1、穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了 f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过 6 个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用穿根法，又称序轴标根法，
2、是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。一、 原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0 （或0 （或0 的解；而 x1 左边的点都是小于 x1 的点，即是 x-x10 （或0，处于(x 1,x2)内的点满足 f(x) 0；而当点 x=a 从 x2 右侧移动到左侧时，x-x 2 变为负值，而 x-x1 符号不变，
3、所以有 f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点 x=a 从 x1 右侧移动到左侧时，x-x 1 由正变负，而 x-x2 符号不变，所以 f(x)又一次变号，此时由负变正。总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。(2) x1=x2时，即形如 f(x)=(x-x1)2时显然，(- ,x1)与( x 1 ,+) 都是 f(x) 0 的解。而若动态的考察此问题，则有点 x=a 从 x1 右侧移动向左侧移动时，由于平方项内的 x-x1 由正到 0 又到负，所以 f(x)经历了由正到 0 又回到正的过程。故而 f(x)在 x1 两侧符号同正，只有在 x=x1 处为 0。（三） 高次不等式标
4、准形式：f(x)=(x-x 1)(x-x2)(x-xn)0 （或0；而当点 x=a 从 xn 右侧移动到左侧时，x-x n 符号变化，而其余任一 x-xi 均不变号，所以有 f(x)由正变负；类似可得：对任一 i，当点 x=a 从 xi 右侧移动到左侧时，x-x i 符号变化，而其余每个 x-xj (ji)都不变号，所以有 f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，由于每过一个 xi 都恰有一个因式 x-xi 变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。(2) x1x 2x n且有等号成立时其标准形式可写为f(x)=(x-x1)m1(x-x2)
5、 m2(x-xn) mn 0 （或0，其中 f(x)为 x 的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：（1）整理原式化为标准型 把 f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn 0（或0 解集，在序轴下方的曲线对应的区间为 f(x)0 或 f(x)/g(x)0 f(x)g(x)0 f(x)/g(x)120解：将原不等式变形：(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)-1200(x2-5x+4)(x2-5x+6)-1200(x2-5x)2+10(x2-5x)-960(x2-5x+16)(x2-5x-6)0(x2-5x+16)(x-6)( x+1
6、)0x 2-5x+16 恒大于零，于是得与原不等式同解的不等式(x-6)( x+1)0对此也可用穿根法解决，如图所以，原不等式的解集是：(-,-1) (6,+)例 4 解不等式： (3x-5)/( x2+2x-3) 2解：原不等式 (3x-5-2x2-4x+6)/(x2+2x-3)0(2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)0 (2x2+x-1)/(x2+2x-3)0 (x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)0 (x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)0 且 (x+3)(x-1)0 如图，用穿根法，注意区分实点和虚点，可得原不等式解集为：(- ,-3)-1，1/2(1,+ )例
7、5 解关于 x 的不等式：(x-1)(x-t)1 时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(1,t)例 6 若 a1，解关于 x 的不等式 (x-a)/(x+1)(x-1)0解：1) a1 时，如图用穿根法，原不等式解集为：(- , -1)(1, a说明：解整式、分式不等式注意事项，可记以下口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号。四、 小结穿根法通过序轴、标根、穿根线及区间正负标志，形象的表示f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)值的符号变化规律，较好体现了数形结合的思想，具备直观明晰的优点。它还有数轴标根法、区间法，根轴法等名称，但相对来说，用“序轴标根法” 作为学名比较确切，简称为“ 穿根法” 较为形象。此方法通用性强，思想方法灵活独特、易于领会。它主要用于解一元高次不等式和分式不等式，对于一元一次、二次不等式，也一样适用。系统地了解领会此方法的原理应用、来龙去脉，对于学生提高数学思维素质和解题水平，具有重要意义。
