1、第一类曲线积分,第四节,第十二章,一、第一类曲线积分的概念与性质,二、第一类曲线积分的计算法,一、第一类曲线积分的概念与性质,1. 问题引入,曲线形构件的质量,设有一位于 xOy 平面上的曲线形状的构件(如图)，,求构件的质量.,采用分割，近似，求和，取极限的方法来求曲线形构件的质量,构件分布是非均匀的，其线密度为,1 分割,2 近似,3 求和,4 取极限,在小弧段,该弧段 的质量可近似表示为,整个构件质量的近似值,构件的质量,设函数 f (x, y) 在 xOy 面内的分段光滑曲线弧 L,2. 定义 10.1,上有界. 将 L 任意分成 n 个小弧段，设分点为,则称该极限值为函数 f (x,
2、 y)在曲线L上的第一类,被积函数,积分弧段,积分和式,弧微分,被积表达式,曲线积分或对弧长的曲线积分，记作,注,1 当函数 f (x, y)在曲线L上连续时, 曲线积分,2 曲线形构件的质量可以表示为,存在.,（1）若积分弧段为空间曲线弧,（2）如果L 是闭曲线 , 则记为,推广,则函数,f ( x, y, z )在曲线弧,上对弧长的曲线积分为,思考：,定积分,对弧长的曲线积分,但定积分中dx 可能为负.,否！,是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,要求 ds 0,3. 性质,基本思路:,计算定积分,定理10.1,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,二、第一类曲线积分
3、的计算法,1. 直接法,点,将曲线L 任意分成 n 份，设各分点对应参数为,对应参数为,证,根据定义,因此,则,注,因此积分限必须满足下限小于上限：,2 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,则,(2)如果L为极坐标形式,则,(1) 如果曲线 L 的方程为,推广,(3)设空间曲线弧的参数方程为,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解,上点 O (0,0),例1 计算,计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).,解 建立坐标系如图,则,例2,计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解,线,例3,2. 利用对称性,例4,
4、解,由轮换对称性, 知,解,例5,将圆周表示成参数方程的形式比较困难，由表达形式的对称性可利用对称性计算,点(x, y, z)的坐标满足曲线的方程,1. 定义,2. 性质,内容小结,3. 计算, 对参数方程形式, 对显函数形式, 对极坐标形式,1.例5中 改为,如何计算,解 令, 则,思考与练习,2. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,3. 有一半圆弧,其线密度,解,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,4. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,备用题,1. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分,2. L为球面,面的交线 , 求其形心 .,在第一卦限与三个坐标,解 如图所示 , 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,3.,解,
