1、第三章 刚体力学,刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。,第三章 刚体力学,3.1 刚体运动的分析 3.2 角速度矢量 3.3 欧拉角 3.4 刚体运动方程与平衡方程 3.5 转动惯量 3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动 3.7 刚体的平面平行运动 3.8 刚体绕固定点的运动,3.1 刚体运动的分析,刚体 特殊的质点组、理想化模型任意两点间的距离始终保持不变（刚性）。当物体的
2、形变可以忽略不计时就可以近似看作刚体。,自由度 完全确定体系位置所需要的最少的独立变量个数叫 体系的自由度。,例如：自由质点,自由度= 3,质点组(n个质点)：,自由度= 3n,1. 刚体运动的描述,确定刚体在空间的位置，最少需要几个独立变量？,至少需要6个独立变量来确定刚体位置,刚体的自由度 = 6,取哪6个独立变量？,刚体位置的描述,（1）三点法：,（2）转轴法：,（3）欧拉角法：,从9个非独立坐标 中任取6个独立的,轴上一点3个坐标，轴的方位3个坐标，再加上转角,直接选取独立的2个变量确定转轴方位，再加上转角,1）一般运动,刚体一般运动的自由度为6,2. 刚体运动的分类,平动的自由度=3
3、,2）平动,世界最大的摩天轮“伦敦眼”,刚体在运动中的各个时刻，其上任意一直线在运动过程中始终彼此平行，这种运动叫做平动。,定轴转动的自由度=1,3）定轴转动,刚体运动时所有质点都绕着空间一条固定不动的直线作圆周运动，这种运动即定轴转动,平面平行运动的自由度：3,4）平面平行运动,刚体运动时，其中任意一点如果始终在平行于某一固定平面的平面内运动，这种运动叫平面平行运动,定点转动的自由度：3个,5）定点转动,刚体运动时，只有一点固定不动，整个刚体围绕着通过定点的某一瞬时轴线转动，这种运动叫定点转动。,3.2 角速度矢量,设刚体绕通过定点O的某轴线转动了角度,角位移：,在转动轴上截取有向线段 称为
4、角位移,的方向：与旋转方向成右手螺旋关系,角位移是不是矢量？,矢量的合成满足平行四边形法则,满足对易律：A+B=B+A,：角位移不是矢量，不满足矢量加法对易律,有限转动,M,证明:,无限小转动,：角位移是矢量，满足矢量加法对易律,当刚体转动无限小角度,P点的线位移：,令刚体先后绕过O的轴线作两次微小转动,转动 后位移：,1）转动前位矢：,再转动 后的位移：,不计二阶小量：,2)交换转动次序,位矢：,位矢：,转动 后位移：,位矢:,再转动 后的位移：,不计二阶小量：,位矢：,线位移是矢量,2.角速度矢量,角速度：,角量与线量的关系：,大小：,方向：,沿着转动瞬时轴，与旋向成右手螺旋关系,一、欧拉
5、角,3.3 欧拉角,当刚体作定点转动时，我们以该定点为原点，而用3个独立的角度来确定刚体的位置，这3个角称为欧拉角。,固定在刚体上的坐标系o-xyz, 动系，其位置代表刚体位置,建立：定系o-,ON：节线,Note： （1）3个欧拉角的作用：（2）欧拉角的取值范围：,可以完全描述 定轴转动刚体的一切位置,二、欧拉运动学方程,定点转动刚体绕转动瞬时轴转动,欧拉运动学方程,一.力系的简化,3.4 刚体运动方程与平衡方程,作用在刚体上的力所产生的力学效果仅与力的量值和作用线的 地位和方向有关，而与力的作用点在作用线上的地位无关。,1、力的可传性原理,Note：（1）在刚体力学中，力被称为滑移矢量。,
6、（2）可沿作用线前后滑移， 但作用线本身不能随便迁移。,2、力偶：,（2）作用效果：,（1）定义：大小相等、方向相反，作用线相互平行的一对力,矢量和：F1 + F2 0,力偶矩：,大小：M=Fd，仅与两力大小F和两力作用线距离d有关,与P无关,Note：（1）力偶的唯一作用效果是力偶矩；（2）力偶对力偶面上任一点的力偶矩相等； （3）力偶矩用垂直于力偶面的任一有向线段表示；（4）力偶矩是自由矢量。,方向：垂直于力偶面，与力偶的旋向成右手螺旋关系,一般力系,3、力系的简化：,共点力系的简化 平行四边形法则,共面非平行力系的简化力的可传性原理+平行四边形法则,（1）平行力系的简化：按等效原则求合力
7、。 例：求同向平行力的合力合力的大小： F1 F2 合力的方向：与原分力同向作用线位置：满足MA MB M合，设距离F1为x取A为矩心：F2 d= (F1 + F2) x x = F2 d/ (F1 + F2),练习：求反向平行力的合力 F1 F2,（2）空间力系的简化：,力的作用线迁移后，转化为一个力和一个力偶（矩）,力的作用线的迁移：,例如：力F从A迁移到B,必须加上一个力偶（相当于力在原位置对新位置的力矩）,空间力系的简化 可以简化为空间定点的一个单力F和一个力偶矩M，F称主矢，M称主矩，定点称简化中心。,Note: (1)简化中心可以任意选取（一般取质心）；,(2)主矢与简化中心无关，
8、主矩与简化中心有关。,迁移到B，需添加：,迁移到C，需添加：,力系分别向B、C迁移：,（3）讨论：共面力系简化的最终结果有哪几种可能？,（ 只能是：零，合力，力偶三种情况）,例如：作用在A点的力F分别向B、C迁移：,刚体：特殊的质点组,二.刚体运动微分方程,Note： 明确方程中各个量的意义。,:主矢,6个方程正好确定 刚体的6个独立变量,：以质心为中心得到的动量矩和主矩。,1、刚体的运动方程：,2、刚体的动能定理：,3、刚体的机械能守恒：,质点组：,刚体：,保守力作功,：为以固定点中心得到的动量矩和主矩。,当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为,三.刚体的平衡方程,刚体的平衡：刚体相
9、对定系处于静止状态,平衡条件（方程）：维持初态平衡所需的条件,1、平衡方程的一般形式：,直角坐 标系下：,主矢为零，对任意定点主矩为零,2、平面力系的平衡方程：,设刚体受力都在oxy平面内,平衡方程：,一矩式：,二矩式：,三矩式：,（A、B为平面上任意两点，且AB连线与x轴不垂直）,（A、B、C为平面上不共线三点）,（ A是平面上任意一点）,例 p128. 最小，平衡。求A处的摩擦系数。,解 是共面力系的平衡问题，受力分析,一矩式：（1.2.3） （1.2.4） （1.2.5）,二矩式： （1.3.4） （1.3.5） （1.4.5）（2.3.4） （2.3.5） （2.4.5）,三矩式： （3.4.5）,例题. 均匀直杆AB和BC在B端铰链，A端铰链在墙上，C端抵在墙上，已知C端与墙之间的摩擦系数为=0.5，试求平衡时两杆间的夹角的最大值，设两杆的长度、重量均相等。,解：设两杆的长度为 l 重为 G，建立如图示的坐标系，并受力分析,选择整个刚体为研究对象，取A点为矩心可得：,根据静摩擦的性质：,取BC杆为研究对象，以B点为矩心可得：,联立可解：,作业：（3.1）（3.4）,
