1、- 1 -初高中数学衔接知识点专题（一） 专题一 数与式的运算【要点回顾】1绝对值1绝对值的代数意义： 即 |a2绝对值的几何意义： 的距离 3两个数的差的绝对值的几何意义： 表示 的距离ab4两个绝对值不等式: ； |(0)x|(0)xa2乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：1平方差公式： ；2完全平方和公式： ；3完全平方差公式： 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：公式 1 2()abc公式 2 (立方和公式)3ab公式 3 (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式 ”3根式1式子 叫做二次根式，其性质如下：(0)a(1) ；(2) ；(3) ； (4) 22aabb
2、a2平方根与算术平方根的概念： 叫做 的平方根，记作 ，(0)xa其中 叫做 的算术平方根a(0)3立方根的概念： 叫做 的立方根，记为 34分式1分式的意义 形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为分式当 M0 时，分式 具A0BAAB有下列性质： （1） ； （2） 2繁分式 当分式 的分子、分母中至少有一个是分式时， 就叫做繁分式，如 ，B 2mnp说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则 ；(2) 利用分式的基本性质3分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有
3、理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程- 2 -【例题选讲】例 1 解下列不等式：（1） （2） 41x13x例 2 计算： （1） （2）221()3x 2211()()504mnmn（3） （4）42(2)(16)aa222()()xyxy例 3 已知 ，求 的值210x31x例 4 已知 ，求 的值0abc11()()()abccab例 5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数 )：（1） （2） 3222(1( (1)xx（3） （4） 1ab328xx例 6 设 ，求 的值23,xy3xy- 3 -例 7 化简：（1） （2）1x2239617xx（
4、1）解法一：原式= 222 ()1(1)1xxxxx 解法二：原式= 22()()()1xxxx（2）解：原式=22396161()()(3)(3)2(3)xx xxx21说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 【巩固练习】1 解不等式 327x2 设 ，求代数式 的值1,32xy22xy3 当 ，求 的值220(,)abab2ab4 设 ，求 的值512x421x5 计算 ()()()()xyzzxyz- 4 -6化简或计算：(1) (2) 13(84)2221(5)3(3) (4) 2xyx
5、y()( )baba 各专题参考答案 - 5 -1 3 A B x 0 4 C D x P |x 1| |x 3| 图 1 1 专题一数与式的运算参考答案例 1 （1）解法 1：由 ，得 ；20x2x若 ，不等式可变为 ，即 ； 若 ，不等式可变为 ，即2x132x(2)1x，解得： 综上所述，原不等式的解为 13解法 2： 表示 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离，所以不等式 的几何意义即为 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1，观察数轴可知坐标为 x 的点在坐标为 3 的点的左侧，在坐标为 1 的点的右侧所以原不等式的解为 x解法 3： ，所以原不
6、等式的解为 133（2）解法一：由 ，得 ；由 ，得 ；0x0若 ，不等式可变为 ，即 4，解得 x0，又 x1， x0；若x()42，不等式可变为 ，即 14， 不存在满足条件的 x；1若 ，不等式可变为 ，即 4， 解得 x4又 x3，x 4313x综上所述，原不等式的解为 x0，或 x4解法二：如图， 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|，即|PA| x1|；|x 3| 表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离| PB|，即|PB| |x3|所以，不等式 4 的几何意义即为|PA |PB|4由|AB| 2，13可知点 P 在点 C
7、(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧所以原不等式的解为 x0，或 x4例 2（1）解：原式= 221()1() (2)33x xx42819x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列（2）原式= 3331()558mnn（3）原式= 242236)(4aaa（4）原式= 2()xyxyxyy32636()xyxy例 3 解： 2101原式= 222()()3()18xx例 4 解： ,abcabcacb原式= 22()abc3223()3 c，把 代入得原式=3abcaab例 5 解：（1）原式= 2()()6323（2）原式= 123 ()|1|()1xxx- 6 -说明：注意性质 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论2|a（3）原式=2ba（4） 原式= 2223xxxx例 6 解： 23()743, 14,xyy 原式= 2 22()()14()70yyxx说明：有关代数式的求值问题 (1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据 结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量【巩固练习】1 2 3 或 4 43x162355 6422yzxyzy1,2,4xyba
