1、 第三章 刚体力学习题答案3-1 如图 3-1 示,一轻杆长度为 ,两端各固定一小球,A 球质量为 ,B 球质量为 ,2l 2m杆可绕过中心的水平轴 O 在铅垂面内自由转动,求杆与竖直方向成 角时的角加速度. 解：系统受外力有三个，即 A，B 受到的重力和轴的支撑作用力，轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用. 以顺时针方向作为运动的正方向，则A 球受力矩为正，B 球受力矩为负，两个重力的力臂相等为 ，故合力矩为 sindl2sinsisinMmgllmgl系统的转动惯量为两个小球（可视为质点）的转动惯量之和 223Jll应用转动定律 J有： 2sinmgll解得 3l3
2、-2 计算题3-2图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体,其质量为 ,半径为 ,在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转,忽略桌Mr面与物体间的摩擦,设50kg, 200kg,M15kg, 0.1m. 1m2r解: 分别以 , 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示对 , 运用牛顿定律，1m2 1m2有aTg22m1对滑轮运用转动定律，有图 3-1图 3-2)21(2MrTr又， a联立以上 4 个方程，得 221 sm6.721508.9mga3-3 飞轮质量为 60kg,半径为 0.25m,当转速为 1000r/min 时,要在 5s 内令其制动,求制动力 ,设闸瓦与飞轮间摩擦系数 0.
3、4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算,闸杆尺F寸如图所示. 解：以飞轮为研究对象，飞轮的转动惯量 ，制动前角速度为21JmRrad/s，制动时角加速度为 - 制动时闸瓦对飞轮的压力为 ，闸瓦1026tNF与飞轮间的摩擦力 ，运用转动定律，得fNF2fRJm则 Nt以闸杆为研究对象，在制动力 和飞轮对闸瓦的压力 的力矩作用下闸杆保持平衡，FNF两力矩的作用力臂分别为 m 和 0-50m，则有(0.57)l1l1NFlN.60.250157205746lmRt 图 3-33-4 设有一均匀圆盘,质量为 ,半径为 ,可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转mR动. 圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为 ,若用外
4、力推动它使其角速度达到 时,撤去0外力,求：(1) 此后圆盘还能继续转动多少时间？(2) 上述过程中摩擦力矩所做的功.解：（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩 作用下停止转动- 设盘质量密度为 ，fM2mR则有 203RfMgrdmgR根据转动定律 21,fJ43gR0034Rtg（2）根据动能定理有摩擦力的功 220014fWJmR3-5 如题3-6图所示,一匀质细杆质量为 ,长为 ,可绕过一端 的水平轴自由转动,杆mlO于水平位置由静止开始摆下求：(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过 角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有 )31(22mlg l(2)由机械能守恒定律，有图 3-62)31
5、(sin2mllg li3-6 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 转动设大小圆柱O体的半径分别为 和 ,质量分别为 和 绕在两柱体上的细绳分别与物体 和 相RrMm1m2连, 和 则挂在圆柱体的两侧,如3-8图所示设 0.20m, 0.10m, 4 1m2 Rrkg, 10 kg, 2 kg,且开始时 , 离地M1 12 均为 2m求：h(1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力解: 设 , 和 分别为 , 和柱体的加速度及角1a21m2 加速度，方向如图(如图 b)(a)图 (b)图(1) , 和柱体的运动方程如下：1m222amgT11IrR2式中 aT 122
