1、年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题 等比数列二教学目的 1、 掌握等比数列的定义，会求等比中项；2、 掌握等比数列的通项公式，前 n 项和的求和公式；教学内容【知识梳理】 1、定义：数列 an从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列。常数叫公比。2、通项公式： an=a1qn1推广形式： an=amqn m变式：（1） q= （ n、 mN *）3、前 n 项和 Sn=11(),(1).nnaaq4、等比中项：若 a、 b、 c 成等比数列，则 b 为 a、 c 的等比中项，且 b= 。ac5、等比数列的性质a.当 m+n=p+q 时，a man=ap
2、aq，特例：a 1an=a2an-1=a3an-2=，当 2n=p+q 时，a n2=apaq;b.an, 为等比数列，数列ka n， （ ）, ( )成等比数列;b0k21,nnmb0c. 成等比数列；232,nss6、证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证 =常数；1na（2）用中项性质：只需 an+12=anan+2或 =12n（3）当一个数列的通项形如 这种形式的时候，可以判定是等比数列（只能在客观题中应用） cdnmA（4）当一个数列的求和公式形如 这种形式的时候，可以判定是等比数列（只能在客观题中应用）nsaq【典型例题分析】例 1、求下列各等比数列的通项公式：（1） a1=2,
3、 a3=8解： 23142aqq1 1(2)(2)(2)n nnnnaa或（2） a1=5, 且 2an+1=3an 解： 1135()nnn 又 ：（3） a1=5, 且 1n解： 1 32121,n naa 以上各式相乘得： na变式练习：1、在等比数列 ，已知 ， ，求 。n15910a18a解： ，18910a1822、在等比数列 中， ，求该数列前七项之积。nb43解： 123456712654b ，前七项之积235327183、在等比数列 中， ， ，求 ，na25a8解： 3585241q另解： 是 与 的等比中项，5a8285a 14例 2、求数列的前 n 项和 Sn= + +
4、 + +23812n（该题主要考查了学生对数列求和的掌握情况）练习：.求和 113245(2)n例 3、已知等比数列 an的通项公式 且： ，求证： bn成 GP13()2nna3213nnbaa证： 13()2 3323131()()()nnnnnb21()4 bn成 GP312nb变式练习：已知数列 an中， a1=2 且 an+1=Sn，求 an ,Sn解： an+1=Sn 又 an+1=Sn+1 Sn Sn+1=2Sn Sn是公比为 2 的等比数列，其首项为 S1= a1=2, S1= a12n1= 2n当 n2 时, an=SnSn1=2n1 2()n例 4、在等比数列 中， ，求
5、的范围。n13246,0,naS解： ，213aqq又 ，且 ， ，2241021q 解之：216,aq13aq或当 时， ，1,3124031nnnnS6（ ）52769当 时， ，1,3aq231403801nnnS 且必须为偶数*nN ， （ ）878321,3651注意：本题要进行分类讨论例 5、是否存在数等比列a n，其前项和 Sn组成的数列 Sn也是等比数列，且公比相同？解：设等比数列 an的公比为 q，如果 Sn是公比为 q 的等比数列，则：111()nnnnaqSqaS 而 111(), 1()nnaqnan时 即 ： 得 矛 盾 1111, ()nnnnSqqS（ ）时 即
6、： 矛 盾所以，这样的等比数列不存在。例 6、 （1）已知数列 ，其中 ，且数列 为等比数列，求常数 。nc23n1ncp p（2）设 是公比不相等的两个等比数列， ，证明数列 不是等比数列。,ab nabnc说明：题（1）主要说明若已知某数列是等比数列，如何求未知参数的值，在解决这类问题时，要注意一般与特殊的关系；（2）主要说明怎样证明一个数列不是等比数列。【答案】 （1） ,3p（2）设 的公比分别是 ，则有nab,()pq22213111()()0()cabapq，即数列 不是等比数列213,nc例 7、已知数列 中 是其前 项和，并且naS1 142,nSaa ，（1）设数列 ，求证：
