1、年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题 数列极限教学目的1、 理解数列极限的概念；2、 掌握数列极限的运算法则；3、 掌握常用的数列极限。4、掌握公比 1 时，无穷等比数列前 n 项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并q能用于解决简单问题。教学内容【知识梳理】 1、 什么是数列的极限？2、 数列极限的运算法则有哪些？3、 常见的求数列的极限有哪些形式？（本分讲义是针对层次比较好的学生，所以知识点多以提问的形式出现，让学生自己发挥，老师再给予纠正）【典型例题分析】例 1、下列命题中，正确的是 （ ）（A）若 则lim,li,nnaAbBlimnaAb（B）若 ，则li0nli0n
2、（C）若 ,则2aa（D）若 则limnA2lin【解析】在命题 A 中，当 时，则 无意义，命题不成立；0BA在命题 B 中，若 ，则 ，虽然1,22nnab21nablimna但 所以命题 B 不正确；1li0,2n1lilim0,在命题 C 中，若 ，则 ，而 时， 的极限不存在，所以命1nn22 2li()nn1n题 C 不成立；在命题 D 中，若 ，根据数列极限的运算性质。 成linaA2 2limlilimnnnaaAA立，所以命题 D 是正确的。【答案】D 例 2、已知 ，求 。lim21nnlimna【解析】由条件不能确定 的表达式，因此我们设法将 拼凑出 。再利用极限性质求解
3、。可化为nana21nalim()li21na【答案】1例 3、求下列数列的极限（1）若 ，则 _， _6,172nnaN当 时当 时 limnalinS（2） 2lim3n（3） 11linn（4） lin（5） 21limnn（6） 1li34n n （7） 21linn【解析】 （1）数列 的极限不受前有限项的影响，其前 n 项和的极限应先求和再求极限；（2）关于正整数 n 的na分式的极限，常将分子、分母同除以 n 的最高次项（不含系数）使得各项的极限都存在，然后利用极限的运算法则求解；（3）关于分子分母含有 n 的指数式的极限，常将分子分母同除以底数的绝对值较大的这一项，然后利用基本
4、极限求解；lim01nq（5）通过换元法将式子整理成 相关的形式，利用 这一重要极限求解；1n1limnne（6）关于积的极限，通常通过等式变形消去中间项，转化为基本极限求解；（7）虽然 使得213n 2223n 22lilinn 2limn，但当 时，分子的前 n 项和变成了无限项的和，二极限的四则运算法则只适用于有限个数列的极限运算，0所以这类和的极限应先求和后求极限。【答案】 （1）37（2） （3） （4）1（5） （6）0（7）e12例 4、在数列 中，已知 ，且 ，求na112()nnaS2limnaS【解析】与数列前 n 项和公式相关的极限问题一样，综合能力要求通常较高，解题时应
5、注意套用相关公式。【答案】 2例 5、已知 ，求 的范围。1lim2naa【解析】解本题的关键时讨论 与 2 的大小。【答案】 ,a例 6、若 ，求 。li348,li61nnbablim3nab【错解】设 ,由已知，得lim,linnaAB486AB解方程组得， 4953Bli3nab【错解分析】 存在，不能推出 的极限存在，所以不能运用极限的四则运算，可以通过整体运lim4nab,n算解决问题。【正解】设 36nnnxyab364nnxyaxyb令 解方程组，得641xy13y1lim3li43nnabablimn6nab3例 7、求和： 0.180.8S【解析】化循环小数为分数，时无穷等
6、比数列各项和公式的一个重要应用。解题时应注意确定首项和公比。【解】 0.17. 9 801808 7.,90.18,nn 个17171790909.8n 原 式 =变式练习：化循环小数为分数（1） （2） （3）.3.4.2.3. 【解析】纯循环小数可以看作时一个无穷等比数列所有项之和，而混循环小数可以视为一个常数与无穷等比数列各项的和相加。【答案】 （1） （2） （3）59190例 8、等比数列 使 ，求实数 的取值范围。na122lim5na 1a【解析】由 的范围确定 的范围。q【解】 1123 2li li5nnn qaa 当且仅当 时极限存在，并且q1112lim,5nnaqq又在
7、等比数列中， 0于是， 012q且则： 42155q且则： 11a且所以 的取值范围是1240,5【点拨】关注其中公比 的范围： ，这是一个逆向思维的问题。q1,0,例 9、棱长为 的正方形内有一个内切球（即球与正方形的每一个面有且只有一个公共点） ，球内又有一个内切正方a体（即正方体的每一个顶点都在球的表面上） ，该正方体内又有一个内切球，球内又有一个小内切正方形如此进行以至无穷，求所有这些正方体的体积之和。【解析】通过球确定两个相邻正方体的棱长之间的关系。【解】设第 个正方形的棱长为 ，体积为 ，则nnanV3131nnVaq又第 个球的直径就是第 个正方形的棱长，又同时是第 个正方体的对
8、角线长。1n于是： 222111 3;nnnnaar所以3319nq故331123 9nVaVq 【课堂小练】1.下列命题正确的是_数列 没有极限 数列 的极限为零13n21n数列 的极限是 数列 没有极限2n33nA B C D 2.下列命题中正确的是_A 设有数列 ，若存在常数 ，使 恒成立，则数列 必有极限；na0MnanaB 若数列 单调递增，则此数列必有极限；C 若 （A 为确定的常数） ，则存在常数 ，使 恒成立；limn0nMD 数列 的一个极限时零0,12,3 ,n3.下列命题中正确的是_A 若 ，则2linalinaB 若 ，则m2AC 若 ，则li,linnabBlimnb
