1、随机信号处理教程,献给进入信息领域学习的你！,随机信号处理教程,第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程,第六章 随机信号通过非线性系统,1,2,3,4,引言,直接分析法,特征函数法,级数展开法,6.1 引言,如果在某一给定时刻，系统的输出响应 只取决于同一时刻的输入激励 而与 的任何过去值无关，或者说 可以表示成同一时刻系统的输入 的函数(6.1.1)则这个系统就是无惯性非线性系统。 对于无惯性非线性系统的非线性传输特性，就一般情况而言，往往要通过实验
2、方法获得(如电子管、半导体器件的伏安特性曲线)，然后采用适当的渐近方法，如用多项式，折线或指数等来逼近，以便分析计算。本章针对无惯性的时不变非线性系统，介绍几种常用的随机信号通过非线性系统分析方法。,6.2 直接分析法,所谓直接分析法，就是运用概率论中有关随机变量函数变换的分析方法及各种结果来分析随机信号通过非线性系统的问题。这种方法的特点是简单、直观。 如果已知输入随机信号 的概率密度函数，则根据非线性系统的传输特性 ，采用第一章求解随机变量函数的概率分布的方法，确定输出随机信号 的概率密度函数。,6.2 直接分析法,设输入随机信号 的一维概率密度函数为 ，如果非线性系统的传输特性 是单调函
3、数，则输出随机信号的一维概率密度函数为(6.2.1) 式中 是 的反函数。如果传输特性 是非单调函数，可将传输特性分为n个单调的函数区间，则输出随机信号 的一维概率密度函数为,6.2 直接分析法,输出随机信号的均值 和自相关函数也可以由输入随机信号的概率密度函数确定。其均值为(6.2.3) 同理，可得输出随机信号 的n阶矩为(6.2.4) 输出随机信号 的自相关函数为(6.2.5) 式中， 为输入随机信号的二维概率密度函数。,6.2 直接分析法,平方律检波器输出端 功率谱密度的一般公式,直流部分,交流部分,6.3 特征函数法,若 为某非线性系统的传输特性，函数 在任意有限区间分段光滑(即 分段
4、连续)，且满足绝对可积条件，即(6.3.1) 那么传输特性 的傅里叶变换 存在，且(6.3.2) 于是，非线性系统的输出特性，可以借助于傅里叶反变换得到(6.3.3) 我们称 为该非线性系统的转移函数。,6.3 特征函数法,我们可以将 乘以 ( )，使辅助函数 满足绝对可积条件（注意，当x0时， =0）。因此，辅助函数 的转移函数 存在，有(6.3.4) 这样，我们对式(6.3.4)令 ，则原传输特性 的转移函数 为(6.3.5),6.3 特征函数法,在实际中，还存在非线性系统的传输特性在 上不绝对可积，且当 时 不为零的情况。这时，式(6.3.4)就不能用了。因为该式是在傅里叶积分的下限限制
5、为零的前提下引入了衰减因子 ( )后得出的，否则，在 的范围内 变成增长因子，不但不起收敛作用，反而使积分更快地发散。这种情况下，我们可定义半波传输特性为(6.3.13)(6.3.14)于是有(6.3.15),6.3 特征函数法,根据自相关函数的定义，非线性系统输出端的相关函数为(6.3.20)非线性系统的传输特性为(6.3.21)那么，非线性系统的输出 可表示为(6.3.22)因此，非线性系统输出端的相关函数为(6.3.23)式中 为随机信号 的二维特征函数,6.3 特征函数法,当输入 是零均值的正态噪声时，它的二维特征函数为(6.3.27)为了分析简便，我们设 、 。将式(6.3.27)代入式(6.3.26)得(6.3.28)将 展成级数(6.3.29)因此，当输入是零均值的高斯噪声时，非线性系统输出端的自相关函数可以写成(6.3.30),6.4 级数展开法,这种方法是将非线性系统的传输特性展开成多项式的形式，以使非线性系统输出随机信号的矩函数，可以用输入随机信号的各阶矩函数的线性组合来表示。 设输入随机信号为 ，于是，非线性系统输出随机信号 可表示为(6.3.32),6.4 级数展开法,均值,均方值,自相关函数,Thank You !,
