1、穿根法解高次不等式一方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).数轴上方曲线对应区域使“”成立, 下方曲线对应区域使“0根据穿根法如图不等式解集为x x2 或 x2.13 12【例 2】 解不等式：(1)2x 3-x2-15x0；(2)(x+4)(x+5) 2(2-x)30【分析】 如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)0(或 f(x)0)可用“穿根法”求解，
2、但要注意处理好有重根的情况解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0顺轴然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(51)的阴影部分(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30原不等式解集为x|x-5 或-5x-4 或 x2【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中 x 的系数必为正；对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”其法如图(52)二数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为 0。（注意：一定要保证 x 前的系数为 正数）例如：将 x3-2x2-x+
3、20 化为(x-2)(x-1)(x+1)0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“0 的根。在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。运用序轴标根法解题时常见错误分析 当高次不等式（）（或
4、）的左边整式、分式不等式 （）（）（或）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（）（）（）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间（）、 （）（）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图。运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： 出现形如（）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例 解不等式（）（）（）。解 （）（）（），将各根、依次标在数轴上，由图可得原不等式的解集为或或。事实上，只有将
5、因式（）变为（）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：解 原不等式变形为（）（）（），将各根、依次标在数轴上，由图，原不等式的解集为或。 出现重根时，机械地“穿针引线”例 解不等式（）（）（）解 将三个根、标在数轴上，由图得，原不等式的解集为或。这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：解 将三个根、标在数轴上，如图画出浪线图来穿过各根对应点，遇到的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集且 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”例 解不等式（）（）（ ）解 原不等式变形为（）（）（）（ ），有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。解 原不等式等价于（）（）（）（）， 对一切恒成立， （）（）（），由图可得原不等式的解集为或或
