1、2018/5/11,1,习题课,一、二重积分计算,二、三重积分计算,二重积分的 计算 及应用,第十章(1),2018/5/11,2,一、二重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,2018/5/11,3,典型例题,例1,解,X-型:,2018/5/11,4,计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示: 利用极坐标,原式,P182 题2(3),例2,2018/
2、5/11,5,例3.,计算积分,其中D 由,所围成 .,提示:如图所示,连续,所以,2018/5/11,6,二重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,2018/5/11,7,例4,解,2018/5/11,8,例5,解,2018/5/11,9,2018/5/11,10,证明:,提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,P182 题4,练习题,2018/5/11,11,P182 题1（3）,练习题,提示:,交换积分顺序,B,2018/5/11,12,例6,解,先去掉绝对值符号，如图,2018/5/11,
3、13,使用对称性时应注意,1.积分区域关于坐标轴的对称性.,2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.,利用对称性简化二重积分的计算,2018/5/11,14,二重积分计算的简化,2018/5/11,15,2018/5/11,16,2018/5/11,17,例7 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解 (1) 利用对称性.,围成 .,2018/5/11,18,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,2018/5/11,19,例8 计算二重积分,在第一象限部分.,其中D 为圆域,提示:,
4、两部分,作辅助线,将D 分成,说明: 若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.,2018/5/11,20,P182 题1（2）,练习题,A,2018/5/11,21,P182 题6,练习题,2018/5/11,22,2018/5/11,23,二、三重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,2018/5/11,24,把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示: 积分域为
5、,原式,及平面,所围成的闭区域 .,P183 题7,练习题,2018/5/11,25,计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,P183 题8(3),2018/5/11,26,三重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,1. 积分区域关于坐标面的对称性.,2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.,利用对称性简化三重积分的计算：,2018/5/11,27,其它情形依此类推.,三重积分计算的简化,2018/5/11,28,P182 题1(1),设有空间闭区域,则有（ ）,2018/5/11,29,例1,解,典型例题,2018/5/11,30,例2,解,利用球面坐标,2018/5/11,31,利用“先二后一”计算.,例3 试计算椭球体,的体积 V.,解,
