1、2019年9月3日,材料力学,第二章 轴向拉伸和压缩,第二章 轴向拉伸和压缩,2.1 轴向拉伸与压缩的概念,2.2 内力.截面法.轴力及轴力图,2.3 应力.拉（压）杆内的应力,2.4 拉(压）杆的变形.胡克定律,2.5 拉（压）杆内的应变能,2.9 应力集中的概念,2.7 强度条件.安全因素.许用应力,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。,屋架结构简图,2.1 轴向拉伸与压缩的概念,桁架的示意图,受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆,（未考虑端部连接
2、情况）,2.1 轴向拉伸与压缩的概念,2-2 内力截面法及轴力图,材料力学中所研究的内力物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。,. 内力,根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。,通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。,. 截面法轴力及轴力图,FN=F,（1）假想地截开指定截面；,（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；,（3）根据分离体的平衡求出内力值。,步骤：,2-2 内力截面法及轴力图,横截面mm上的内力FN其作用线与杆的轴线重合 (垂直于横截面并通过其形心)轴力。无论取横截面 mm的
3、左边或右边为分离体均可。轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定:当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力 指向截面产生缩短变形为负。,轴力背离截面FN=F,2-2 内力截面法及轴力图,用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。,轴力指向截面FN=-F,2-2 内力截面法及轴力图,轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。,2-2 内力截面法及轴力图,例 试作此杆的轴力图。,等直杆的受力示意图,(a),2-2 内力截面法及轴力图,为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN,为方便，取横截面11左边为分离体，假设
4、轴力为拉力，得 FN1=10 kN(拉力),解：,2-2 内力截面法及轴力图,为方便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。,FN2=50 kN(拉力),FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力),2-2 内力截面法及轴力图,轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。,思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？,2-2 内力截面法及轴力图,例：试作此杆的轴力图。,解：,2-2 内力截面法及轴力图,2-2 内力截面法及轴力图,2-2 内力截面法及轴力图,30kN,20kN,30kN,例：杆受力如图所示。试
5、画出杆的轴力图。,BD段：,DE 段：,AB段：,解：求各段内力。,内力的大小与杆截面的大 小无关，与材料无关。,40kN,20kN,10kN,2-2 内力截面法及轴力图,一点的应力：,平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度。,应力：由外力引起的内力集度。,.应力的概念,2-3 应力拉(压)杆内的应力,应力的国际单位：Pa (帕)， 称为帕斯卡。,应力 p可以分解:,垂直于截面的分量 正应力,平行于截面的分量切应力,1N/m2= 1Pa 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa,2-2 内力截面法及轴力图,总应力 p,法向分量,正应力s,某一截面上法向分布内力在某一点处的集度,切
6、向分量,切应力t,某一截面上切向分布内力在某一点处的集度,2-3 应力拉(压)杆内的应力,.拉(压)杆横截面上的应力,(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；,(2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。,2-3 应力拉(压)杆内的应力,变形前,实验观察变形：,受载后,F,2-3 应力拉(压)杆内的应力,1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。,2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截
7、面假设(plane assumption)原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。,2-3 应力拉(压)杆内的应力,3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s 都相等。,4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式:,2-3 应力拉(压)杆内的应力,注意：,1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。,2.
8、 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。,3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。,2-3 应力拉(压)杆内的应力,正应力符号规定:,拉为正，压为负。,离开载荷作用处一定范围，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。,或可叙述为：,2-3 应力拉(压)杆内的应力,例 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F = 50 kN。,2-3 应力拉(压)杆内的应力,段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力
9、）,解：段柱横截面上的正应力,(压应力),(压应力),2-3 应力拉(压)杆内的应力,例：图示结构,试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm15mm的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象,45,2-3 应力拉(压)杆内的应力,45,2、计算各杆件的应力。,2-3 应力拉(压)杆内的应力,. 拉(压)杆斜截面上的应力,斜截面上的内力：,2-3 应力拉(压)杆内的应力,斜截面上的总应力：,推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力pa相等。,式中， 为拉(
10、压)杆横截面上(a =0)的正应力。,2-3 应力拉(压)杆内的应力,斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：,正应力和切应力的正负规定：,2-3 应力拉(压)杆内的应力,思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。,2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？,2-3 应力拉(压)杆内的应力,3. 对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其上的切应力t0= 0)，是否就可求出所有方位的
11、截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况该点处的应力状态(state of stress)？,2-3 应力拉(压)杆内的应力,2.8 轴向拉伸或压缩时的变形,轴线方向的伸长为,轴线方向的线应变为,横截面上的应力,当应力不超过比例极限时,所以，得,EA 称为杆件的拉伸(或压缩)刚度。,拉(压)杆的 纵向变形,胡克定律,2.8 轴向拉伸或压缩时的变形,横向应变为,试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变 与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。,称为横向变形因数或泊松比。(Poissons ratio),由于 和 的符号是相反的，所以,与E一样是材料固有的弹性常数。,x
12、 截面处沿x方向的纵向平均线应变为,图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。,一般情况下，杆沿x方向的总变形,x截面处沿x方向的纵向线应变为,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,引进比例常数E，且注意到F = FN，有,胡克定律(Hookes law),适用于拉(压)杆。,式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA 杆的拉伸(压缩)刚度。,胡克定律(Hookes law),工程中常用材料制成的拉(压)杆，