6、1,而 22mrMI由上式求得 2 22221srad13.6 8.91001.40. grmRI(2)由式 8.20.913.6022 gmrTN由式 1.7.8.911 R3-7 一风扇转速为900r/min, 当马达关闭后,风扇均匀减速,止动前它转过了75转,在此过程中制动力做的功为44.4J,求风扇的转动惯量和摩擦力矩. 解：设制动摩擦力矩为 ，风扇转动惯量为 ，止动前风扇的角位移 ，摩擦MJ2N力矩所做的功为 2AN摩擦力所做的功应等于风扇转动动能的增量，即 10Jkg m22(4.)0.19/62N m.975AMN3-8 一质量为 、半径为 的圆柱体,在倾斜 角的粗糙斜面上从距地
7、面 高处只滚不rh滑而下,试求圆柱体滚止地面时的瞬时角速度 .解： 在滚动过程中，圆柱体受重力 和斜面的摩Mg擦力 作用，设 圆柱体滚止地面时，质心在瞬时F速率为 ，则此时质心的平动动能为 ，与此同时，圆柱体以角速度 绕几何中心v21v轴转动，其转动动能为 .将势能零点取在地面上，初始时刻圆柱体的势能为 ，2JMgh由于圆柱体只滚不滑而下，摩擦力为静摩擦力，对物体不做功，只有重力做功，机械能守恒，于是有 221Mghv式中 ，代入上式得21,JMrv2()gh即 23r3-9 一个轻质弹簧的倔强系数 N/m,它的一端固定,另一端通过一条细绳绕过一个2.0k定滑轮和一个质量为 80g 的物体相连
8、,如图所示. 定滑轮可看作均匀圆盘,它的质m量为 100g,半径 0.05m. 先用手托住物体 ,使弹簧处于其自然长度,然后松Mrm手.求物体 下降 0.5m 时的速度为多大？忽略滑轮h轴上的摩擦,并认为绳在滑轮边缘上不打滑. 解：由于只有保守力（弹性力、重力）做功，所以由弹簧、滑轮和物体 组成的系统m机械能守恒，故有 22211mghkImv,vrM所以 m/s21.48ghk3-10 有一质量为 、长为 的均匀细棒, 静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上,它1ml 可绕通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动 . 另有一水平运动的质量为 的小滑块, 从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相
9、碰撞, 2设碰撞时间极短. 已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 和 ,如图1V2示,求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间（已知棒绕 O 点的转动惯量 ）.213Jml解：对棒和滑块组成的系统，因为碰撞时间极短，所以棒和滑块所受的摩擦力矩远小于图 3-11图 3-12相互间的冲量矩，故可认为合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，且碰撞阶段棒的角位移忽略不计，由角动量守恒得 221213mvll碰撞后在在转动过程中棒受到的摩擦力矩为110tfMgdxmgll由角动量定理得转动过程中2103tfl联立以上三式解得： 12Vtmg3-11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆它离太阳最近距离为
10、8.7510 10m 时的1r速率是 5.4610 4ms-1,它离太阳最远时的速率是 9.0810 2ms-1，这时它离1v 2v太阳的距离 为多少?(太阳位于椭圆的一个焦点.)2r解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有21mvr m106.508.94752221 vr3-12 平板中央开一小孔,质量为 的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为 的重1M物小球做匀速圆周运动,当半径为 时重物达到平衡今在 的下方再挂一质量为0r1的物体,如 3-14 图试问这时小球做匀速圆周运动的角速度 和半径
