1、点线面位置关系知识点总结【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。（线线平行线面平行）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （线面平行线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行面面平行）垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：如果两个平
2、面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行线面平行）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角） ，就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交
3、直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。【空间角问题】（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点 O，分别作与两条异面直线 a，b 平行的直0 ,ab线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（
4、2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为 平面的垂线与平面所成的角：规定 为平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算” 。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，解题时，注意挖掘题设中两个信息：斜线上一点到面的垂线；过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的
5、面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角09练习题一、选择题(每小题 4 分，共 52 分)1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为 ，4体积为
6、，则这个球的表面积是（ ）6 20 2432已知在四面体 中， 分别是 的中点，若 ，则 与ABCD,EF,ACBD2,4,ABCDEFAB所成CD的角的度数为（ ） 9045 633三个平面把空间分成 部分时，它们的交线有（ ）7 条 条 12 条 条或 条4在长方体 ，底面是边长为 的正方形，高为 ，则点 到截面1ABCD241A的距离为( ) 1A B 8338C D 445直三棱柱 中，各侧棱和底面的边长均为 ，点 是 上任意一点，连1CaD1C接 ，则三棱锥 的体积为（ ）11,AB1ABDA B 36a32aC D3316下列说法不正确的是（ ）A空间中，一组对边平行且相等的四边形
7、是一定是平行四边形；B同一平面的两条垂线一定共面；C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.7设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：,mn,若 ， ，则 若 ， ， ，则/nm/m若 ， ，则 若 ， ，则/ /其中正确命题的序号是 ( )A和 B和 C和 D和8若长方体的三个面的对角线长分别是 ，则长方体体对角线长为（ ） ,abcA B 22abc221C D22223abc9在三棱锥 中, 底面 ,ABC 0,3BCDBCAaB则点 到平面 的距离是( )A B C D5a15a3a1531
8、0在正方体 中，若 是 的中点，则直线 垂直于（ ） 1DAE1ACEA B C DC111三棱锥 的高为 ，若三个侧面两两垂直，则 为 的（ ）PPHHABA内心 B外心 C垂心 D重心12在四面体 中，已知棱 的长为 ，其余各棱长都为 ，则二面角A21的余弦值为（ ）CDA B C D 1233313四面体 中，各个侧面都是边长为 的正三角形， 分别是 和 的中Sa,EFSCAB点，则异面直线 与 所成的角等于（ ）EFAA B C D090604503二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)1点 到平面 的距离分别为 和 ，则线段 的中点 到 平面的距离为,cm6ABM_2从正方体的八
9、个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_。3一条直线和一个平面所成的角为 ，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的06角中最大的角是_4正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为 ，底面对角线的长为12，则侧面与底面所成的二面角等于_。265 在正三棱锥 （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，PABC,过 作与 分别交于 和 的截面，则截面 的周长的最4,8AB,DEADE小值是_三、解答题1已知直线 ，且直线 与 都相交，求证：直线 共面。 （15 分）/bca,bc,abc2 如图： 是平行四边形 平面外一点， 分别是 上的点，且 =SABCD,MN
10、,SABDSMA， 求证： 平面 （15 分）NDB/MNS3正方体 中， 是 的中点求证：平面 平1ABCDM1AMBD面 （15 分）4求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 （15 分）5.在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，平面 平面SABC4SAC， 、 分别为 的中点。 （18 分）,23MN,ABS（）证明： ；（）求二面角 - - 的大小；（）求点 到平面 的距离。BC参考答案一、选择题 1.C 正四棱柱的底面积为 ，正四棱柱的底面的边长为 ，正四棱柱的底面的对角线为42，正四棱柱的对角线为 ，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即226， 6R,4SR球2.D 取 的中点 ，
11、则 则 与 所成的角BCG1,2,EFGEFCD03EFG3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线4.C 利用三棱锥 的体积变换： ，则11AD11ABDABV12463h5.B 112233BDaaVSh6. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了7 A 若 ， ，则 ，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关m/n/mn/系若 ， ，则 ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交/8 C 设同一顶点的三条棱分别为 ，则,xyz22222,yazbxzc得 ，则对角线长为2221()x
12、yzabc22221()ca9 B 作等积变换 ABCDABV10 B 垂直于 在平面 上的射影E11 C PH12 C 取 的中点 ，取 的中点 ，F123,EBF3cosEFB13 C 取 的中点 ，则 ，在 中， ，SG2aEFSC2EFa045G二、填空题1. 或 分 在平面的同侧和异侧两种情况5cm1,AB2. 每个表面有 个，共 个；每个对角面有 个，共 个4846463. 垂直时最大 094. 底面边长为 ，高为 ， 3231tan35. 沿着 将正三棱锥 侧面展开，则 共线，且1PAABC,ADE/ABC三、解答题 1证明： ， 不妨设 共面于平面 ，设/bc,bc,abc，即 ，所以三线共面,a2略3略4略5略
