1、一元二次方程根与系数关系及其应用【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图： 求代数式的值求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程解特殊的二元二次方程组二次三项式的因式分解等韦达定理：一元二次方程 如果有两实数根 ，那么 。20()axbca12,x1212,bcxxa韦达定理逆定理：如果 且 ，则 是 的两根。一、不解方程，判别一元二次方程两根的符号。 例 1：不解方程，判别方程 两根的符号。 解： 说明：判别根的符号，要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结
2、合起来，0，两根一正一负；若 0，还要看 的正负方可判别。 二、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例 1：已知方程 的一个根为 2，求另一个根及 的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把 代入原方程，先求出 的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及 的值。解法一：解法二： 练习;若 x1 = 是二次方程 x2ax10 的一个根,则 a ，该方程的另一个根 x2 = .23三、计算根的对称式的值例 若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：12,x207x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 2112x1
3、2(5)x12|x解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212,07xx(1) 221112()()()48xx(2) 212107(3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：， ， ，221112()xxx122x221112()()4xx， ，121212|4121等等韦达定理体现了整体思想33()()xxx【练习】1已知 x1，x 2是方程 2x27x40 的两根，则 x1x 2 ，x 1x2 ， （x 1x 2） 2 2已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k= ;123若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m 2=0 有两个实数根，且这两
4、个根互为倒数，那么 m 的值为 ;四、已知一元二次方程两根之间关系，求字母系数值或取值范围。例 1：已知方程 的两个根的平方和比两根的积大 21，求 的值。 解：方程有两个实数根， ， 解这个不等式，得 0 设方程两根为 则 且 ， 解得： 又 ， 【练习】：1、已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个非零实数根，问和 能否同号？若能同号，请求出相应的 的取值范围；若不能同号，请说明理由，解： 答案：当 且 m0 时，两根能同号2、一个三角形的两边长是方程 的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。解：答案：五、构造新方程求方程组 的解：以两个数 为根的一元二次方程是 。例 解方程组 解：显
5、然，x，y 是方程 z2-5z+60 的两根,由方程解得 z 1=2,z2=3原方程组的解为 .此法比代入法要简单得多。六、按已知条件求作新方程例 1、已知方程 2x2+4x-3=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根是已知方程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方.分析：应先求出已知方程的两根之和的倒数及已知方程两根差的平方，然后再用已知两根写出方程的方法，写出所求方程.解：答案： 【练习】：1.以方程 2x30 的两个根的和与积为两根的一元二次2x方程是（ ） （A） +5y6 = 0 （B） +5y6 = 0 （C ） 5y 6 = 0 （D） 5y6 = 02y2y2
6、y2y2.如果 和 是方程 2x2+3x1=0 的两个根，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于 1和 1x+y=5xy=6x+y=axy=b七、二次三项式的因式分解二次三项式 ax2+bx+c(a0)分解因式的方法有三种，即1利用完全平方公式； 2十字相乘法：即 x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)；acx 2+(ad+bc)x+bd(ax+b)(cx+d)3求根法：ax 2+bx+ca(x-x 1)(x-x2)，(1)当 b2-4ac0 时，可在实数范围内分解；(2)当 b2-4ac0 时，在实数范围内不能分解形如 ax+bxy+cy：可令 ax+bxy+cy=0（此处将 x
7、看成未知数，而 y 作为已知数）练习4x 2+8x-1 （2）27x 2-4x-8 2x 2-5x-3 2x 2-8xy+5y2附：一元二次方程根的判别式：任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。当 时，方程有两个不相等的实数根。 当 时，方程有两个相等的实数根. 当 时，方程没有实数根。应用例 1. m 取什么值时，方程 3x 2(3m 1)x 3m 10(1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?例 2 已知方程 x (3 a)x (3 ab )0 有两个相等的实数根，求实数 a 与 b 的值例 3 当 a、b 为何值时，方程 x2(1a) x(3 a 4ab4b 2)0 有实数根?例 4 判别下列关于 x 的二次方程 2(m1)x 4mx(2m1)0 的根的情况例 5 当 m 为何值时，关于 x 的二次三项式 x 2(m4)xm 6m2 是完全平方式? 例 6 已知 a、b、c 是ABC 的三边，且方程 b(x 1) 2ax c(x 1)0 有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状
