二重积分习题练习及解析

1、2018/5/11,1,习题课,一、二重积分计算,二、三重积分计算,二重积分的 计算 及应用,第十章(1),2018/5/11,2,一、二重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,2018/5/11,3,典型例题,例1,解,X-型:,2018/5/11,4,计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示: 利用极坐标,原式,P182 题2(3),例2,2018/5/11,5,例3.,计算积分,其中D。

2、解,解,3. 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,4. 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,5 计算,积分区域D关于x、y轴均对称,分析,被积函数,关于x,y均是偶函数，利用对称性,去掉绝对值符号.,解 采用直角坐标,【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积。

3、二重积分练习 1 2 改变下列二次积分的积分次序 1 解 D是Y 型 将D向y轴投影 求交点 于是 D是X 型 将D向x轴投影 得 求交点 在极坐标系中 闭区域 D可表示为 在极坐标系中 D可表示为 2 改变下列二次积分的积分次序 解 1 积分区域为 将D向y轴投影 积分区域为 将D向x轴投影 3 4 5 6 7 3 解 D是X 型 将D向x轴投影 解 先去掉绝对值符号 4 5 解 积分区域为 将。

4、1 补充轮换对称性结论 若D关于x y满足轮换对称性 将D的边界曲线方程中的x与y交换位置 方程不变 则 2 证 所以 例 习题课 二重积分 知识要点 解题技巧 典型例题 4 其中 一 二重积分的概念与性质 是各小闭区域的直径中的最大值 几何意义 二重积分I表示以D为底 柱体的体积 z f x y 为曲顶 侧面是 一 二重积分的定义 几何意义与物理意义 定义 1 平面上有界闭区域D上二元有界函数 。