7、数列 是等比数列；12,nb nb（2）设数列 求证：数列 是等差数列；nc, c（3）求数列 的通项公式及前 项和。a【答案】 （1）由 ，两式相减得12214,4nnnSSa 2114nnSa即 2所以 111,nnnnaab又 1nb已知 ，解得 2 24,4Sa， 2215,3a由和得，数列 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，故nb nA（2）因为 ，所以2nacN111 22nnnaac1132nnbA4又 故数列 是首项为 ，公差是 的等差数列，1,n344nc（3） 2342nS【课堂小练】1、三数成 GP，若将第三数减去 32，则成 AP，若将该等差数列中项减去 4，以成
8、GP，求原三数。（2，10，50 或 ）2638,92、一个等比数列前 项的和为 前 项之和 ，求 。n4,nS2260nS3n（63）3、在等比数列中，已知： ，求 。 答案：36,ana127n【课堂总结】1、 等比数列的定义是什么？2、 等比数列的通项公式？求和公式？3、等比数列有哪些性质？【课后练习】1、等比数列 中， ， ，则 值为（ B ）na0n34a21226logllogaaA5 B 6 C7 D82、设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ C ）nnS63:93:SA1:2 B 2:3 C3:4 D1:33、已知等比数列 的首项为 8， 是其前 n 项的和，某同学经计算得
9、 S2=20，S 3=36，S 4=65，nanS后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 （ C ）A S1 B S2 C S3 D S42、在等比数列 （ ）中，若 ， ，则该数列的前 项和为 （B） n*N1a4810.4.9.102.23、已知 、 、 、 成等比数列，且曲线 的顶点是 ，则 等于 （ B）abcd3yx,bcad.A3.B2.C1.D24、若 是等比数列，且 ，则 1。na3nSr5、已知等比数列 中，公比 ，且 ，那么 等于 n2q301232a 36930aa（ B ） A B C D10011526、在等比数列 中， ，则 等于 （ A ）na7416,521
10、0A 或 B 或 C D 23323327、数列 中， 是公比为 的等比数列，满足 ，na10,nna且 q123nnnaa*N则公比 的取值范围是 （ D ）qA B C D1205220q150q8、已知数列 是等比数列,且 , , ，则 9 na0naN*35465781aa46a9、等比数列 的前 项和 = ，则 =_ _.nnS2n2n10、已知等比数列 及等差数列 ，其中 ，公差 将这两个数列的对应项相加，得一新数列ab100d1，1，2，则这个新数列的前 10 项之和为 978 . 11、如果 是 与 的等差中项， 是 与 的等比中项，且 都是正数，则bcyxz,yxz0 （ ）
11、 ()log()log()logmmmxab,1m12、已知数列 满足 .,n1211,4,2nnnab（1）求证：数列b n+2是公比为 2 的等比数列； （2）求 .na【答案】 （1） 11nnbb是公比为 2 的等比数列（2） 1114nnnqA又bab1nna122 21b所有式子相加得， 12nna所以，13、已知数列 的前 n 项和为 a,(1).3nnSN（1）求 ； （2）求证数列 是等比数列.12, na【答案】 （1）由 ，可得 ，所以11sa12由 ，可得出 ，所以n23S14（2） 11nnnSa12na14、数列a n的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，a n1 Sn（n1，2，3，）.证明： （1）数列 是等比数列； （2）S n1 4a n .【答案】 （1） 1nnnS是等比数列n(2) 而2nnsSA112nnnaS1112424nnnSa15、已知数列 满足： . na11,22nna且（1）求 ; （2）求数列 的通项234,， nan16、设数列 前 项之和为 ，若 且 ，nanS12,S113202nnS问：数列 成 GP 吗？解： ， ，即11320nnS11nn1na即： ， 成 GP12nana2又： ，2121,SS 不成 GP，但 时成 GP，即： 。nan12na
