1、第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等） ，那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替） ，从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线
2、： ：斜率； ：直线所过的定点k0,xy（2）圆： :圆心的坐标； 圆的半径,ab:r（3）椭圆： ：长轴长，焦半径的和； 短轴长； ：焦距2:b2c（4）双曲线： ：实轴长，焦半径差的绝对值； 虚轴长； ：焦距2:注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着 展开，通过这些条件也可以求出,a的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）：,abc离心率： ；通径（焦点弦长的最小值）： 等e2ba（5）抛物线： 焦准距:p3、待定系数法中方程的形式：（1）直线与曲线方程通式： 直线： ，ykxmyt 圆： 20DEF 椭圆：标准方程： （或 ，视焦点所在轴来决定）21xyab210yxab第
3、九章 求曲线（或直线）方程 解析几何椭圆方程通式： 210,mxnyn 双曲线：标准方程： （或 ，视焦点所在轴决定）2,ab210,yxab双曲线方程通式： 210mxny 抛物线：标准方程： 等2yp抛物线方程通式： ，x2y（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下： 过相交直线 的交点的直线系方程为：1122:0lAxByC即 （其中 为参数）120l11220xy 与直线 平行的直线系方
4、程为： （其中 为参数）0AxByAxBy 与直线 垂直的直线系方程为： （其中 为参数）C 过相交两圆 交点的圆系方程为：211122: 0xyDxEyFA即120C211220xyDxEyF 若直线 与圆 有公共点，则过公共点:0lxByC2: 0xyF的圆系方程为：即0Cl2DEFABC第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线 渐近线相同的双曲线系方程为：21xyab20二、典型例题：例 1：已知椭圆 的长轴长为 4，若点 是椭圆 上任意一点，2:10xyCabPC过原点的直线 与椭圆相交于 两点，记直线 的斜率分别为 ，且l,MN,N12,k，则椭圆的
5、方程为（ ）124kA. B. C. D. 216xy214xy214yx214xy思路：由已知可得 ，所以只需利用条件 求出 的值即可，设 ，a12kb0,P，则 。则 ，从而1,Mxy1,Nxy00121,yyxx，由分子分母平方差的特点及 在椭圆上联想21010102 4kxx ,MP到点差法，得： ，所以21221010024ybxybx221014yx即 ，所以椭圆方程为2b214xy答案：D第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何例 2：椭圆 的右焦点为 ，右顶点，上顶点分别为 ，且2:10xyCabF,AB5ABF（1）求椭圆 的离心率（2）若斜率为 的直线 过点 ，且 交椭圆 于
6、 两点， ，求直线2l0,2lC,PQO的方程及椭圆 的方程lC解：（1）由椭圆方程可得： ,.,0AaBbFc22,ABabFc522254ababa24:13abc32cea（2）由（1）可得椭圆方程为： 222144xyxybb， 12,PxyQOPQ120Oxy由已知可得，直线 的方程为 l2x联立方程： ，消去 可得： ，即：224yxby240xb2173160x212123,7x第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何2121212121447byxxx，解得： 12607b经检验：当 ，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件椭圆方程为 214xy例 3：已知直线 ，椭圆 ，:lk
7、2:109xyEm（1）若无论 为何值，直线 与椭圆 均有公共点，试求 的取值范围及椭圆离心率 关l e于 的函数关系式m（2）当 时，直线 与椭圆 相交于 两点，与 轴交于点 ，若103klE,AByM，求椭圆 的方程AMB解：（1）由 可知直线 过定点 :1lykxl0,1与 恒有公共点lE在椭圆上或椭圆内0,2119m23的范围为 1,若 ，则 29m229,abm2cab3e若 ，则 29m22,9amb第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何229cabm3e综上所述： 29,3,1em（2）由已知可得： ， 03yx0,1M设 12,AxB12,1Myxy212联立直线与椭圆方程可得
8、：，消去 可得： ，整理后可得：21039yxmy2210993mxxm22210691x1212,0xm12x1221226190x可得： 2 222267091910mm，即 ，解得：22108m42第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何或 （舍）26m215椭圆方程为 296xy例 4：过点 ，向椭圆 引两条切线，切点分别为 ，且,0A210xyab,BC为正三角形，则 最大时椭圆的方程为（ ）BCabA. B. C. D. 2143xy2813xy2314xy2318xy思路：由题意可知本题确定 值的关键在于 达到最大值时， 的取值，那么需要得,abab,ab到关于 的关系（等式或不等
9、式） ，作出图形可知，若 为正三角形，则 的,ab ABC,ABC斜率为 ，进而能够得到 的方程。以 为例： ，与椭圆方程3,ABC34yx联立并消元可得到： ，所以2222381630abxaab，则考虑利用均值不等式得到 ，等号成立条件为201683，再结合 即可求出 的值，从而确定椭圆方程23ab23ab,ab解：依图可知： ,6OAB3ABk的方程为： ，联立方程：AB34yx，消去 ： ，整理后可得：2234yxbab 222143baxb228160a与椭圆相切 AB22243abb第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何即442224619360aabab4222419360aba
