1、3.4两个随机变量的函数的分布一一一一、两个离散型随机变量两个离散型随机变量两个离散型随机变量两个离散型随机变量X与与与与Y的函数的分布的函数的分布的函数的分布的函数的分布1、Z=g(X,Y)的概率密度的一般求法2、离散型随机变量和的分布律公式二二二二、两个连续型随机变量两个连续型随机变量两个连续型随机变量两个连续型随机变量X和和和和Y的函数的分布的函数的分布的函数的分布的函数的分布1、两随机变量之和的分布2、两随机变量之商的分布3、随机变量极值的分布4、其它函数的分布的函数分布与量一、两个离散型随机变YX的概率分布求法步骤：则函数，其分布律为为二维离散型随机变量、设),(,2,1,),(1Y
2、XgZjipyYxXPYXijji= 的分布律。写出列；值按从小到大的顺序排将应概率相加，并中相同的值合并，其相将；确定的可能取值先确定),(4),(3,),(2),(),(10000YXgZZyxgZpyYxXPyxgZPyxgYXgZjiijjijiji=例4.1设随机变量(X,Y)的分布律为试求(1)Z=X+Y的分布律；(2)W=2X-Y的分布律；0.150.110.080.1320.080.070.060.0410.120.010.050.103210X Y解：计算相应的函数值及相应的概率列表如下：12-3-2-10W=2X-Y213210Z=X+Y(1,1)(1,0)(0,3)(0,
3、2)(0,1)(0,0)(X,Y)1234-10W=2X-Y543243Z=X+Y(2,3)(2,2)(2,1)(2,0)(1,3)(1,2)(X,Y)再将相同的函数值对应的概率相加，整理成所求分布律0.150.190.270.20.090.1pk543210Z=X+Y(1)0.130.080.150.210.170.130.010.12Pk43210-1-2-3W=2X-Y(2)。服从二项分布试证参数为分布的随机变量是两个独立同设例),2(,)1,0(,2.4pBYXZpYX+=分布律、离散型随机变量和的2:YX,1,2.0110110,10Y,1;0X,)1,0(,:的独立性知道与由可以取
4、所以且也可以取可以取则分布分别为解YXZpYPpYPpXPpXPYX+=202 )1(02)1()1)(1(000,00pppppYPXPYXPZP=121 )1(12)1(201100,11,1=+=+=ppppYPXPYPXPYXPYXPZP。这就是说即),2(2,1,0)1(2 2pBZkppkkZP kk = 2222 )1(220211202=+=+=pppYPXPYPXPYPXPZP的泊松分布。服从参数为试证明泊松分布的分别服从参数为是相互独立的随机变量设例2121,3.4+= YXZYX,2,1,0!)(!)!(!)!(!:)(21)(021)(021021021212121=+
5、=+=+=+=kkekeCkeikikikeieikYPiXPkYXPkZPkkiikiikkiikikiikiki证 + += = =+=+=.3)4(),()()(),(),(:,: ,)(),(),()(,),(),(1dxxzxfzFzfdudxxuxfdxduxuxfzuxzy xuyyzxydxdyyxfdxdyyxfzYXPzZPzFYXZyxfYXYXZZzzxzzyxZ所以有时则令和固定的积分后先的分布函数为则的概率密度为若布、两随机变量之和的分的函数的分布和量二、两个连续型随机变x + y =zx0y）（的概率密度为则的积分顺序后如果采用先同理4.4),()(, + =+=
6、dyyyzfzfYXZyxZ称为卷积公式。注：）式可化为）与（相互独立时，（与当+=dyyfyzfdxxzfxfffdyyfyzfzfdxxzfxfzfYXYXYXYXYXZYXZ)()()()()6.4()()()()5.4()()()(4.43.4例4.4设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)分布，试求Z=X+Y的概率分布。分布。即则若令式知由的概率密度分别为与解)2,0(2 1)(222,2121212121)()()()5.4(,21)(,21)(:YX:42)2()2(444222222)(22222222222222222222NYXZzezfdtedxezxtd
7、xeedxedxedxedxeedxxzfxfzfyxeyfexfzZtzxzxzzzzxxzxzxxzxzxxzxYXZyYxX+=+=X YL1 L2 (1)XYL1L2(2)XYL1L2(3)+=+000)()(0001)(),min()11.4(0001)(0001)(,),min(,)1(:)(min)(min21zzezfzzezFYXZyyeyFxxexFYXYXZLLLLzzxYxX其概率密度为的分布函数为式可得再由的分布函数分别为而由题意容易得出的寿命应为故此时停止工作则系统中有一个损坏当串联情况时解+=+000)()(000)1)(1()()()(),max()10.4(),max(,)2()(maxmax21zzeeezfzzeezFzFzFYXZYXZLLLLzzzzzYX于是其概率密度为的分布函数为式即得由的寿命应为故此时才停止工作系统都损坏时当且仅当并联的情况时 )(000)()()()()6.4(00)(00)(0,)3(0)(0)(2121=+=+=+=+zzeezfeedyeedyeedyyfyzfzfYXZzzfYXPzFzYXZLLZLLLzzZzzz yxz yyzYXZZZ故的概率密度为式可得时，由当得时，显然当两者寿命之和，即是的寿命系统才开始工作，因此整个损坏时，备用的情况时，当
