1、1高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k+)= sincos(2k+)= costan(2k+)= tancot(2k+)= cot公式二：设 为任意角， + 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin(+)= -sincos(+)= -costan(+)= tancot(+)= cot公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin(-)= -sincos(-)= costan(-)= -tancot(-)= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin(-)= sincos
2、(-)= -costan(-)= -tancot(-)= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系：sin(2-)= -sincos(2-)= cos2tan(2-)= -tancot(2-)= -cot公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin(/2+)= coscos(/2+)= -sintan(/2+)= -cotcot(/2+)= -tansin(/2-)= coscos(/2-)= sintan(/2-)= cotcot(/2-)= tansin(3/2+)= -coscos(3/2+)= sintan(3/2+)= -cotco
3、t(3/2+)= -tansin(3/2-)= -coscos(3/2-)= -sintan(3/2-)= cotcot(3/2-)= tan(以上 kZ)注意：在做题时，将 a 看成锐角来做会比较好做。诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(/2-a) = cos(a)cos(/2-a) = sin(a)sin(/2+a) = cos(a)cos(/2+a) = -sin(a)3sin(-a) = sin(a)cos(-a) = -cos(a)sin(+a) = -sin(a)cos(+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA诱导公式
4、记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于 /2*k (kZ) 的三角函数值，当 k 是偶数时，得到 的同名函数值，即函数名不改变；当 k 是奇数时，得到 相应的余函数值，即 sincos;cossin;tancot,cot tan（奇变偶不变）然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin(2) sin(4/2)，k 4 为偶数，所以取 sin。当 是锐角时，2(270，360)，sin(2)0 ，符号为 “”。所以 sin(2)sin上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 视为锐角时，角 k360+（k Z），-、180，360-所在象限的原三角
5、函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦( 余割)；三两切；四余弦(正割 )”这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“” ；第二象限内只有正弦是“” ，其余全部是 “”；第三象限内切函数是“” ，弦函数是 “”；第四象限内只有余弦是“” ，其余全部是 “”上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦4还有一种按照函数类型分象限定正负：函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦 . 余弦 . 正切 . 余切 . 常用的诱导公式公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s
6、in（ 2k ）sin （kZ）cos（2k ）cos （k Z ）tan（2k）tan （k Z ）cot（ 2k ） cot （kZ）公式二：设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（ ）sincos（ ）costan（）tancot（ ） cot公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（ ）costan（） tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin（ ）sincos（ ）cos5tan（）tancot（ ） cot公式五：利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关
7、系：sin（ 2 ）sincos（2 ） costan（2 ）tancot（ 2 ）cot公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（ /2 ）coscos（/2）sintan（/2） cotcot（ /2 ）tansin（ /2 ）coscos（/2）sintan（/2） cotcot（ /2 ）tansin（ 3/2）coscos（3/2） sintan（3/2 ）cotcot（ 3/2）tansin（ 3/2）coscos（3/2） sintan（3/2 ）cotcot（ 3/2）tan(以上 kZ)注意：在做题时，将 a 看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀6上面
8、这些诱导公式可以概括为：对于 /2*k (kZ) 的三角函数值，当 k 是偶数时，得到 的同名函数值，即函数名不改变；当 k 是奇数时，得到 相应的余函数值，即 sincos;cossin;tancot,cot tan（奇变偶不变）然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin(2) sin(4/2)，k 4 为偶数，所以取 sin。当 是锐角时，2(270，360)，sin(2)0 ，符号为 “”。所以 sin(2)sin上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 视为锐角时，角 k360+（k Z），-、180，360-所在象限的原三角函数值的符号
9、可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦( 余割)；三两切；四余弦(正割 )”这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“” ；第二象限内只有正弦是“” ，其余全部是 “”；第三象限内切函数是“” ，弦函数是 “”；第四象限内只有余弦是“” ，其余全部是 “”上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦还有一种按照函数类型分象限定正负：函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦 . 余弦 . 正切 . 余切 . 7同角三角函数基本关系式倒数关系:tancot1sincsc1cossec1商的关系：s
10、in/costan sec/csccos/sincot csc/sec平方关系：sin2()cos 2()11tan 2()sec 2()1cot 2()csc 2()同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1“的正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角
11、和差公式两角和与差的三角函数公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)8cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin
12、22sincoscos2 cos2()sin 2()2cos 2()11 2sin 2()tan2 2tan/1tan 2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin2(/2)(1 cos)2cos2(/2)(1 cos) 2tan2(/2)(1 cos)(1cos)另也有 tan(/2)=(1cos)/sin=sin/(1+cos)三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3;cos3A = 4(cosA)3 -3cosAtan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式sin(A/2) = (1-cosA)/2cos(A/2) = (1+c
13、osA)/2tan(A/2) = (1-cosA)/(1+cosA)cot(A/2) = (1+cosA)/(1-cosA) tan(A/2) = (1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin(a+b)/2cos(a-b)/2sin(a)-sin(b) = 2cos(a+b)/2sin(a-b)/2cos(a)+cos(b) = 2cos(a+b)/2cos(a-b)/2cos(a)-cos(b) = -2sin(a+b)/2sin(a-b)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB9积化和差sin(a)sin(b) =
14、 -1/2*cos(a+b)-cos(a-b)cos(a)cos(b) = 1/2*cos(a+b)+cos(a-b)sin(a)cos(b) = 1/2*sin(a+b)+sin(a-b)cos(a)sin(b) = 1/2*sin(a+b)-sin(a-b)万能公式sin(a) = 2tan(a/2) / 1+tan(a/2)2cos(a) = 1-tan(a/2)2 / 1+tan(a/2)2tan(a) = 2tan(a/2)/1-tan(a/2)2其它公式asin(a)+bcos(a) = (a2+b2)*sin(a+c) 其中，tan(c)=b/aasin(a)-bcos(a) = (a2+b2)*cos(a-c) 其中，tan(c)=a/b1+sin(a) = sin(a/2)+cos(a/2)21-sin(a) = sin(a/2)-cos(a/2)2其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)