10、b23b由均值不等式可得： 2233abab（等号成立条件为： ）82316ab2a的最大值为 ，此时32283163ab椭圆方程为：28xy答案：D例 5：已知点 是椭圆 的右焦点， 是椭圆短轴的两个端点，且 是正三角形FC,ABABF（1）求椭圆 的离心率（2）直线 与以 为直径的圆 相切，并且被椭圆 截得的弦长的最大值为 ，求lABOC23椭圆 的标准方程解：（1）设椭圆标准方程为 ，焦距为 ，由 是正三角形210xyab2cABF可得： ，因为2ab22abc解得：:13c2ea（2）由（1）可得椭圆的方程为： ，224xyb设 与椭圆 的交点为lC12,MN若 斜率不存在，可得弦长
11、3若 斜率存在，设 ，联立方程：l:lykxm第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何2222418404ykxmkxkmbb212128,xkk，整理可得：222114MNxxx22641bmbk与圆 相切l22xy， 代入到上式可得：22211dbkk222 23366441MNbkk（等号成立条件： ）22maxNb3b椭圆方程为：2321xy例 6：设椭圆 的方程为 ，点 为坐标原点，点 的坐标为 ，E20abOA,0a点 的坐标为 ，点 在线段 上，满足 ，直线 的斜率为B0,bMAB2M51（1）求 的离心率Ee（2）设点 的坐标为 ， 为线段 的中点，点 关于直线 的对称点的纵C,
12、NCNAB坐标为 ，求 的方程7解（1）由 在线段 上和 可得：MAB2MA2B,0,Aab第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何121,33OMBAab5ab:5:12abc2ce（2）由（1）中 ，可设:155xyABxybb由 可得： ，设 的对称点,0,AaCb51,2NbN07,2依题意可得： 00517225752xbxb可解得： 椭圆方程为3a21459xy例 7：已知椭圆 的半焦距为 ，原点 到经过两点2:10xyEbcO的直线的距离为 ,0cbc（1）求椭圆的离心率（2）如图， 是圆 的一条直AB225:1Mxy径，若椭圆 经过 两点，求椭圆 的方程E,E解：（1）过 的直线
13、 的方程为： 0cbl 0xbxcyc212Oldca1320OMbk第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何，由 可得： 12baa22bc22234ac3ce（2）由（1）可得： :2:13abc椭圆方程为： 2244xyxyb由圆方程 可得： 225110,2Mr设 12,AxyB12400xAr设 ，联立方程：:ABykx消去 可得： ，整理后可得：2214xby22414xkb21810kkb212124,4kxx28kk1xb2221 1124ABxxx20b1213b第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何椭圆方程为： 213xy例 8：已知双曲线 的两个焦点为 ，其中一条渐近线方程
14、为20,ab12,F， 为双曲线上一点，且满足 ，若 成等比数2byxNP5OP12,P列，则双曲线 的方程为_C解： 成等比数列12,F22124PcPF由渐近线方程 可知： ，不妨设 在右支上byxNaP12Fa22112=6PFPF即 22186c由中线定理可知： 221OP26cP即 228303OPab522503b由 可知 双曲线方程为： N21214xy答案：24xy小 炼 有 话 说 ：中线定理：已知 为 中底边 的中线，则有ADBC，证明如下：在 中，2222BADBDAB C第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何由余弦定理可知：222cosABDABD同理，在 中，有：C2
15、22sC且由 是 中点可知： ABBCD可得： ，即22222CDC2222AAB例 9：（2014，福建）已知双曲线 的两条渐近线分别为2:10,xyEab， 1:2lyx:2lyx（1）求双曲线 的离心率E（2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一、四Ol12,l,AB,象限），且 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 有且ABl只有一个公共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不E存在请说明理由解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 byxa2baa225cab5ce（2）若直线 不与 轴垂直，设lx12:,lymxtAyBx联立方程： ，同理可得1
16、22tmytx 12tmtmyxy设直线 与 轴交于 l,0Ct第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何即 122OABSCy228411tttmm由直线 与渐近线的交点 分别在第一、四象限可知： l,AB2140m2241t由（1）可得双曲线方程为： 2xya联立 与双曲线方程：l2222418404xmytymtaa因为 与双曲线相切l22860tt整理可得： 222414140maama所以 双曲线方程为：26xy存在一个总与 相切的双曲线 ，其方程为lE214例 10：已知 分别为曲线 与 轴的左，,AB2:0xCyax右两个交点，直线 过点 且与 轴垂直， 为 上异于点 的点，l Pl
17、B且 在第一象限，连结 与曲线 交于点 PPM（1）若曲线 为圆，且 ，求弦 的长C23BA（2）设 是以 为直径的圆与线段 的交点，若 三点共线，求曲线 的方N,ONPC程解：（1）若曲线 为圆，则可知 C1a第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何2:1Cxy23,01,ABP31APk的方程： 13103yxy221OAPd3OAPMrd（2）由已知可得： ，设直线 ,0,aB:APykxa,2ykxka联立直线与椭圆方程可得： ，整理后可得：2 221xyxkaak2324210akx可知该方程的两根为： ，由韦达定理可得：,AMxa421AMakx321k，即 2aky322,1ak共线，且 为圆的直径,ONPB0M322,2,1akPakB第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何322011akakOPBM，即 解得： 4220ak4222a曲线 的方程： C21xy