11、为多少? 2Mr解: 在只挂重物时 ，小球作圆周运动的向心力为 ，即1MgM1图 3-14201mrgM挂上 后，则有2M221)(rg重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒即 vm022r联立、得 10021301123012()Mgmrrgr 3-13 如图示 , 长为 的轻杆, 两端各固定质量分别为 和 的小球, 杆可绕水平光滑轴l m在竖直平面内转动, 转轴 O 距两端的距离分别为 或 . 原来静止在竖直位置. 今/3l/l有一质量为 的小球, 以水平速度 与杆下端的小球 做对心碰m0v撞, 碰后以 的速度返回, 试求碰撞后轻杆所获得的角速度 . 0/2v 解：将杆与两端的小球
12、视为一刚体，水平飞来的小球 与刚体视为一系统，在碰撞过程中，m外力包括轴 O 处的作用力和重力，均不产生力矩，故合外力矩为零，系统角动量守恒- 选逆时针转动为正方向，则由角动量守恒得0023vllmJ2()()J解得 0vl图 3-133-14 圆盘形飞轮 A 质量为 , 半径为 , 最初以角速度 转动, 与 A 共轴的圆盘形飞轮mr0B 质量为 ,半径为 , 最初静止, 如图所示, 两飞轮啮合后 , 以同一速度 转动, 求42r 及啮合过程中机械能的损失. 解：以两飞轮组成的系统为研究对象，由于运动过程中系统无外力矩作用，角动量守恒，有2220114()mrrmr得 7初始机械能为 2210
13、04Wrr啮合后机械能为 222 011()74mmr则机械能损失为 120667rW3-15 如图示 ,一匀质圆盘半径为 ,质量为 ,可绕过中心的垂轴 O 转动.初时盘静止,一1质量为 的子弹一速度 沿与盘半径成 的方向击中盘边缘后以速度 沿与半2mv6/2v径方向成 的方向反弹,求盘获得的角速度. 30解：对于盘和子弹组成的系统，撞击过程中轴 O 的支撑力的力臂为零，不提供力矩，其他外力矩的冲量矩可忽略不计，故系统对轴 O 的角动量守恒，即，初时盘的角动量为零，只有子弹有角动量，故12L图 3-14图 3-1512sin60Lmvr末态中盘和子弹都有角动量，设盘的角速度为 ，则221i3r
14、故有 221sn60sin0vvrmr可解得： 1()mr3-16 一人站在一匀质圆板状水平转台的边缘 ,转台的轴承处的摩擦可忽略不计,人的质量为 ,转台的质量为10 ,半径为 .最初整个系统是静止的,这人把一质量为 的石 Rm子水平地沿转台的边缘的切线方向投出,石子的速率为 （相对于地面）.求石子投出v后转台的角速度与人的线速度.解：以人、转台和石子组成的系统为研究对象，由于系统无外力矩作用，角动量守恒，设转台角速度 的转向与投出的石子速度 方向一致，初始时系统角动量为零，得v0JmRv人和转台的转动惯量 ，代入上式后得21JRm6人的线速度为 vv其中负号表示转台角速度转向和人的线速度方向
15、与假设方向相反-3-17 一人站在转台上,两臂平举 ,两手各握一个 kg,哑铃距转台轴 m,起初转4m0.8r台以 rad/s的角速度转动,然后此人放下两臂,使哑铃与轴相距 0.2m,设人与02转台的转动惯量不变,且 kg m ,转台与轴间摩擦忽略不计,求转台角速度变为多大？5J2整个系统的动能改变了多少？解：以人、转台和哑铃组成的系统为研究对象，由于系统无外力矩作用，角动量守恒，有 220()()JmrJrrad/s022540.81.0动能的增量为 220 01()()WJmrJr2 2211(540.)(540.8)(2 183J3-18 如3-20图所示,质量为 ,长为 的均匀直棒,可
