1、第九章 二重积分习题课,多元函数的积分学,二重积分的计算,二重积分的应用,知识结构,二重积分的概念,第九章 二重积分习题课,主要内容与重点：,一.二重积分的概念、性质及几何意义,二.二重积分的计算方法及应用,常见题型：,一.二重积分的计算,1.二重积分在直角坐标系下的计算问题,二.积分次序的交换问题,2.二重积分在极坐标系下的计算问题,三.二重积分的应用,第九章 二重积分习题课,一.二重积分的概念及性质及几何意义,可加性、,数乘法、,区域的可加性、,第九章 二重积分习题课,单调性、,估值定理、,中值定理,1.概念,2.性质,3.几何意义,根据积分区域D的图形和被积函数f (x,y)的特点,化二
2、重积分为二次积分或累次积分,选择坐标系,选择积分次序,选择积分限,计算累次积分,第九章 二重积分习题课,二.二重积分的计算,(二)二重积分在极坐标系下的计算,(一)二重积分在直角坐标系下的计算,只研究先对r后对的积分次序,第九章 二重积分习题课,二.二重积分的计算,型区域,（极点O在区域D的外部）,（极点O在区域D的边界上）,（极点O在区域D的内部）,D,D,D,(二)二重积分在极坐标系下的计算,二.二重积分的计算,在化二重积分为二次积分时，,确定二重,积分的积分次序和积分上下限是最关键的,步骤，,此时可交换积分次序。,难积分或根本积不出，,另外两个二次积分可能有一种次序,第九章 二重积分习题
3、课,二.积分次序的交换问题,三.二重积分的应用,1、求平面图形的面积,2、求几何体的体积,第九章 二重积分习题课,总量的数学模型,3、求实际问题的总量,2（1）,将积分区域看作,则积分限为,解,作业讲评,第九章 二重积分习题课,P365,5.改换下列二次积分的积分次序:,解,第九章 二重积分习题课,则积分限为,（5）,（5）,解,第九章 二重积分习题课,5.改换下列二次积分的积分次序:,解,11.把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:,第九章 二重积分习题课,（1）,P233递推公式,(1)计算 其中D是由 所围成的区域.,解,13.选择适当的坐标计算下列各题:,第九章 二重积分习题课,选择直角坐标,解,体积为,第九章 二重积分习题课,解：积分区域D如图,=14080（万元）,试计算该市总的税收收入.,第九章 二重积分习题课,例,解,先去掉绝对值符号，如图,第九章 二重积分习题课,由区域的对称性和函数的奇偶性可得,解,例,二重积分在极坐标下的计算,例,解,第九章 二重积分习题课,练习计算 其中D是由不等式,解,曲线 的极坐标方程为,曲线 的极坐标方程为,r =2.,第九章 二重积分习题课,解答,思考题,解答:,思考题,思考题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测 验 题,测验题答案,下次课内容 第十章 微分方程第一节 微分方程的基本概念第二节 一阶微分方程,