13、当应力不超过材料的某一特征值(比例极限)时，若两端受力,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,胡克定律的另一表达形式：,单轴应力状态下的胡克定律,低碳钢(Q235)：,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,注意：1. 单轴应力状态受力物体内一点处取出的单元体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,2. 单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力s方向的线应变e 与正应力之间的关系，不适用于求其它方向的线应变。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,单轴应力状态下，应力不超过比例极限时：,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,2.横截面B, C及端面D的纵向
14、位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？,例：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。,1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,求位移：,解：求变形：,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,解：画轴力图:,例：已知：,杆长、受力、截面面积如 图示。求杆的总变形。,x,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,例：如图所示杆系，荷载 P = 100 kN，试求结点A的位移A。已知：a = 30 ，l = 2 m，d = 25 mm，杆的材料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,
15、由胡克定律得,其中,1. 求杆的轴力及伸长,解：结点A的位移A系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。,由结点 A 的平衡(如图)有,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,2. 由杆的总变形求结点 A 的位移,根据杆系的布置、约束、 杆的材料以及受力情况均与 通过结点 A 的铅垂线对称可 知，结点A只有竖向位移(如图)。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,亦即,画杆系的变形图，确定结点A的位移,由几何关系得,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,从而得,此杆系结点 A 的位移(displacement)是因杆件变形(deformation)所引起 ，但两者虽有联系又有区别。变形是指杆件几何尺
16、寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,解:,例：水平刚杆由斜拉杆CD拉住，求作用点B的位移。,取水平刚杆为研究对象。,画变形图。,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,弹性体受外力作用而变形。在变形过程中，外力所作 的功将转变为储存于弹性体内的能量。当外力逐渐减小时， 变形逐渐恢复，弹性体又将释放出储存的能量而作功。,一、应变能(Strain Energy),如果载荷为静载荷。根据功能原理，储存的应变能等 于外力所作的功。,在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量称为应 变能。符号为 。,W
17、为外力作的功。,2-5 拉(压)杆内的应变能,应变能的单位为 J（1J=1Nm）。,二、轴向拉伸或压缩的应变能,F,当应力小于比例极限时,外力作的功,杆内储存的应变能,2-5 拉(压)杆内的应变能,三、储存于单位体积内的应变能（应变能密度）,2-5 拉(压)杆内的应变能,2-5 拉(压)杆内的应变能,例 求例题2-5中所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理(V=W )求结点A的位移A。 已知：P = 100 kN，杆长 l = 2 m，杆的直径 d = 25 mm，a = 30，材料的弹性模量E=210 GPa。,解：应变能,2-5 拉(压)杆内的应变能,结点A的位移,由 知,2-5 拉(压)
18、杆内的应变能,力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏等方面所表现出的特性。,试样和实验条件,常温、静载,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,矩形截面试样： 或 。,. 材料的拉伸和压缩试验,(工作段长度称 为标距)。,试验设备 ：,(1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。,(2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。,压缩试样,圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能),正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能),2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,. 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能,拉
19、伸图,纵坐标试样的抗力F(通常称为荷载),横坐标试样工作段的伸长量,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：,(1) 阶段弹性阶段 变形完全是弹性的，且l与F成线性关系，即此时材料的 力学行为符合胡克定律。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,(2) 阶段屈服阶段,在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。,此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45的滑移线. ( ，当=45时a 的绝对值最大)。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,滑移线,(3) 阶段强化阶段,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,卸载及
20、再加载规律,若在强化阶段卸载，则卸载过程中Fl关系为直线。可见在强化阶段中，l=le+lp。,卸载后立即再加载时，Fl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,(4) 阶段局部变形阶段 试样上出现局部收缩颈缩，并导致断裂。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,低碳钢的应力应变曲线(s e曲线),为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变e，即 ， 其中：A试样横截面的原面积， l试样工作段的原长。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,低碳钢 se曲
21、线上的特征点：,比例极限sp(proportional limit),弹性极限se(elastic limit),屈服极限ss (屈服的低限) (yield limit),强度极限sb(拉伸强度)(ultimate strength),Q235钢的主要强度指标：ss = 240 MPa，sb = 390 MPa,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,低碳钢拉伸破坏断口,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,低碳钢的塑性指标：,伸长率,断面收缩率：,A1断口处最小横截面面积。,Q235钢：y60%,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,注意：,1. 低碳钢的ss，sb都还是以相应的抗力除以试样横
