1、2003 年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题（每小题 6 分,满分 36 分）1 删去正整数数列 1,2,3,中的所有完全平方数，得到一个新数列这个新数列的第 2003 项是(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)20492 设 a, bR, ab0，那么，直线 axy+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是O xyxyOxyO xyO(A) (B) (C) (D)3 过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60的直线若此直线与抛物线交于 A,B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于(A) (B) (C) (D)81638
2、31634 若 x , ，则 y= tan(x+ )tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是2526(A) (B) (C) (D)1616135125 已知 x,y 都在区间(2,2)内，且 xy1，则函数 u= + 的最小值是24x9y(A) (B) 124 (C) 72 (D)8 516 在四面体 ABCD 中，设 AB=1，CD= 3，直线 AB 与 CD 的距离为 2，夹角为 ，则四面体 ABCD 的3体积等于(A) (B) (C) (D)2321313二、填空题(每小题 9 分,满分 54 分)7 不等式|x| 32x24|x|+30 的解集是_.8 设 F1,F2 是椭圆 的两
3、个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF2|=2:1，则PF 1F2 的面积等于142y_.9 已知 A=x|x24x+30,xR, B=x| 0, x22(a+7)x+50,xR若 AB, 则实数 a 的取值范围12是_.10 已知 a,b,c,d 均为正整数，且 logab= , logcd= ，若 ac=9, 则 bd=_.34511 将八个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_.12 设 Mn=(十进制)n 位纯小数 0. |ai 只取 0 或 1(i=1,2,n1)，a n=1，T n 是
4、 Mn 中元素的个n21数，S n 是 Mn 中所有元素的和，则 =_.nTSlim三、解答题(每小题 20 分，满分 60 分)1. 已知 ,证523x 1923521xx2. 设 A、B、C 分别是复数 , , 对应的不共线三点。aiz0bi1 ),(Rcbaiz证：曲线 与 中平行于 AC 的中位线只有一个公共)sncoss422140 tttz ABC点，并求出此点。3. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A，且 OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点 刚好与 A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。第二试一、过圆
5、外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A、B，所作割线交圆于 C、D 两点，C 在 P、D之间，在弦 CD 上取一点 Q，使 。求证：PCDAPAQ二、设三角形的三边长分别是整数 且 ,已知 ，其中nml,l444103103nmt，求这种三角形周长的最小值。x三、由 n 个点和这些点之间的 条连线段组成一个空间图形，其中 ，l 12qn，已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有Nqql ,21)(22q+2 条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由 A,B,C,D 和 AB、BC 、CD、DA 组成的图形） 。2003 年全国高中数学联赛第一试参考答案一、选
6、择题1 2 3 4 5 6C B A C D B提示：1. 注意到 , ,故 ;05422162048320a2. 题设方程可化为 和 ,观察图形可知；baxyy3. 易知直线 AB 的方程为 ,因此 A,B 两点的横坐标满足方程 ,从而弦 AB 中点3 016832x的横坐标为 ,纵坐标 ,进而求得中垂线方程之后，令 y=0，得点 P 的横坐标即40x40yPF= ；3164. 原函数可化为 ,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当6cos342sinxxy时，y 取最大值 ;3x615. 消去 y 之后可得： ,用基本不等式可求得函数 u 的最小值 ;249375xu 5126. 可用等
7、积法求得，过程略。二、填空题7. . 提示： 原不等式可以化为:3,215,301|3|2xx8. 4 是直角三角形，故 的面积为 ;21FP21FP 4|212PFS9. a提示： ,令 , ,则只需 在（1，3）上的3Aaxfx157xaxgxgf,图象均在 x 轴的下方，其充要条件是 ,由此推出 ;031gf 141093 提示： 由已知得 , ,又 ，故dcba452, 42,cdab9ca,推得 , ;92242 cdabcdab 1922cdab32,516dc11 48+提示：如图，上下层的四个球的球心 A1,B1,C1,D1,A,B,C,D 分别是上下两个边长为 2 的正方形的
8、顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时 A1 在底面上的射影 M 为弧 AB的中点。由于 A1A=A1B=AB=2, , ,求得2OAM1N,故所求的高为 ； 42211 8NA482+12 提示： ,81nT nnnS 102101022 三、解答题13证明：由 可得bdacdbcadcbadcba 2)( 22当且仅当 a=b=c=d 时取等号 5 分,2则 xxxx 31131512 15 分924因为 不能同时相等，所以xx,20 分13512x14设 ,则代入并由复数相等可得Ryxiz,即 因为 A,B,C 不共线 1012sin22 xcbaytx axbxcay2，所以
9、,可见所给曲线是抛物线段（图略） 5 分0cAB,BC 的中点分别是 ,；2,434bEaD所以 DE 的方程为 10 分cbaxcy2341联立两式得 ,得 ,注意到 ,所以抛物线与 中平行于 AC 的02ba4321ABC中位线 DE 有且只有一个公共点，此点的坐标为 ,相应的复数为 ,bca ibcaz42115 分15如图建立直角坐标系，设 ,MN 为 AA1 的中垂线，设 P（x,y）是 MN 上任一点，sin,co1RA则|PA|=|PA1| 5 分代入推得 10 分axyxR2sinco22可得 其中 ,sin22ax 2siny. 所以 15 分2coyx12yxR平方后可化为
10、 222aa所求点的集合为椭圆 外（含边界）部分。20 分122aRyx2003 年全国数学联赛二试解答1、证明 、 、 、 四点共圆， ，由已知 ，ABCDABCPBCDAQ ，而 是 的一个外角，PBQD， P故 、 、 、 四点共圆，从而 ABAQ所以 BCAQCDQP)180( CADP)180(命题得证PA2、解 ， （ ） 444103103nml nml3410od考虑最小的正整数 ，使之满足 （ ） （ ） ， pp4410modp|4令 ，即 （ ） qp41)(93224qq 0od于是 （ ） ，01013222qqCC4（ ） ，6)2()( 410od（ ） ， ， 0)1(2q 3mq2|5令 ，则 （ ） ，s5 )(2010ssss 3即 （ ） ， 6)2()(1 1ods|令 ，则 （ ） ，ts 0)5(0)5(tttt（ ） ，)(102)5(0 2mt|5由 ， ， 知 ，又 ，所以 t|tssqq|25p4p|而当 时， （ ）5p 134010132500 CC 40mod即 （ ） ，且 500 为最小值 ，1304mod 5)(minlD CBPAQ又 、 、 为三角形三边， ，即 ， ，lmnnmlnn501501n所以 30153)(i