9、D 若 ，且 ，则nli,linnB4.下列数列极限的式子中，不正确的是_A B 246lim039n A1lisn03C D 11lim023n n 32lim0n5.若 存在，且 ，则 =_lina4li29nalina6.数列 和数列 都是公差不为零的等差数列，且 ，则 的值为_nnbli3nab12limnnab7.求下列各数列的极限。（1） 22231lim1n n（2）23lim1n（3）3221lim4nn（4）139lim164nn （5） 1limnna8.求 的值，其中 为常数。2lim1nanb,ab9. 已知： ，求 _0.130.13SS10.无穷等比数列 中，若它的
10、各项和存在，求 的范围。tan答案1. D 2. C 3. B 4. D5 .7 6. 347. (1)1 (2)3 (3) (4)158(5),1lim0,1nna8.原式= 2ab不 存 在 ，9. 4710. 4kkk且走近高考：1、 （2008 年个上海）若数列 是首项为 1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为 ，则na23anaa的值是 ( B )(A) 1. (B) 2. (C) . (D) .452、 （2010 上海模拟） 的值为 （ B ）12lim4nn（A）0 （B） （C） （D）133、 （2010 上海高考）将直线 l1：nx yn0、l 2：xnyn0(nN*
11、)、x 轴、y 轴围成的封闭区域的面积记为 Sn，则 _1_limnS4、已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则na1nS112nSalimnS（A）0 （B） （C ） 1 （D）22解析：由 ,且 w_w_w.k*s 5*u.c o*m11nSa2nnSa作差得 an2 2a n1又 S22S 1a 1，即 a2a 12a 1a 1 a22a 1w_w w. k#s5_u.c o*m故a n是公比为 2 的等比数列Sna 12a 12 2a12 n1 a1(2 n1)a 1则 1limli()nn答案：B5、已知 是方程 的两根，若 ，求 的值。1,na203nnxc1a123c
12、2nc【解析】通过方程的根与系数的关系可以得到数列 的递推式；由等比数列的定义判断，可以将问题转化为无穷n递缩数列各项和问题。【答案】 2121,33nnnaa所以数列 是以 为首项， 为公比的无穷递缩等比数列21n1数列 是以 为首项， 为公比的无穷递缩等比数列a3135212462133,n naaa 又 1nnc12323212113214nnnnccaaaa 6、无穷等比数列 满足 ，求首项 的变化范围。na121lim2na 1a【错解】设等比数列 的公比为 ，由已知条件有 ，解方程得，nq1q12qa又因为 为无穷等比数列，则na12a所以 10【错解分析】错解中忽视了 ，应注意无
13、穷等比数列 中 存在的充要条件是公比110,2q即 nalimnS满足 ；而 存在的的充要条件是公比 满足 或 。qlimnaq01q【正解】设等比数列的公比为 ，由已知得， ，解得q12a12a又因为 为无穷等比数列，且 存在，则nalinS01q即 ，解不等式得1021102a或所以 的取值范围是1a,【课堂总结】回顾本节课所讲的有关内容，数列极限常考的几种类型？每种类型的解决方法？【课后练习】一、基础巩固1.已知 是等比数列，若 是其前 n 项和，则“ 存在”是“ 存在”的（ ）nanSlimnalinS（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）非充分非必要条件2.
14、无穷等比数列 的各项和等于 （ ）21,4（A） （B） （C） （D）2221213.在无穷等比数列 中，已知 ，若 ，则 的值为 na1,q24nnTaa limnT（ ）（A） （B ） （C） （D）151164.一个无穷等比数列公比为 ，满足 ，前 n 项和为 ，且它的第四项和第八项之和等于 ，第五项与第q0nS178七项之积等于 ，则 等于 （ ）4limnS（A） （B）32 （C）16 （D）865.把 化为约分数后，分子和分母之和为 （ ）0.32（A）119 （B）129 （C）141 （D）1396.在等比数列 中若 ，则此无穷等比数列的各项和为na12345234567
15、6, 24aaa_。7.若实数 满足 ，则数列 的所有项和是_,b0b2,b二、能力提升8. 无穷等比数列 的前 n 项和为 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）anS1a1limnSa（A） （B） （C） （D）2,02,02,1,09.如果 ，那么 _lglxnxx 10若一个热气球在第一分钟时间里上升 25m，在以后的第一分钟里，它上升的高度是它前一分钟里上升高度的80%，则这个热气球最高能上升_m。11.把下列循环小数化为分数（1） （2） （3） （4）0.8.70.50.13612.求和：（1） 0.52.30.59 （2） 0.3.0313.已知 ，求 的取值范围。11,liml
16、innabababR且 a14.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，已知A ，斜边 BC 长为 ，途中排列着的内接正方形的面积分别为90a求：123,S（1）无穷个正方形的周长之和；（2）无穷个正方形的面积之积。AM NEFCB H GS 1S 2三、创新探究15.动点 P 从原点出发沿 轴正向移动距离 到达点 ，再沿 轴正向移动距离 到达点 ，再沿 轴正向移动距xa1Py2a2Px离 到达点 ，依次规律，无限进行，每次移动，距离缩小一半，求：2a3（1）动点 P 行进路线的长度；（2）动点 P 与坐标平面内哪一点无限接近？答案1.B 2.B 3.B 4.B 5.A 6. 729 7. 8.D 9. 1 或 10. 1252311（1） （2） （3） （4）9212.（1）5 （2） 0713.a或14.（1） （2） 218a15.(1) （2） 4,316. 3