22、截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是名义应力。,2. 低碳钢的强度极限sb是试样拉伸时最大的名义应力， 并非断裂时的应力。,3. 超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得， 因而是名义应变(工程应变)。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,4. 伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积(或直径)之比，原因在此。,思考： 低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（l = 10d 和 l = 5d），试问所得伸长率d10和d5 哪一个大？,2-6 材料在
23、拉伸和压缩时的力学性能,. 其他金属材料在拉伸时的力学性能,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,由se曲线可见：,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度),用于无屈服阶段的塑性材料,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,割线弹性模量,用于基本上无线弹性阶段的脆性材料,脆性材料拉伸时的唯一强度指标：,sb基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。,铸铁拉伸时的应力应变曲线,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,铸铁拉伸破坏断口,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,. 金属材料在压缩学性能,低碳钢压缩时s-e,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,低碳钢材
24、料轴向压缩时的试验现象,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,铸铁压缩时的sb和d 均比拉伸时大得多；,不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。,灰口铸铁压缩时的se曲线,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,试样沿着与横截面大致成5055的斜截面发生错动而破坏。,材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,铸铁压缩破坏断口：,铸铁压缩破坏,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,. 几种非金属材料的力学性能,(1) 混凝土压缩时的力学性能,使用标准立方体试块测定,2-6 材料在拉伸和压缩时的
25、力学性能,压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以se曲线上s = 0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。,混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20 MPa的混凝土。,压缩强度远大于拉伸强度。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交各向异性材料。,松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s e曲线如图。,(2) 木材拉伸和压缩时的力学性能,木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木
26、材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,(3) 玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）,纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s e曲线如图中(c)，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。,2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能,2-7 强度条件安全因数许用应力,. 拉(压)杆的强度条件,强度条件保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：,其中：smax拉(压)杆的最大工作应力，s材料拉伸(压缩)时的许用应力。,. 材料的拉、压许用应力,塑性材料：,脆性材料：许用拉应力,其中，ns对应于屈服极限的安全因数,其中，nb对应于拉、压强度
27、的安全因数,2-7 强度条件安全因数许用应力,常用材料的许用应力约值 (适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）,轴向拉伸,轴向压缩,2-7 强度条件安全因数许用应力,. 关于安全因数的考虑,(1) 考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss，sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。,(2) 考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。,安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载)下，,2-7 强度条件安全因数许用应力,. 强度计算的三种类型,(2) 截面选择 已知拉(压)杆材料及所受
28、荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸：,(3) 计算许可荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=As ，由FN,max计算相应的荷载。,(1) 强度校核 已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件 对于等截面直杆即为,2-7 强度条件安全因数许用应力,例： 试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F =16 kN，s=120 MPa。,2-7 强度条件安全因数许用应力,2. 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径,由于圆钢的最小直径为10 mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。,解: 1. 由
29、图中(b)所示分离体的平衡方程得,2-7 强度条件安全因数许用应力,例： 图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根80 mm 80 mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，s=170 MPa。试求许可荷载F。,2-7 强度条件安全因数许用应力,解 : 1. 根据结点 A 的受力图(图b)，得平衡方程：,(拉),（压）,解得,2-7 强度条件安全因数许用应力,2. 计算各杆的许可轴力,先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得：,由强度条件 得各杆的许可轴力：,杆AC的横截面面积,杆AB的横截面面积,2-7 强度条件安全因数许用
30、应力,3. 求三角架的许可荷载,先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：,此例题中给出的许用应力s=170 MPa是关于强度的许用应力；对于受压杆AB 实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。,该三角架的许可荷载应是F1 和 F2中的小者，所以,2-7 强度条件安全因数许用应力,2-8 应力集中的概念,应力集中（stress concentration）：,由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。,按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大局部应力smax与该截面上名义应力snom之比，即,理论应力集中因数：,其中Kts的下标ts表示是对应于正应力的理论应力集中因数。名
31、义应力snom为截面突变的横截面上smax作用点处按不考虑应力集中时得出的应力(对于轴向拉压的情况即为横截面上的平均应力)。,具有小孔的均匀受拉平板， Kts3。,2-8 应力集中的概念,应力集中对强度的影响,塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：,荷载增大进入弹塑性,极限荷载,2-8 应力集中的概念,均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。,非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。,塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。,2-8 应力集中的概念,结 束,第二章 轴向拉伸和压缩,
