1、二五年高中数学联赛试卷一、选择题1. 使关于x的不等式有解的实数k的最大值是A. B. C. D. 2. 空间四点A、B、C、D，满足、，则的取值A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个3. ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是A. 2B. 4C. 6D. 84. 如图，ABCDABCD为正方体，任作平面与对角线AC垂直，使与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则A. S是定值，l不是定值B. S不是定值，l是定值C. S、l均是定值D. S、l均不是定值5. 方程表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭
2、圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线6. 记集合，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是A. B. C. D. 二、填空题7. 将多项式表示为关于y的多项式 ，且，则=_。8. f(x)是定义在(0,+)上的减函数，若成立，则实数a的取值范围是_。9. 设、满足，若对任意，成立，则=_。10. 如图，四面体DABC的体积为，ACB=45，则CD=_。11. 正方形ABCD的一条边在直线上，另外两顶点在上，则正方形面积的最小值为_。12. 若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3，若
3、an=2005，则a5n=_。三、解答题13. 数列an满足a0=1，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数。14. 将编号为1、2、3、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。15. 过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，F在线段BC上，且1+2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。二五年全国高中数学联合竞赛试题参
4、考答案及评分标准说明：1 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1使关于的不等式有解的
5、实数的最大值是（ ）A B C D解：令则的最大值为。选D。2空间四点A、B、C、D满足则的取值（ ）A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个解：注意到由于则=即只有一个值得0，故选A。3内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、。则的值为（ ）A2 B4 C6 D8解：如图，连，则4如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ）AS为定值，不为定值 BS不为定值，为定值CS与均为定值 DS与均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角
6、三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值。当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B。5.方程表示的曲线是（）A焦点在轴上的椭圆B焦点在轴上的双曲线C焦点在轴上的椭圆D焦点在轴上的双曲线解：即又方程表示的曲线是椭圆。即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。6.记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）ABCD解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得中
7、的最大数为。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以，便得M中的数故选C。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.将关于的多项式表为关于的多项式其中则.解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取有8.已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是解：在上定义，又仅当或时，在上是减函数，结合（）知或9.设、满足，若对于任意则解：设由，知，即又只有另一方面，当有记，由于三点构成单位圆上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有即10.如图，四面体
8、DABC的体积为，且满足则.解：即又等号当且仅当时成立，这时面ABC，.11.若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为80.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为.、联立解得或12.如果自然数的各位数字之和等于7，那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则5200.解：方程的非负整数解的个数为.而使的整数解个数为.现取，可知，位“吉祥数”的个数为2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”，且对于四位“吉祥数
9、”，其个数为满足的非负整数解个数，即个。2005是第1+7+28+28+165个“吉祥数”，即从而又而从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.第325个“吉祥数”是52000，即三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得-得由式及可知，对任意为正整数.10分（2）将两边配方，得由0（mod3）为正整数式成立.是完全平方数.20分14.将编号为1,2，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每
10、个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种. 5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，则上式取等号当且仅当，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此.10分由上知，当每个弧段上的球号确定之后，达到最小值的排序方案便唯
11、一确定.在1,2，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是种，故所求概率20分15.过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点. 5分设、，则由知，得EF所在直线方程为：化简得10分当时，直线CD的方程为：联立、解得，消去，得P点轨迹方程为：15分当时
12、，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，所求轨迹方程为20分解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. 5分令则因为CD为的中线，而是的重心. 10分设因点C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为20分2005年全国高中数学联赛试题（二）一、（本题满分50分）如图，在ABC中，设ABAC，过A作ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。证明：直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）证明：（1）先证DE过ABC的内
13、心。如图，连DE、DC，作BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，得，AGDC，ID=IC.又D、C、E在A上，IAC=DAC=IEC，A、I、C、E四点共圆，CIE=CAE=ABC，而CIE=2ICD，ICD=ABC.AIC=IGC+ICG=90+ABC，ACI=ACB，I为ABC的内心。 （2）再证DF过ABC的一个旁心.连FD并延长交ABC的外角平分线于I1，连II1、B I1、B I，由（1）知，I为内心，IBI1=90=EDI1，D、B、l1、I四点共圆，BI l1 =BDI1=90ADI1=（BAC+ADG）ADI=BAC+IDG，A、I、I1共线.I1是A
14、BC的BC边外的旁心二、（本题满分50分）设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.解：由条件得，即，同理，得a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC， ，问题转化为：在锐角ABC中，求函数、）=的最小值.令则且同理，+（取等号当且仅当，此时，三、（本题满分50分）对每个正整数n，定义函数（其中x表示不超过x的最大整数， 试求：的值.解：对任意，若，则，设则让a跑遍区间）中的所有整数，则于是下面计算画一张2k2k的表，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共个，全表的“*”号共个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共个，因此=.示例如下：ji1234561*2*3*4*56*则由此，记易得的取值情况如下：k123456789101112131415356678698881071010因此，据定义，又当，则从则