16、绕垂直于棒一端的水平轴 无摩擦Ml O地转动,它原来静止在平衡位置上现有一质量为 的弹性小球飞来,正好在棒的下端与m棒垂直地相撞相撞后,使棒从平衡位置处摆动到最大角度30处(1)设这碰撞为弹性碰撞,试计算小球初速 的值；0v(2)相撞时小球受到多大的冲量? 解: (1)设小球的初速度为 ，棒经小球碰撞后得到的初角速度为 ，而小球的速度变0v 为 ，按题意，小球和棒做弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，v可列式：mvlIlv022211上两式中 ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖231MlI直位置上摆到最大角度 ，按机械能守恒定律可列式：o0)30c
17、os1(22lgI由式得 2121)()30cos( lgIMl由式mlIv0由式I202所以 22001)(mvlIv图 18求得 glmMlIlv312(6)1()20 (2)相碰时小球受到的冲量为 0dvtF由式求得 llIvt 310gM6)2(负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反3-19 如图示,一个转动惯量为 ,半径为 的定滑轮上面绕有细绳,并沿水平方向拉着一个IR质量为 的物体 A. 现有一质量为 的子弹在距转轴Mm的水平方向以速度 射入并固定在定滑轮的边缘,使滑2R0v轮拖住 A 在水平面上滑轮.求(1)子弹射入并固定在滑轮边缘后,滑轮开始转动时的角速度 .(2)若定滑轮拖着
18、物体A 刚好转一圈而停止,求物体 A 与水平面间的摩擦系数（轴上摩擦力忽略不计）.解：（1）子弹射入定滑轮前后，子弹、定滑轮及物体 A 构成的系统角动量守恒 220RmvIMR解得 22()I（2）定滑轮转动过程中物体 A 受的摩擦力所做的功等于系统动能的增量221()ImRMgR解得 026()vgI3-20 行星在椭圆轨道上绕太阳运动,太阳质量为 ,行星质量为 ,行星在近日点和远1m2日点时离太阳中心的距离分别为 和 ,求行星在轨道上运动的总能量.1r2解：将行星和太阳视为一个系统，由于只有引力做功，系统机械能守恒，设行星在近日点图 3-19和远日点时的速率分别为 和 ，有1v222121
19、21mmvGvGrr行星在轨道上运动时，受太阳的万有引力作用，引力的方向始终指向太阳，以太阳为参考点，行星所受力矩为零，故行星对太阳的角动量守恒12mrv行星在轨道上运动时的总能量为 2212121 mEGvGrr联立以上三式得： 12E3-21 半径为 质量为 的匀质圆盘水平放置,可绕通过圆盘中心的竖直轴转动 . 圆盘Rm边缘及 处设置了两条圆形轨道,质量都为 的两个玩具小/2m车分别沿两轨道反向运行,相对于圆盘的线速度值同为 . 若v圆盘最初静止,求两小车开始转动后圆盘的角速度. 解： 设两小车和圆盘运动方向如图所示，以圆盘转动方向为正向，外轨道上小车相对于地面的角动量为 ，内轨道上小车相
20、对于地面的角动量为 ，()mRv1()2mRv圆盘的角动量为 ，由于两小车和圆盘组成的系统，外力对转轴的力矩为零，21J角动量守恒，得21()()0vvmR2(5)mR3-22 如图示,一匀质圆盘 A 作为定滑轮绕有轻绳,绳上挂两物体 B 和 C,轮 A 的质量为 ,半1m径为 ,物体 B、C 的质量分别为 、 ,且 . 忽略轴的摩r2m323擦,求物体 B 由静止下落到 时刻时的速度. t 图 3-21图 3-22解：把滑轮和两个物体作为一个系统，其运动从整体上看对定轴 O 是顺时针方向的，即轮 A 沿顺时针方向转动物体 B 向下运动物体 C 向上运动，故以顺时针方向的运动作为系统运动的正方
21、向，根据角动量定理，得（1）00tMdL（1）式左边为系统受到的合外力矩对轴 O 的冲量矩，由于轮 A 所受重力和轴的作用力对轴 O 的力矩为零，故只有两物体所受重力提供力矩，注意到两个重力矩的方向相反，故合力矩为（2）2121()mgrmgr（1）式右边为系统对轴 O 的角动量的增量 - 时系统静止，角动量0t（3）0L到 时刻，A、 B、C 三个物体均沿顺时针方向运动，角动量均为正- 设此时轮 A 的角速度t，B、C 两物体速率相同设为 ，则有v（4）213mrvr把(2)、(3)、(4) 式代入(1)式有 22113()gt由于系统为一连接体，两物体的速率与轮边缘的速率相同，即有 vr把此式代入(5)式即可求得物体下落 时的速度t2113()mgt
