部分的变换与集中,图7-7-1 是多哥线性环节和一个非线性环节组成 的非线性系统。如将汇合点移动之后，最后可以 变换为如图7-7-1c所示系统。由于感
23、兴趣的只是 分析非线性系统是否存在自持振荡，则实际上图 7-7-1c中最后一个线性环节 是不必要的， 即此非线性系统中的线性环节集中后的传递函数 应是,a),b),c),图7-7-1 非线性系统中线性部分的变换与集中,非线性环节串联的特性,两个非线性环节串联，与线性环节串联的性质 类似，前一环节的输出为后一环节的输入，图 7-2-2给出了两个非线性换环节串联组成的情况。 根据串联的原理，可以用作图方法求得串联后 的非线性特性，如图7-7-3所示。由图不难看出， 死区参量,线性部分的增益,饱和值则有,图7-2-2 非线性环节串联,非线性环节串联后的等效非线性环节的特性与 两个环节的前后顺序有关，
24、改换前后次序则等 效特性也会变化。,图7-7-3 两个非线性环节串联后的特性,非线性环节并联的特性,图7-7-4 两个非线性环节并联,图7-7-4表示两个非线性环节的并联情况，如输 入为x，则输出为 ，这与线性环节 并联时的情况一样。图7-7-4所示两个非线性环 节并联后的等效非线性特性将因两个环节的死区 参量 不同而有差异。,图7-7-5 并联后的等效非线性特性,图7-7-5 并联后的等效非线性特性,图7-7-5 并联后的等效非线性特性,7-8 非线性系统的计算机仿真,例7-8-1 有饱和非线性的系统框图如图7-8-1 。 其中饱和非线性的输入、输出满足下式,分析饱和非线性对系统暂态响应的影
25、响。,图7-8-1 有饱和非线性的系统,解 打开SIMULINK图形窗口后首先用 SIMULINK的模块库建立如图7-8-2所示 的系统模型，其中Sum模块,在数学(Math)库中，In1模块和Out1模块 在信号与系统(Signals & Systems)库中， 两个传递函数模块从线性系统(Linear)库 中调入。双击饱和非线性模块，将上限 和下限设为1和-1。,图7-8-2 例7-8-1 系统的SIMULINK仿真模型,将模型保存为文件名为exmp1.mdl的模型文件。,如果系统中没有饱和非线性，当给定输入阶跃 信号的幅值改变时，暂态响应的最大超调量是 不变的。为了分析饱和非线性对系统的
26、影响， 分别求阶跃输入从1变化到6，间隔为1时系统的 响应和最大超调量。,回到MATLAB窗口，并键入下列命令：,执行后将显示如图7-8-3所示的响应曲线。,图7-8-3 不同幅值阶级跃信号下的系统响应,为了得到不同幅值阶跃信号下系统暂态响应的最 大超调量，计算如下：,sy=size(yy);yss=yy(sy(1),:); mp=100*(max(yy)-yss)./yss,显示的结果是：,mp=37.6548 34.6111 31.422329.5730 29.7324 30.7281,小结本章介绍了非线性系统的两种设计方法：描述函数法、相平面法。它们都是用工程作图的方法分析解决问题。,描
27、述函数法：把非线性特性基波传递关系做为它的替代公式，所以只适用于非线性程度较低和特性对称的非线性元件，还要求线性部分具有良好的低通滤波器特性。,相平面法能精确地分析系统，但系统的阶次仅限于二阶或低于二阶。 非线性系统用框图表示时，线性部分和非线性部分可分离的系统称为基本形式的系统。 正确的认为引入非线性系统可改善系统性能的问题。 用SIMULINK的图形化建模方法对非线性系统建立仿真模型，并在SIMULINK环境下仿真，既可不受系统中线性部分的阶次的限制，又能直观准确地求出非线性系统的响应。,习题,习题7-1,设系统如图7-1所示，其中继电器非线性特性的a=0。用谐波平衡法分析系统是否存在自持
28、振荡？如存在，试求出系统自持振荡的基波振幅和频率的近似值。,图7-1 题7-1图,设非线性系统如图7-2所示，已知非线性环节 的描述函数 ，当,图7-2 非线性系统,习题7-2,解 由题意,及相应的幅值,图7-3 稳定性分析,(3)非线性环节及K对稳定性的影响：,当非线性环节时，对于(1)，,系统不稳定；对于(2)，K对稳定性无影响。,当有非线性环节时，对于(1)，K值大小不 能改变系统存在稳定的自振状态，K值越大， 自振振幅越大；对于(2)，系统始终稳定，不受 K值影响。,习题7-3,设饱和非线性系统如图7-4所示，饱和非线性 描述函数曲线如图7-5所示。试求,图7-4 饱和非线性系统,(1)系统稳定时K的最大值kmax ； (2)K=3时，系统自激振荡的振幅与频率。,解 (1)确定系统稳定时的kmax,其幅频与相频为,图7-5 描述函数,(2)确定自振参数,习题7-4,设非线性系统如图7-6所示，试大致画出c(0)=-3，r(t)=1 (t)的相轨迹图。,图7-6 非线性系统,解 由图知,而,且有,故系统分段线性微分方程为,可知，等倾线是一簇过原点的直线。,图7-7 相轨迹,
